概率论与数理统计试卷及答案.pdf

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1、模拟试题一模拟试题一一、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A|B) =P( AB) =12、设事件A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且9A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；Aex,4、已知随机变量 X 的密度函数为：(x) 1/ 4,0,x 00 x 2, 则常数 A=, 分布函x 2数F(x)=, 概率P0.

2、5 X 1；5、设随机变量 X B(2，p)、Y B(1，p)，若PX 1 5/ 9，则 p =，若 X与 Y 独立，则 Z=max(X,Y)的分布律：；6、设X B(200,0.01),Y P(4),且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X-3Y)=,COV(2X-3Y, X)=；7、设X1, X2,Y , X5是总体X N(0,1)的简单随机样本，则当k 时，k(X1 X2)X X X232425 t(3)；1n, Xn为其样本，X Xi为样本均值，ni18、设总体X U(0,) 0为未知参数，X1, X2,则的矩估计量为：。9、设样本X1, X2, X9来自正态总体N(a,1.44)，计算

3、得样本观察值x 10，求参数a的置信度为 95%的置信区间：；二、计算题（35 分）1、(12 分)设连续型随机变量 X 的密度函数为：1x,(x) 20,0 x 2其它求：1）P| 2X 1| 2；2）Y X2的密度函数Y(y)；3）E(2X 1)；2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为(x, y) 1/ 4,0,| y| x,0 x 2,其他1）求边缘密度函数X(x),Y(y)；2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3）计算 Z = X + Y 的密度函数Z(z)；3、 （11 分）设总体 X 的概率密度函数为：x1e,(x) 0 x 0 x 0, 0X1,X2,Xn是取自总体

4、 X 的简单随机样本。1）2）三、求参数的极大似然估计量；验证估计量是否是参数的无偏估计量。应用题（20 分）1、（10 分） 设某人从外地赶来参加紧急会议， 他乘火车、 轮船、 汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2 （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530，0.542，0.510，0.495，

5、0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定( 0.05)？附表：模拟试题二模拟试题二一、填空题(45 分，每空 3 分)1设P(A) 0.5, P(B| A) 0.6, P(AB) 0.1,则P(B) P(AB) 2 设A,B,C三 事 件 相 互 独 立 ， 且P(A) P(B) P(C)， 若P(ABC) P(A) 。37， 则643设一批产品有 12 件，其中 2 件次品，10 件正品，现从这批产品中任取 3 件，若用X表示取出的 3 件产品中的次品件数，则X的分布律为。4设连续型随机变量X的分布函数为F(x) A Barctan(x),xR则(A,B) ，X的密度函数(x)

6、。5设随机变量X U2,2，则随机变量Y 6设X,Y的分布律分别为1X 1的密度函数Y(y) 2X-101Y01P1/41/21/4P1/21/2且PX Y 0 0，则(X,Y)的联合分布律为。和PX Y 117设(X,Y) N(0,25;0,36;0.4)，则cov(X,Y) ，D(3X Y 1)。28设(X1, X2, X3, X4)是总体N(0,4)的样本，则当a ，b时，统计量X a(X12X2)2b(3X34X4)2服从自由度为 2 的2分布。9设(X1, X2, k(Xi X)2是参, Xn)是总体N(a,)的样本，则当常数k 时，22i1n数 2的无偏估计量。10 设由来自总体X

7、 N(a,0.92)容量为 9 的样本， 得样本均值x=5， 则参数a的置信度为 0.95的置信区间为。二、计算题(27 分)1(15 分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为1(x y),(x, y) 80,0 x 2,0 y 2其它（1） 求X与Y的边缘密度函数X(x),Y(y)；（2） 判断X与Y是否独立？为什么？（3） 求Z X Y的密度函数Z(z)。2(12 分)设总体X的密度函数为e(x),(x) 0,其中0是未知参数，(X1, X2,x x , Xn)为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1；（2）的极大似然估计量2。三、应用题与证明题(28 分)1(12 分)已知甲，乙两箱

8、中有同种产品，其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品，乙箱中仅有 3件正品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2） 已知从乙箱中取出的一件产品为次品， 求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰有 2件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了 36 位考生的成绩，算得平均成绩x 66.5分，标准差s 15分，问在显著性水平 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分，并给出检验过程。3(8 分)设0 P(A) 1，证明：A与B相互独立P(B| A) P(B| A)。附表：u0.951.65, u0

