2012年全国中考数学分类解析汇编专题14:规律性问题.doc
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1、 12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 14:规律性问题:规律性问题一、选择题一、选择题1. (2012 广东深圳广东深圳 3 分)分)如图,已知:MON=30o,点 A1、A2、A3 在射线 ON 上,点B1、B2、B3 在射线 OM 上,A1B1A2. A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形,若 OA1=l,则A6B6A7 的边长为【 】A6 B12 C32 D64【答案答案】C。【考点考点】分类归纳(图形的变化类),等边三角形的性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,含30 度角的直角三角形的性质。【分析分析】如图,A1B1A2是等边三角形, A
2、1B1=A2B1,3=4=12=60。2=120。MON=30,1=18012030=30。又3=60,5=1806030=90。MON=1=30,OA1=A1B1=1。A2B1=1。A2B2A3、A3B3A4是等边三角形,11=10=60,13=60。4=12=60,A1B1A2B2A3B3,B1A2B2A3。1=6=7=30,5=8=90。A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3。A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2=16。以此类推:A6B6=32B1A2=32,即A6B6A7 的边长为 32。故选 C。2. (2012 浙江丽水、金华浙江丽水、金华
3、 3 分)分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律图 1 中棋子围城三角形,其棵数3,6,9,12,称为三角形数类似地,图 2 中的 4,8,12,16,称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】2A2010 B2012 C2014 D2016【答案答案】D。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) 。【分析分析】观察发现,三角数都是 3 的倍数,正方形数都是 4 的倍数,所以既是三角形数又是正方形数的一定是 12 的倍数,然后对各选项计算进行判断即可得解:2010121676,2012121678,20141216710,201612168,2016 既是三角形数又是正方形数。故选 D。
4、3. (2012 浙江绍兴浙江绍兴 4 分)分)如图,直角三角形纸片 ABC 中,AB=3,AC=4,D 为斜边 BC 中点,第 1 次将纸片折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕与 AD 交与点 P1;设 P1D 的中点为 D1,第 2 次将纸片折叠,使点A 与点 D1重合,折痕与 AD 交于点 P2;设 P2D1的中点为 D2,第 3 次将纸片折叠,使点 A 与点 D2重合,折痕与 AD 交于点 P3;设 Pn1Dn2的中点为 Dn1,第 n 次将纸片折叠,使点 A 与点 Dn1重合,折痕与 AD 交于点 Pn(n2) ,则 AP6的长为【 】A5125 3 2B693 5 2C6145 3
5、 2D7113 5 2【答案答案】A。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) ,翻折变换(折叠问题) 。【分析分析】由题意得,AD=1 2BC=5 2,AD1=ADDD1=15 8,AD2=255 3 2,AD3=375 3 2,ADn=215 3 2nn。故 AP1=5 4,AP2=15 16,AP3=265 3 2APn=125 3 2nn。3当 n=14 时,AP6=5125 3 2。故选 A。4. (2012 江苏江苏南通南通 3 分)分)如图,在ABC 中,ACB90,B30,AC1,AC 在直线 l 上将ABC绕点 A 顺时针旋转到位置,可得到点 P1,此时 AP12;将位置的三角形
6、绕点 P1顺时针旋转到位置,可得到点 P2,此时 AP22;将位置的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置,可得到点 P3,此时 AP333;,按此规律继续旋转,直到得到点 P2012为止,则 AP2012【 】3A2011671 B2012671 C2013671 D20146713333【答案答案】B。【考点考点】分类归纳(图形的变化类),旋转的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。【分析分析】寻找规律,发现将 RtABC 绕点 A,P1,P2,顺时针旋转,每旋转一次, APi(i=1,2,3,)的长度依次增加 2, ,1,且三次一循环,按此规律即可求解:3RtABC 中,ACB=90,B=3
7、0,AC=1,AB=2,BC=。3根据旋转的性质,将 RtABC 绕点 A,P1,P2,顺时针旋转,每旋转一次, APi(i=1,2,3,)的长度依次增加 2, ,1,且三次一循环。320123=6702,AP2012=670(3+ )+2+ =2012+671 。故选 B。3335. (2012 江苏盐城江苏盐城 3 分)分)已知整数1234,a a a a 满足下列条件:10a ,21|1|aa ,32|2|aa , 43|3|aa ,依次类推,则2012a的值为【 】A1005 B1006 C1007 D2012【答案答案】B。【考点考点】分类归纳(数字的变化类)4【分析分析】根据条件求
