数字信号处理常用知识点.pdf

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1、z实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。z列出三种关于数字信号处理的实现方法通用计算机软件实现、特殊专用集成电路 ASIC实现以及可编程器件如 FPGA 硬件实现和通用 DSP 器件实现等。z设系统用差分方程 y(n)=x(n)sin(wn)描述，x(n)与 y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时变。z由于 IIR 数字滤波器的冲激响应无限长，故不能采用时域卷积（或频域卷积）的方法实现，只能通过差分方程的形式来实现。因此常被用作移相器等非z第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相频特点是具有-90o初相，选频特性之应用。zFIR 数字滤波器常采用窗函数法、 频率采

2、样法和最佳等纹波逼近法等直接数字域设计方法，不能采用模拟滤波器的经典设计理论。z实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。z当采用基于 DFT 的方法（可使用 FFT 算法）对模拟实信号进行谱分析时，会存在四种主要的、无法避免的、或难以减轻的误差，它们是：时域采样时产生的频谱混叠现象，DFT（频率采样）造成的栅栏效应，信号截断（有限长度）导致的频谱（或频率）泄漏和谱间干扰。z设系统用差分方程 y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)描述， x(n)与 y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时不变。 （注：从线性和时变性回答）z数字滤波器均可通过差分方程的形式

3、来实现。 对于 FIR 数字滤波器， 由于冲激响应有限长，故也可用时域卷积（或频域卷积）的方法实现。z第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相频特点是初相为 0。zIIR 数字滤波器设计常采用模拟滤波器设计的经典理论， 从模拟滤波器到数字滤波器的过渡通常采用脉冲响应不变法或双线性变换法。z模拟信号和数字信号的描述与分析域分别采用 s 域与 z 域。z如果一个数字因果系统是不稳定的， 输出幅度随时间呈发散状， 那么它的极点至少有一个在 z 平面的单位圆外。z如果离散系统的系统函数表示为 H(z)，它是因果稳定的，其最小相位条件是所有零点在单位圆内。z频率分辨率用频率采样间隔 F 描述，表示谱分析中

4、能够分辨的两个频谱分量的最小间F =隔，可写成fs1=NNT。显然，F 越小，离散的谱分析就越接近原连续信号的频谱，频率分辨率越高。上式中 NT=Tp 为对信号的观测时间，只有增加 Tp 才能提高频率分辨率。z频域采样定理是这样描述的：如果 x（n）的长度为 M，则只有当频域采样点数 NM 时，否则将产才有xN(n) = IDFTX(k)= x(n)，可由频域采样X(k)恢复原序列 x（n）生时域混叠现象。z切比雪夫（Chebyshev）型滤波器具有的特点如下：阻带等波纹，通带单调，过度特性较好，阻带衰减较大。z由脉冲响应不变法的基本思路可推出如下关系，该式表示的含义是：Ha(s) =i=1N

5、Ai H (z) =s si1 ei=1NAisiTz1SiT通过将连续域模拟滤波器 Ha(s)的极点 si影射成离散域数字滤波器 H(z)的极点 zi=e ，可得到数字滤波器 H(z)。z通常 FIR 滤波器的实现方法有别于 IIR，常采用：直接型、快速卷积型或频率抽样型结构实现。zFIR 滤波器从实现功能上分，有：选频特性滤波器、全通滤波器（移相）和微分器（瞬态特性）等种类。z离散希尔伯特变换是：一种正交变换，因此常用于构成解析信号（复信号） 。z模拟信号和对其采样得到的数字信号的频谱关系是： 二者形状相同， 但数字信号频谱是以 2为周期延拓的。z如果一个数字系统是因果稳定的，那么它的极点

6、一定在：z 平面的单位圆内。z实现数字 IIR 滤波时，有限字长效应会导致产生：不稳定而出现振荡。z在利用系统的极零点分布分析系统的幅频特性时， 极点和零点的位置分别影响幅频响应的：峰值，谷值。z已知一个 IIR 数字滤波器的系统函数H(z) =1，滤波器的类型为：高通。11+0.9zz脉冲响应不变法的优点是能较好地重现原模拟滤波器的频率特性，且时域特性逼近好；缺点是产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的设计。z采用重叠相加法来完成 FIR 滤波时，实际上是单位冲击相应 h（n）和截断序列 xi（n）之间进行卷积，然后再将各断时间重叠部分相加。若 h（n）长度为 M，xi（n）长度为 N，