9、.9751.96, t0.95(35) 1.6896, t0.95(36) 1.6883,t0.975(35) 2.0301, t0.975(36) 2.0281,模拟试题三模拟试题三一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1设P(A) 0.3,P(A B) 0.8,若A与B互斥，则P(B) ；A与B独立，则P(B) ；若A B，则P(AB) 。2 在电路中电压超过额定值的概率为p1， 在电压超过额定值的情况下， 仪器烧坏的概率为p2，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；4x3,0 x 13设随机变量X的密度为(x) ，则使PX a PX a成立的常数其它0,a ；P0.5 X 1.5；4

10、如果(X,Y)的联合分布律为Y123X11/61/91/1821/3则,应满足的条件是0 1,0 1,1/ 3，若X与Y独立，E(X 3Y 1)。5设X B(n, p)，且EX 2.4,DX 1.44,则n ，p 。6设X N(a,2)，则Y X 3服从的分布为。27 测量铝的比重 16 次， 得x 2.705,s 0.029，设测量结果服从正态分布N(a,2)， 参数a,2未知，则铝的比重a的置信度为 95%的置信区间为。二、 （12 分）设连续型随机变量 X 的密度为：cex,x 0(x) x 00,（1）求常数c；（2）求分布函数F(x)；（3）求Y 2X 1的密度Y(y)三、 （15

11、分）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为(x, y) c,0 x 1,0 y x其它0,（1）求常数c；（2）求X与Y的边缘密度X(x),Y(y)；（3）问X与Y是否独立？为什么？（4）求Z X Y的密度Z(z)；（5）求D(2X 3Y)。四、 （11 分）设总体 X 的密度为(1)x,0 x 1(x) 其它0,其中1是未知参数，(X1, Xn)是来自总体 X 的一个样本，求（1） 参数的矩估计量1；（2） 参数的极大似然估计量2；五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求

12、这台机床是车床的概率。六、 （10 分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布N(a,2)，得到的 10 个测定值给出x 0.452,s 0.037，试问可否认为水份含量的方差 2 0.04？（ 0.05）附表：22220.05(10) 3.94,0.025(10) 3.247,0.05(9) 3.325,0.05(9) 2.7,22220.975(10) 20.483,0.975(9) 19.023,0.95(10) 18.307,0.95(9) 16.919,模拟试题四模拟试题四一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1、 设A、B为随机事件，P(B) 0.8，P(B A) 0

13、.2，则A与B中至少有一个不发生的概率为；当A与B独立时，则P(B (AB) 2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6，P母亲得病孩子得病=0.5，P父亲得病 母亲及孩子得病=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为。3k3 、 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为 ：P(X k) a(k 0,1,2,.)， 则k!a=_P(X 1) 。x 30,x4、若连续型随机变量X的分布函数为F(x) A Barcsin,3x 31,3 x 3则常数A ，B ，密度函数(x) 1x5 、 已 知 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数

14、为f (x) e822x18, x ， 则E(4X 1) ，EX2。PX 1 2。6 、 设XU1,3，YP(2)， 且X与Y独 立 ，则D(X Y 3)=。7 、 设 随 机 变 量X,Y相 互 独 立 ， 同 服 从 参 数 为 分 布( 0)的 指 数 分 布 ， 令U 2X Y,V 2X Y的相关系数。则COV (U,V) ,U ,V。（注：(1) 0.8143,(0.5) 0.6915）二、计算题（34 分）1、（18 分）设连续型随机变量(X，Y)的密度函数为(x,y)x y,0,0 x1,0 y1其他（1）求边缘密度函数X(x),Y(y)；（2）判断X与Y的独立性；（3）计算co

15、v(X,Y)；（3）求Z max(X,Y)的密度函数Z(z)1, 若X Y为偶数2、（16 分） 设随机变量X与Y相互独立， 且同分布于B(1, p)(0 p 1)。 令Z 。0，若X Y为奇数（1）求Z的分布律；（2）求(X，Z)的联合分布律；（3）问p取何值时X与Z独立？为什么？三、应用题（24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周 5 个工作日内无故障则可获 10 万元；若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元；若仅有两天发生故障可获利 0 万元；若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损 2 万元。求一周内的期望利润。2、 （12 分）将A、B、C三个字

16、母之一输入信道，输出为原字母的概率为 0.8，而输出为其它一字母的概率都为 0.1。 今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道， 输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为 0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的） 。答答案（模拟试题一）案（模拟试题一）四、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、0.8286 ， 0.988；2、2/3；16C12C64112C126!3、，；1261261xx 02e ,311x4、1/2,F(x)=, 0 x 2，P0.5 X 1e0.5；4224x 21,5、p =1/