8、出前几个数的值,寻找规律,分n是奇数和偶数讨论:10a , 21|1|= 1aa ,32|2| 12|= 1aa ,43|3|= | 1 3|=2aa ,54|4|= | 24|=2aa ,65|5|= | 25|=3aa ,76|6|= | 36|=3aa ,87|7|= | 37|=4aa ,当n是奇数时,1=2nna,n是偶数时,=2nna 。20122012= 10062a。故选 B。6. (2012 江苏扬州江苏扬州 3 分)分)大于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如2335,337911,4313151719,若 m3分裂后,其中有一个奇数是 2013,
9、则 m 的值是【 】A43 B44 C45 D46【答案答案】C。【考点考点】分类归纳(数字的变化类) 。【分析分析】分析规律,然后找出 2013 所在的奇数的范围,即可得解:2335,337911,4313151719,m3分裂后的第一个数是 m(m1)1,共有 m 个奇数。45(451)11981,46(461)12071,第 2013 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂后的一个奇数,m45。故选 C。7. (2012 江苏江苏镇江镇江 3 分)分)边长为 a 的等边三角形,记为第 1 个等边三角形。取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第 1 个正六边形。取这个正六边形不相
10、邻的三边中点顺次连接,又得到一个等边三角形,记为第 2 个等边三角形。取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2 个正六边形(如图),按此方式依次操作。则第 6 个正六边形的边长是【 】5A.511a32B. 511a23C. 611a32D. 611a23【答案答案】A。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) ,等边三角形和判定和性质,三角形中位线定理。【分析分析】如图,双向延长 EF 分别交 AB、AC 于点 G、H。根据三角形中位线定理,得GE=FH=1 11a=a2 36,GB=CH=1a6。AG=AH=5a6。又ABC 中,A=600,AGH 是等边三角形。GH=AG=A
11、H=5a6。EF= GHGEFH=5111aaa=a6662。第 2 个等边三角形的边长为1a2。同理,第 3 个等边三角形的边长为21a2,第 4 个等边三角形的边长为31a2,第 5 个等边三角形的边长为41a2,第 6 个等边三角形的边长为51a2。又相应正六边形的边长是等边三角形的边长的1 3,第 6 个正六边形的边长是511a32。故选 A。8. (2012 福建莆田福建莆田 4 分)分)如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(1,1),C(1,2),D(1,2)把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点 A 处,并按 ABCDA 一的规律
12、紧绕在四边形 ABCD 的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】6A(1,1) B(1,1) C(1,2) D(1,2)【答案答案】B。【考点考点】分类归纳(图形的变化类),点的坐标。【分析分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长,然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度,从而确定答案:A(1,1) ,B(1,1) ,C(1,2) ,D(1,2) ,AB=1(1)=2,BC=1(2)=3,CD=1(1)=2,DA=1(-2)=3。绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2323=10,201210=2012,细线另一端在绕四边形第 202 圈的第 2 个单位长度的位置,即点 B 的
13、位置。所求点的坐标为(1,1) 。故选 B。9. (2012 湖北荆门湖北荆门 3 分)分) 已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图;再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图;如此反复操作下去,则第 2012 个图形中直角三角形的个数有【 】A 8048 个 B 4024 个 C 2012 个 D 1066 个【答案答案】B。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) 。【分析分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数,并找出规律:第 1 个图形,有 4 个直角三角形,第 2 个图形,有 4 个直角三角形,第 3 个图形,有 8
14、 个直角三角形,第 4 个图形,有 8 个直角三角形,依次类推,当 n 为奇数时,三角形的个数是 2(n+1) ,当 n 为偶数时,三角形的个数是 2n 个,7所以,第 2012 个图形中直角三角形的个数是 22012=4024。故选 B。10. (2012 湖北荆州湖北荆州 3 分)分)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图;再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图;如此反复操作下去,则第 2012 个图形中直角三角形的个数有【 】A 8048 个 B 4024 个 C 2012 个 D 1066 个【答案答案】B。【