7、则每段卷积长度为 M+N-1。z频域采样定理是这样描述的：如果 x（n）的长度为 M，则只有当频域采样点数 NM 时，否则将产才有xN(n) = IDFTX(k)= x(n)，可由频域采样X(k)恢复原序列 x（n）生时域混叠现象。zIIR 滤波器的设计可采用模拟滤波器的经典设计理论，经典模拟滤波器有切比雪夫、椭圆、贝塞尔和巴特沃斯滤波器等种类。z离散希尔伯特变换是一种正交变换，因此常用于构成解析信号（复信号） 。z 取任何值时，sin(n)不一定是周期信号。z设有限长实偶对称序列为x(n) = x(N n)，则它的 DFT 也为实偶对称函数，即虚部为零，表示成X(k) = X(N k)。z离

8、散时间系统中的“时域卷积-频域相乘”中的卷积指的是循环卷积。z切比雪夫逼近法是一种等波纹逼近法， 它使误差在整个频带均匀分布； 对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低；对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。z线性相位 FIR 数字滤波器由于其单位冲激响应的奇偶对称性，可以将其直接实现的结构对折，形成先加减后乘累加的结构，这样可减少约一半的加法计算量。z如果因果的离散时间线性时不变系统具有两对共轭的零、 极点对在单位圆上， 则该系统可以形成数字振荡器（NCO） 。这样，用简单的差分方程就能产生正弦振荡输出，用于通信等领域。z如 果x(n)是 实 因 果 序 列 ，X(e) = D

9、TFTx(n)， 一 般 可 由X(e)的 实 部jjReX(ej)不能求出x(n)。z若某离散时间线性时不变系统的幅频特性|H(e )|=1，则该系统接入与否仍有影响。zFFT 算法是利用了旋转因子的对称性、周期性和可约性等性质，并充分利用特殊值，设法使长序列变短，最后变成 1 点的 DFT，再倒装重组成 N 点 DFT。z用窗函数法设计 FIR 滤波器时，吉布斯现象是无法避免但可减弱的。z数字信号处理技术比模拟信号处理技术优越的特点是精度高、可靠性好、灵活性强、易于大规模集成、可以时分复用、能够二维与多维处理、高性能(如线性相位)。z设计巴特沃斯（Butterworth）数字低通滤波器所需

10、技术指标及量纲（单位）有：通带数字频率（归一化角频率）p，无量纲，常用表示；阻带数字频率（归一化角频率）jws无量纲，常用表示；通带最大衰减（波动）p，无量纲，常用 dB 表示；阻带最小衰减s，无量纲，常用 dB 表示。该滤波器的幅频特性特点：幅频特性为单调减少。z请问用窗函数法设计 FIR 滤波器时，对理想滤波器的截短会产生后果：在理想特性不连续点附近形成过渡带；在通带和阻带内出现波动，造成通带平坦度变差，阻带衰减变小；并在截止频率的两边出现最大尖峰值，峰谷值形成吉布斯现象。减缓方法：增加窗口长度 N 可以减少过渡带的宽度；改变窗的形状可以减小带内波动和加大阻带衰减。z心电图（ECG）信号极

11、易遭受工频（50Hz，考虑到 4 次及以下谐波）及其它生物电信号如肌电信号的干扰，这些干扰有何后果？如何减轻或消除？（注：为简单起见，可认为ECG 信号主要能量分布在 45Hz 以下，肌电等信号主要能量分布在 0.5Hz 以下）（1）造成 ECG 信号无法辨识（波形杂乱） ，且基线的漂移。（2）将ECG 信号数字化，采用数字滤波的办法加以解决。设计一个数字带通滤波器，对应下限模拟频率为 0.5Hz，上限模拟频率为 45Hz。数字化时采样率应高于50Hz*4=200Hz，如取 fs=500SPS。上、下限数字频率需用 fs 归一化（w=f/fs） 。（3）ECG 有形状要求，数字带通滤波器要采用