17、3 ， Z=max(X,Y)的分布律：Z012P8/2716/273/27；6、D(2X-3Y)=43.92,COV(2X-3Y, X)=3.96；7、当k 3时，Y 2k(X1 X2)X X X232425 t(3)；8、的矩估计量为：2X。9、9.216，10.784；五、计算题（35 分）9161、解 1）P| 2X 1| 2 P0.5 X 1.52） 1(X(y)X(y),y 0Y(y) 2 y0,y 01,40,0 y 4其它453）E(2X 1) 2EX 1 2133x1dy,2、解：1）X(x) (x, y)dy x40,0 x 2其它| y | 2x,20,0 x 2其它21d

18、x,4Y(y) (x, y)dx |y|0,1| y | 2(2| y |),4其它其它0,2）显然，(x,y)X(x)Y(y)，所以 X 与 Y 不独立。又因为 EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此 X 与 Y 不相关。3）Z(z) (x,z x)dx21zdx,240,0 z 4其它1z,280,0 z 4其它3、解 1）L(x1,x2,xn,) ei1n1xi1nei1xinlnL(x1,x2,令,xn,) nlnnxd ln Lnnx 2 0d X解出： EX EX 2）E是的无偏估计量。六、应用题（20 分）1 解解：设事件A1，A2，A3，A4 分别表示交通工具“

19、火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别等于 3/10，1/5，1/10 和 2/5，事件 B 表示“迟到” ，已知概率PB|Ai,i 1,2,3,4分别等于 1/4，1/3，1/2，0则PB) P(Ai)P(B| Ai) i1423120P(A1| B) P(A1)P(B| A1)9P(A2)P(B| A2)8，P(A2| B) P(B)23P(B)23P(A3)P(B| A3)6P(A4)P(B| A4) 0，P(A4| B) P(B)23P(B)P(A3| B) 由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解：H0:a 0.5（） ，H1:a 0.5拒绝域为：0 x 0.55 t0.95(4)s计

20、算x 0.5184,s 0.018t x 0.55 2.2857 t0.95(4)，s所以，拒绝H0，说明有害物质含量超过了规定。附表：答答案（模拟试题二）案（模拟试题二）一、填空题(45 分，每空 3 分)1P(B) 0.4,P(AB) 0.42P(A) 143X012P 6/119/221/2211 1,4(A,B) ( ,)，(x) (1 x2)2xR1,5Y(y) 20,y0,2y0,26Y01X-11/40001/211/40PX Y 1347cov(X,Y) 12,D(3X 12Y 1)1988a 1120,b 100；9k 1n1；10.(4.412, 5.588)二、计算题(2

21、7 分)1 （1）1(x1),x0,2X(x) ,1(y1),4Y(y) 0,x0,240,（2）不独立1z28,0 z 2（3）1Z(z) 8z(4 z),2 z 40,其它2 （1）计算EX xe(x)dx 1根据矩估计思想，x EX 1解出：1 X 1；y0,2y0,2（2）似然函数L(x1,n(xi)nxn), xi, xiee,xn,) i1其它0,0,其它显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为 x(1)，所以e e(1)，即L(x1,x,xn,) L(x1,xn,x(1) X min(X ,所以，当2(1)1,Xn)时，使得似然函数达最大。极大

22、似然估计为2。三、1解： （1）设Ai表示“第一次从甲箱中任取 3 件，其中恰有 i 件次品” ， （i=0,1,2,3）设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；31123111C3C32C3C3C3C2C3C3C11P(B) P(Ai)P(B| Ai) 30313131C6C6C6C6C6C6C64i1n（2）P(A2| B) P(A2B) 0.6P(B)2 解：H0:a 70（） ，H1:a 70拒绝域为：0|x 70|36 t0.975(35)s根据条件x 66.5，s 15，计算并比较x 7036 1.4 t0.975(35) 2.0301s所以，接受H0，可以认为平均成绩为 7

23、0 分。3(8 分)证明：因为P(B| A) P(B| A)P(AB)P(A) P(AB)P(A)P(AB)1P(A)P(B)P(AB)P(A)P(AB) P(B)P(A)A与B相互独立答案（模拟试题三）一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1 0.5；2/7；0.5。2p1p2；31；P0.5 X 1.515/16；4240 1,0 1,1/ 3，2/9，1/9，17/3。5n 6，p 0.4 。6N(a32,24)。7(2.6895, 2.7205)。二、解： （1）(x)dx 1cexdx c 10 xx 0（2）F(x) 0,(t)dt xetdt 1ex,x 00（3）Y 的分布函