15、考点考点】分类归纳(图形的变化类) 。【分析分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数,并找出规律:第 1 个图形,有 4 个直角三角形,第 2 个图形,有 4 个直角三角形,第 3 个图形,有 8 个直角三角形,第 4 个图形,有 8 个直角三角形,依次类推,当 n 为奇数时,三角形的个数是 2(n+1) ,当 n 为偶数时,三角形的个数是 2n 个,所以,第 2012 个图形中直角三角形的个数是 22012=4024。故选 B。11. (2012 湖北鄂州湖北鄂州 3 分)分)在平面坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0) ,点 D 的坐标为(0,2) ,延长
16、CB 交 x 轴于点 A1,作正方形 A1B1C1C,延长 C1B1交 x 轴于点 A2,作正方形 A2B2C2C1,按这样的规律进行下去,第 2012 个正方形的面积为【 】A.2010)23(5B.2010)49(5 C.2012)49(5D.4022)23(5【答案答案】D。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) ,坐标与图形性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。【分析分析】正方形 ABCD,AD=AB,DAB=ABC=ABA1=90=DOA。ADO+DAO=90,DAO+BAA1=90。ADO=BAA1。8DOA=ABA1,DOAABA1。1 BAOA1 ABOD2。AB
17、=AD=22215,BA1=152。第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1B+BC=352,面积是22335=522。同理第 3 个正方形的边长是233935+5=5=52442,面积是:222 2335=522。第 4 个正方形的边长是3352,面积是232 3335=522第 2012 个正方形的边长是2012 12011335=522,面积是220112 201140223335=5=5222。故选 D。12. (2012 湖南湖南常德常德 3 分)分)若图 1 中的线段长为 1,将此线段三等分,并以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图 2,再将图 2 中的
18、每一段作类似变形,得到图 3,按上述方法继续下去得到图4,则图 4 中的折线的总长度为【 】A. 2 B. 2716C. 916D. 2764【答案答案】D。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) ,等边三角形的性质。【分析分析】寻找规律,从两方面考虑:(1)每个图形中每一条短线段的长:图 2 中每一条短线段的长为1 3,图 3 中每一条短线段的长为1 9,图 4 中每一条短线段的长为1 27。(2)每个图形中短线段的根数:图 2 中有 4 根,图 3 中有 16 根,图 4 中有 64 根。图 4 中的折线的总长度为16464=2727。故选 D。9【推广到一般,图 n 中的折线的总长度为n
19、14 3】13. (2012 湖南永州湖南永州 3 分)分)如图,一枚棋子放在七角棋盘的第 0 号角,现依逆时针方向移动这枚棋子,其各步依次移动 1,2,3,n 个角,如第一步从 0 号角移动到第 1 号角,第二步从第 1 号角移动到第3 号角,第三步从第 3 号角移动到第 6 号角,若这枚棋子不停地移动下去,则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】A0 B1 C2 D3【答案答案】D。【考点考点】分类归纳(图形的变化类)。【分析分析】寻找规律:因棋子移动了 k 次后走过的总角数是 1+2+3+k=1 2k(k+1),当 k=1 时,棋子移动的总角数是 1,棋子移动到第 1 号角;当 k=2
20、时,棋子移动的总角数是 3,棋子移动到第 3 号角;当 k=3 时,棋子移动的总角数是 6,棋子移动到第 6 号角;当 k=4 时,棋子移动的总角数是 10,棋子移动到第 107=3 号角;当 k=5 时,棋子移动的总角数是 15,棋子移动到第 1527=1 号角;当 k=6 时,棋子移动的总角数是 21,棋子移动到第 2137=0 号角;当 k=7 时,棋子移动的总角数是 28,棋子移动到第 2847=0 号角。发现第 2,4,5 角没有停棋。当 k=7nt(n0,1t7,都为整数)时,棋子移动的总角数是11117nt7nt1 =7n 7nt1 +7nt+t t1=7n 7n1 +7nt+t
21、 t12222 ,17n 7n12中7n和7n1是连续数,17n 7n12是 7 的倍数。17n 7n1 +7nt2是 7 的倍数。棋子移动的位置与 k=t 移动的位置相同。故第 2,4,5 格没有停棋,即这枚棋子永远不能到达的角的个数是 3。故选 D。1014. (2012 贵州铜仁贵州铜仁 4 分)分)如图,第个图形中一共有 1 个平行四边形,第个图形中一共有 5 个平行四边形,第个图形中一共有 11 个平行四边形,则第个图形中平行四边形的个数是【 】A54 B110 C19 D109【答案答案】D。【考点考点】分类归纳(图形的变化类) 。【分析分析】寻找规律:第个图形中有 1 个平行四边
22、形;第个图形中有 1+4=5 个平行四边形;第个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形;第个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形;第 n 个图形中有 1+2(2+3+4+n)个平行四边形;则第个图形中有 1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109 个平行四边形。故选 D。15. (2012 山东滨州山东滨州 3 分)分)求 1+2+22+23+22012的值,可令 S=1+2+22+23+22012,则2S=2+22+23+24+22013,因此 2SS=220131仿照以上推理,计算出 1+5+52+53+52012的值为【 】A520121 B520131 C2013
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