北京课改初中数学九上《22.3 圆的对称性》课件 (3).ppt

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1、22.3圆的对称性（一）轴对称,1若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么结果?,如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？,二、新课,1结论：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心每一条直线都是它的对称轴,强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,1任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E,问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？,三、新知识在你们动手实验中产生,归纳得出：,垂径定理：

2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,垂径定理的几何语言,CDAB,垂径定理的逆定理:,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,我们发现图中有:,由 CD是直径, AM=BM,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,你可以写出相应的结论吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,驶向胜利的彼岸, CD是直径, AM=BM, CDAB,观察下列哪些图形满足“垂直于弦的直径”的条件？为什么？,B,A,D

3、,C,O,A,B,D,O,A,B,D,O,A,B,C,D,O,图5,A,B,C,D,O,图6,O,A,B,C,D,图7,图8,图9,图10,例1 如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,例2 一条排水管的截面如图所示排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ,思路：,例3 已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD ,思路：,作OMAB，垂足为M CM=DM OA=OB AM=BM AC=BD,圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距,小结：,1画弦心距是圆中常见的辅助线

4、；,2 半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,1已知0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ,24,C,五、目标训练,3过O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A3 B6cm C cm D9cm,4如图，O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5,A,A,五、目标训练,5 已知O的半径为10，弦ABCD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ,6如图，已知AB、AC为弦，OMAB于点M， ONA

5、C于点N ，BC=4，求MN的长,2或14,思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN= BC=2,五、目标训练,本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理,2垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明,3解题的主要方法：,六、总结回顾,（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点,C,D,A,B,E,做一做，提高你的能力,变式一： 求弧AB的四等分点,C,D,A,B,E,F,G,m,n,

6、变式一： 求弧AB的四等分点,C,D,A,B,F,G,错在哪里？,1作AB的垂直平分线CD,2作AT、BT的垂直平分线EF、GH,强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线,变式二：你能确定弧AB的圆心吗？,O,A,B,C,a,b,方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）

7、,垂径定理的应用,例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,驶向胜利的彼岸,解:连接OC.,老师提示:注意闪烁的三角形的特点.,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,驶向胜利的彼岸,赵州石拱桥,驶向胜利的彼岸,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂

8、足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,驶向胜利的彼岸,D,C,船能过拱桥吗,2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,相信自己能独立完成解答.,驶向胜利的彼岸,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱,

9、 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得,驶向胜利的彼岸,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,小结：1、有时并未直接给出“圆的直径垂直于弦”这样的条件，而是给出下图所示条件，我们可以得到他们具有和垂直与弦的直径一样的性质。,B,A,D,C,O,A,B,D,O,A,B,D,O,图11,图12,图13,圆的半径垂直于弦,圆心到弦的垂线段（弦心距）,过圆心的直线垂直于弦,2、在圆中接有关弦的问题，常常需要做一

10、条辅助线：垂直与弦的直径或半径或弦心距。从而利用“垂直与弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”圆的这条非常重要的性质 。,讨论,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（3）（1）,（2）（4）（5）,（2）（3）,（1）（4）（5）,（1）（4）,（3）（2）（5）,（1）（5）,（3）（4）（2）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,学生练习,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,