24、数F (y) P2X 1 y PX y 1Y2y12exdx,y 1y011e2,0,y 10,1ey 12,y 1Y(y) 20,y 1三、解： （1）11x(x, y)dxdy 00cdydx c2，c 2（2）x2dy 2x,0 x 1X(x) (x, y)dy 00,其它12dy 2(1 y),0 y 1Y(y) (x, y)dx y0,其它（3）X与Y不独立；zz/22dy z,0 z 1（4）1X Y(z) (x,z x)dx 2dy 2 z,1 z 2z/20,其它y 1y 12（5）EX 2x dx ,0312EX2x3dx 021121111EY 2y(1 y)dy ,EY2

25、2y2(1 y)dx 0036121111DX ( )2,DY ( )2231863181x112 11EXY 2xydydx ,cov(X,Y) EXY EX EY 00443 3367D(2X 3Y) 4DX 9DY 2cov(2 X,3Y) 1811四、解： （1）EX x(1)xdx ,021令EX x，即 x22X 1。解得11 X（2）L() (xi,) (1) (xi),0 xi1,i 1,2,., nni1i1nln L()nln L() nln(1)ln xi，ln xi 01i1i1nnn 1解得2nln Xi1ni五、解：设A1=某机床为车床，P(A1) A2=某机床为钻

26、床，P(A2) 9；151；52A3=某机床为磨床，P(A3) ；151A4=某机床为刨床，P(A4) ；151231B=需要修理，P(B| A1) ，P(B| A2) ，P(B| A3) ，P(B| A4) 7777则P(B) P(Ai)P(B| Ai) i1422105P(A1| B) P(A1)P(B| A1)9。P(B)22六、解：H0:2 0.04,H1:2 0.04拒绝域为：(n1)S202/2(n1)或(n1)S2012/2(n1)计算得(n1)s20(91)0.03722(9) 2.7 0.2738 0.2738，查表得0.0250.04样本值落入拒绝域内，因此拒绝H0。附表：

27、22220.05(10) 3.94,0.025(10) 3.247,0.05(9) 3.325,0.05(9) 2.7,22220.975(10) 20.483,0.975(9) 19.023,0.95(10) 18.307,0.95(9) 16.919,答答 案（模拟试题四）案（模拟试题四）一、填空题（每题一、填空题（每题 3 3 分，共分，共 4242 分）分）1、 0.40.4；0.84210.8421。2、0.120.12。1,3323、e，4e。4、1/ 2，1/，(x) 9 x0,5、3 3，5 5，0.62860.6286。6、 2.3332.333。7、3/2,U ,V3/53

28、/5。二、二、1、解 （18 分）3 x 3其他。x 1/2,0 x 1（1）X(x) Y(x) 0,其他（2）不独立。3z2,0 z 1（3）Z(z) 0,其他2、解 （1）求Z的分布律；P(Z 0) P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0) 2pqP(Z 1) P(X 0,Y 0) P(X 1,Y 1) p2 q2（2）(X，Z)的联合分布律：01ZX012pqqpqp22pqp2 q2qp（3）当p 0.5时，X 与 Z 独立。三、应用题（三、应用题（2424 分）分）1、解：设X表示一周 5 个工作日机器发生故障的天数，则XB(5,0.2)，分布律为：P(X k) C5k0.2k0.

29、85k,k 0,1,.,5设Y（万元）表示一周 5 个工作日的利润，根据题意，Y的分布律10, X 0,P(X 0) 0.3285, X 1,P(X 1) 0.410Y f (X) 0, X 2,P(X 2) 0.205 2, X 3,P(X 3) 0.057则EY 5.216（万元） 。2、解：设A1, A2, A3分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B表示输出为ABCA的随P(A1)P(B A1)机事件。由贝叶斯公式得：P(A1B) 3P(Ai)P(B Ai)i1P(A1)0.5,P(A2)0.4,P(A3)0.1P(B A1) 0.80.10.10.8 0.0064P(B A2) 0.10.80.10.1 0.0008P(B A3) 0.10.10.80.1 0.0008P(A1B) 0.50.006480.50.00640.00080.40.00080.19