青岛初中数学九上《3.1圆的对称性》PPT课件 (4).ppt

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1、3.1 圆的对称性(1) -垂径定理及其逆定理,学习目标：,理解圆的轴对称性及其相关性质；理解垂径定理；会运用垂径定理解决有关问题。,重点、难点： 垂径定理及其应用。,？,预习案的交流与展示：,知识准备：什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等。,1、圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,自主学习：,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法

2、即可解决上述问题.,2、按下面的步骤做一做：1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2）得到一条折痕CD3）在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？它们为什么相等呢？,自主学习：,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,自主学习：,能不能试着利

3、用构造等腰三角形得出上面的等量关系？,连接OA,OB,则OA=OB.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,CDAB于M,证明：,自主学习：,能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？,探究一：对垂径定理的理解,定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.,CDAB, CD是直径, AM=BM,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？,同步训练：,探究二：垂径定理的应用,例：如图，以OAB的顶点O为圆心的O交AB于点C、D，且AC=BD。求证：OAOB。,例2：如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O

4、到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E,则AEBE AB 84厘米,在RtAOE中，OE=3厘米，根据勾股定理,OA,O的半径为5厘米。,厘米,若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_。,探究二：垂径定理的应用,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OECD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。,实际应用,挑战自我：,如图，P为O内一点，你能用尺规作O的一 条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。,你说、我说、大家说：,1.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正

5、确的是（ ）,2.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .,3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 .,C,8,13,当堂达标：,赵州石拱桥,1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,船能过拱桥吗,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,课后提升：,你可以写

6、出相应的命题吗?,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理逆定理,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

7、, CD是直径, AM=BM, CDAB,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,挑战自我画一画,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据

8、：,判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ),弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ),圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ),平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( ),圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,挑战自我 填一填,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（7）平分弦的直线，必定过圆心。,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,挑战自我 填一填,(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径.,平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,挑战自我 填一填,已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有: .,挑战自我 填一填,已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.,挑战自我 做一做,解：（1）,OAB+ AOC=90,挑战自我 做一做,解：（2）,挑战自我 做一做,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,挑战自我再上新台阶,