12、线性相位的 FIR 实现。z采样定理告诉我们，对于限带信号，只要 fs2fmax，信号的信息就会正常保留下来。在实际数字信号处理系统中，在满足采样定理的前提下，ADC、DAC 采用较高采样率而数字信号处理环节则采用较低采样率。这是为什么？采样率如何转换？（1）因为 ADC 中采样信号很难做成理想的冲击函数，为了使信号失真尽可能少，常使用比 fs 更高的采样率。在数字域中，为减少运算量，可以进行降采样率的抽取，只要保证 fs2fmax 即可， 这样可去除冗余相关数据， 使数据量减少， 并且处理更加高效。而在 DAC 中，为了降低对低通滤波器的要求，将采样率升高，使得 0 阶保持输出信号的高频谐波

13、频谱迅速衰减。（2）通过抽取降低采样率，通过插值提高采样率。z判断序列x(n)=Acos(1n)是否是周期的，若是周期的，确定其周期。若其采样88率为 160Hz，则其对应模拟信号的频率是多少？其中，A 是常数。11x(n) = Acos(n) = Acos(n+16k)88881*160=8f =* fs22=10（Hz）x(n)是周期序列，周期为 16，模拟频率是 10Hz。z对实信号进行谱分析，要求谱分析分辨率 F50Hz，信号频率范围在 0Hz 至 2kHz，试确定以下参数：最短离散信号的记录长度；最大采样周期；最少采样点数；在频带宽度不变的情况下，要使频率分辨率提高一倍的采样点数。（

14、1）已知 F=50Hz，tpmin=1/F=1/50=0.02S=20mS（2）已知 fmax=2000Hz，Tmax=1fsmin=11= 0.25ms32 fmax2210（3）Tp=tmin，Nmin=TpT=20=800.25因此，最短记录长度 20mS，最大取样间隔 0.25mS，最少采样点数 80；要使频率分辨率提高一倍的采样点数为 2*80=160 点。z在高阶实现中，同样性能指标前提下，为什么级联型IIR 滤波器比直接型 IIR 滤波器更容易实现？因为 IIR 滤波器实现中是有误差的，主要体现在信号字长、滤波系数字长和计算字长及计算结果截尾方式等。直接型中，当调整某一个 ak将

15、影响所有的极点；调整某一个 bk将影响所有的零点；进而影响滤波器的系统函数。并且，其对有限字长的过分敏感，容易出现不稳定现象。而级联型则仅限在本级的性能影响，调整容易得多；且容易保证极点在单位圆内，避免出现不稳定现象。z右图给出了 FIR 频率采样法设计滤波器的理想幅度特性和实际幅度特性，它说明了什么问题？说明了误差和Hd(e )特性的平滑程度有关。特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断处，误差最大。理想间断点形成过度带；通带和阻带形成震荡，使通带波动加大，阻带衰减减小。提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过度采样点，使不连续点变成慢慢过渡。虽然加大了过渡带，但明显增

16、大了阻带衰减，通带波动也会减小。z当采用基于 DFT 的方法（可使用 FFT 算法）对模拟实信号进行谱分析时，会存在哪些主要的、无法避免的误差？如何减轻其影响？(1)时域采样时，频谱混叠现象：应满足采样定理的条件。为避免频谱混叠，要作预滤波，阻带应有足够的衰减。(2)DFT（频率采样）造成的栅栏效应：可能漏掉(挡住)某些大的频率分量，通过增加N可改善，但不能消除。(3)信号有限长度导致的截断效应：I.频率泄漏(frequencyleakage)：时域截断后,频域展宽。II.谱间干扰：强信号的旁瓣,可能湮没弱信号的主谱线。z已知 X(k)、Y(k)是两个 N 点实序列 x(n)、y(n)的 DF

17、T，若要从X(k)、Y(k)求 x(n)、y(n)，为了提高运算效率，如何实现用一次 N 点 IFFT 来完成这个运算？答：因为 x(n)、y(n)均为实序列，所以 X(k)、Y(k)分别为共轭对称序列。j*Y(k)则为共轭反对称序列。可令 X(k)，jY(k)分别作为复序列 F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量，即：jwF(k) = X(k)+ jY(k) = Fep(k)+ Fop(k)。 计 算 一 次N点IFFT得 到 ：f (n) = IFFTF(k)= Re f (n)+ jImf (n)，由 DFT 的共轭对称性可知：Re f (n)= IDFTFep(k)= IDFTX(k)

