5.1二次根式（第1课时）.ppt

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1、第5章 二次根式,5.1二次根式第1课时,关注“初中教师园地”公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧,学习目标,1.了解二次根式的定义；2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）3.掌握二次根式的两条重要性质（重点、难点）,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河,复习引入,问题1 什么叫做平方根?,一般地，如

2、果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.,问题2 什么叫做算术平方根?,如果 x2 = a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.,问题3 什么数有算术平方根?,我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.,思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？,(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m,(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m,图,图,（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如

3、果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_,问题1 这些式子分别表示什么意义？,分别表示2，S，3， 的算术平方根,上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ,讲授新课,根指数都为2;,被开方数为非负数.,问题2 这些式子有什么共同特征？,二次根式的概念及有意义的条件,归纳总结,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.,注意：a可以是数，也可以是式.,例1 下列各式是二次根式吗?,典例精析,是,不是,不是,（x,y异号）,不是,不是,是,不是,不含二次根号,被开方数是负数,当m0时被开方数是负数,xy0,非负数+正数恒大于零,根指数是3,例2 当x是怎样的实数时, 在实数

4、范围内有 意义?,解：由x-20，得,x2.,当x2时， 在实数范围内有意义.,【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：由题意得x-10，,x1.,解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；,(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：,(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A0；,(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B

5、0.,归纳总结,1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ）,A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,B,2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;,(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.,x 1,x 0且x2,练一练,问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？,前者x为全体实数；后者x为正数和0.,当a0时， 表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时， 0.,问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,二次根式的双重非负性,二次根式的实质是表示一个非负

6、数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：,（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 0.,二次根式的被开方数非负,二次根式的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,例3 若 ，求a -b+c的值.,解：,由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.,所以a-b+c=2-3+4=3.,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,典例精析,例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.,解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为

7、5，3x+2y的算术平方根为5,【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长,解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11,若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.,已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根,解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.,练一练,问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a0,1,我们都是非负数哟,（a0）的性质,问题2

8、若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a为任意数,我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.,思考 你发现了什么？,正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ，又面积为a，即 .,活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？,这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？,活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？,.,算术平方根,平方运算,0 2 4 .,a(a0),02 = 0 .,观察两者有什

9、么关系？,22 = 4,4,2,0,根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：,是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 .同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.,归纳总结,的性质：,一般地， a (a 0).,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.,注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.,典例精析,例5 计算：,解：,(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？,积的乘方：（ab）2=a2b2,练一练,计算：,解:,.,平方运算,算术平方根,2 0.1 0 .,a(a0),2 .,观察两者有什么关系？,填一

10、填：,a (a0).,的性质,.,平方运算,算术平方根,-2 -0.1 .,2 .,观察两者有什么关系？,a(a0),思考：当a0时， =,？,-a,归纳总结,a (a0),-a (a0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.,的性质：,例6 化简：,解：,计算：,练一练,解:,辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,议一议：如何区别 与 ？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a0,a取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数a的算术平方根的平方,表示一个实数a的平方的算术平方根,例7 实数a、b在数轴上的

11、对应点如图所示，请你化简:,解：由数轴可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.,a,b,【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .,解：根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b,利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.,例8 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：,解：a、b、c是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a

12、+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c,分析：,利用三角形三边关系,三边长均为正数，a+bc,两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0,当堂练习,2.式子 有意义的条件是 （ ）,A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个,D,1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）,C,A,4.当x为何值时， 在实数范围内有意义？,解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.,方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零,5. 计算：,答案：3,答案：,6. 计算：,答案：7,答案：3,答案：0.01,6.若x，y是实数，且y ,求 的值.,解：根据题意得，x=1.y ,y ， .,课堂小结,二次根式,二次根式的概念,二次根式的表示,二次根式有意义的条件,性质,应用,