18、= x(n)jImf (n)= IDFTFop(k)= IDFT jY(k)= jy(n)*) =1故x(n2 f (n)+ f (n)y(n) =1 f (n) f*(n)2 j1（1）写出(1+0.9z1+2.1z2+0.9z3+ z4)，10zFIR 滤波器的系统函数为：H(z) =滤波器的单位脉冲响应h(n)的表达式； （2）分析该滤波器的幅频特性； （3）该滤波器是否具有线性相位特性？为什么？（1）H(z)的逆 z 变换就是冲击响应h(n)。根据 z 变换的线性性质、延时性质和Z(n)=1可得：1(n)+0.9(n1)+2.1(n2)+0.9(n3)+(n4)10j2 j（2）频响：

19、H(z)z=ej= H(e) = e(4.2+1.8cos+2cos 2)h(n) =幅频特性：| H(e)|= 4.2+1.8cos+2cos2j（3）由 （2）得相位特性：（）= e2 j= 2j，显然该滤波器具有线性相位特性。z现有两个长度为 N 的实序列 x（n）与 y（n） 。请设计一个方法，只进行一次长度为 N的快速傅里叶变换，就能将 x（n）与 y（n）各自的傅里叶变换都求出来。将两个长度为 N 的实序列 x(n)、 y(n)组成一个长度为 N 的复序列 f(n)： f(n)=x(n)+jy(n)其 DFT 为：F（k）=DFTf(n)，可用 N 点快速傅里叶变换实现。根据 DF

20、T 的共轭对称原理：序列的实部的 DFT 为序列 DFT 的共轭对称部分，序列的虚部的 DFT 为序列 DFT 的共轭反对称部分，可得：X(k) = DFTx(n)= DFTreal( f (n)= Fep(k)Y(k) = DFTy(n)=1 jDFT jimag( f (n)=1 jFop(k)将 F(k)分解成共轭对称序列 Fep(k)和共轭反对称序列 Fop(k)，可得：1X(k) = Fep(k) =F(k)+ F *(N k)21Y(k) =1 jFop(k) =F(k) F*(N k)2jz已知 LTI系统的单位冲击响应为：h(n) =1(n)+0.9(n1)+2.1(n2)+0

21、.9(n3)+(n4)10试完成： （1）求系统函数H（z） ； （2）分析该系统的幅频特性； （3）该系统是否具有线性相位特性？为什么？（1）系统函数 H（z）是冲击响应 h(n)的 z 变换，根据 z 变换的线性性质、延时性质和Z(n)=1可得：H(z) =（2）频响：1(1+0.9z1+2.1z2+0.9z3+ z4)10jH(z)z=e= H(ej) = e2 j(4.2+1.8cos+2cos 2)幅频特性：| H(e)|= 4.2+1.8cos+2cos2j（3）由 （2）得相位特性：（）= e2 j= 2j，显然该滤波器具有线性相位特性。z使用 Matlab 平台设计一个 IIR

22、 椭圆带通数字滤波器。假设信号采样率为 5MSPS（兆采样每秒） ，通带截止频率为 560KHz 和 780KHz、波动最大 1dB，阻带截止频率为 375KHz和 1MHz、最小衰减50dB。要求：编写一个Matlab 程序： （1）完成该椭圆IIR 数字带通滤波器功能，给出直接型实现的反馈系数ai 和前馈系数 bi； （2）作图给出滤波器的幅频特性和相频特性。直接手工演算不给分。z使用 Matlab 平台设计一个 IIR 椭圆带阻数字滤波器。假设信号采样率为 5MSPS（兆采样每秒） ，阻带截止频率为 560KHz 和 780KHz、波动最大 1dB，通带截止频率为 375KHz和 1MHz、最小衰减50dB。要求：编写一个Matlab 程序： （1）完成该椭圆IIR 数字带阻滤波器功能，给出直接型实现的反馈系数ai 和前馈系数 bi； （2）作图给出滤波器的幅频特性和相频特性。直接手工演算不给分。