数学建模题(乒乓球赛).pdf

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1、东华理工大学东华理工大学数学建模一周论文数学建模一周论文论文题目：论文题目：乒乓球赛问题姓名姓名 1 1：夏国图：夏国图学号：学号：2 2姓名姓名 2 2：蔡鹏泽：蔡鹏泽学号：学号：2 2姓名姓名 3 3：吕玉林：吕玉林学号：学号：2 2专专业：核工程与核技术业：核工程与核技术班班级级：指导教师指导教师： 黄黄 涛涛20162016 年年 1 1 月月 7 7 日日摘要“乒乓球赛”数学模型是根据参赛人出场顺序不同，来探讨如何有效地获取最大几率的胜利。就我们所知道的， 在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力。如何最大可能获取胜利， 是每个队共同追求的

2、，建立乒乓球模型，可以帮助我们更快解决这一难题，乒乓球的建模问题可以与数学的建模问题联合起来。 以“五局三胜制”进行乒乓球赛，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果， 所以合理的安排是取得成功的关键。题中所给矩阵也只是打满五局A 队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有不同的结果。当站在A 队的角度，分析采取不同的出场方案。 对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建模、解模。A 队以 i 次序出场、B 队以 j次序出场时， 设这时 A 队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数， 并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况

3、进行列举， 比较双方的实力。从矩阵中可知，A 队以 i 次序出场而 B 队以 j 次序出场，则打满5 局 A 队可胜局，A、B 两支队伍实力的 强 弱 与 胜 利 的 次 数 有 关 ， 由A 队 在 5 局 比 赛 中 获 胜 的 概 率 分 布 为 ： , k=0,1,2,3,4,5 ,然后计算五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：在矩阵中A 队以 i 次序出场、B 队以 j 次序出场时，在五局三胜制比赛中 A 队最后获胜的概率。建模目的： 通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析， 最后以本次预测方式为基础， 对乒乓球

4、比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。问题重述问题重述1.背景：两队乒乓球比赛，由于各队员的不同出场顺序也是不同， 导致比赛的结果也不同。 基于以上问题，讨论不同队员出场顺序比赛对于比赛结果的影响。2.问题：A、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3 名选手上场，并各有3 种选手的出场顺序（分别记为出如果 A 队以1,2,3和1,2,3）。根据过去的比赛记录， 可以预测i次序出场而 B 队以j次序出场，则打满 5 局 A 队可胜aij局。由此得矩阵R (aij)如下：12R 3441122035133（1） 根据矩阵 R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队

5、都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3） 如果你是 A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？问题分析问题分析乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3 种出场顺序（分别记为1,2,3和1,2,3）。而且根据以往经验给出了打满 5 局 A 队可胜的局数构成的矩阵 （如题图）。我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A 队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。 2.打完四局后才结束，即

6、前三局只赢了两局。 3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。我们进而可以求出整场比赛下来，A队获胜的概率。对于问题一， 我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下， 赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。概率平均值大的即为所求的稳妥方案。例如A 队选择a1 出场方案的情况下赢得整场比赛的概率， 求出在 B 队以各种出场方案情况下， A 队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3 的情况下大，则对 A 队来说，a1 方案即为稳妥方案。在这里，还要求出 B 队的各种矩阵。对于问题三

7、，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。对于问题四， 由于比赛存在还没有打满五场就结束的情况， 因为比赛是采取五局三胜制的， 如果在还没打完五局的情况下比赛就结束了， 那么接下来的比赛就没有进行下去的必要了。1.假设各队的队员都正常发挥。模型的假设和约定模型的假设和约定2.不考虑外界因素对于各队员发挥的影响。3.双方各队员的出场顺序都互补影响，相互独立。符号说明符号说明：A 队的选手ijpq：B 队的选手：A 队获胜的概率ijij：A 队最后获胜的概率R：在打满5局，A 队可胜局数的矩阵。Q： 在打满 5 局，B 队可胜局数的矩阵。R1: 在打满 5 局，A 队每局可胜的概率矩阵。R2:

8、 在打满 5 局，A 队最终可胜的概率矩阵。Q1: 在打满 5 局，B 队每局可胜的概率矩阵。Q2: 在打满 5 局，B 队最终可胜概率的矩阵。模型的建立模型的建立A 队打满五局时 A 队可胜的局数aij局的矩阵R (aij)已知：12R 3441122035133由此我们可知 B 队打满五局时 B 队可胜的局数bij局的矩阵Q (bij)如下：1231350Q 24223114对于 A 队，由 R 矩阵可以求得矩阵 R1，P1ij=aij/50.40.20.8R100.60.810.60.2同理对于 B 队：0 0.61Q1 （P2ij） 0.80.40.40.20.20.8比赛是五局三胜制

9、，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。下面我们来计算在五局三胜制比赛中 A 队最后获胜的概率：一、A 队最后获胜，可以分成下列几种情况：令pij P1ij（1）A 队前三局获胜。这种情况的概率为赢赢赢pi3j；(图中为 A 队赢)（2）在前三局中 A 队胜二局，B 队胜一局，第四局 A 队又胜一局。这种情况的概率为22C3pi j(1 pi j)pi j 3pi3j(1 pi j)；赢赢输赢赢赢输赢赢赢输赢（3）在前四局中 A 队胜二局，最后 A 队又胜一局。这种情况的概率为22C4pi j(1 pi j)2pi j 6pi3j(1 pi j)2；赢把这三种情况加起来，就得到在五局三胜

10、制比赛中 A 队最后获胜的概率赢赢输输输输输赢输赢赢输赢赢输输赢输赢赢赢赢赢赢赢赢输输赢qi jpi3j3pi3j(1 pi j)6pi3j(1 pi j)2。 pi3j13(1 pi j)6(12pi j pi2j) pi3j(1015pi j6pi2j)0.40.20.8R100.60.810.60.2各数值代入上式，可以计算出 A 队最后获胜的一个矩阵将0.320.060.94R2 (rij) 00.680.9410.680.06二、对于 B 队，最后获胜，可以分成下列几种情况：令pij P2ij;同理由上可知 B 队获胜情况可分为三种。（1）B 队前三局获胜。这种情况的概率为pi3j；

11、（2）在前三局中 B 队胜二局，A 队胜一局，第四局 B 队又胜一局。这种情况的概率为22C3pi j(1 pi j)pi j 3pi3j(1 pi j)；（3）在前四局中 B 队胜二局，最后 B 队又胜一局。这种情况的概率为22C4pi j(1 pi j)2pi j 6pi3j(1 pi j)2；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中 A 队最后获胜的概率qi jpi3j3pi3j(1 pi j)6pi3j(1 pi j)2。 pi3j13(1 pi j)6(12pi j pi2j) pi3j(1015pi j6pi2j)0 0.61Q10.80.40.40.20.20.8各数值代入上

12、式，可以计算出 B 队最后获胜的一个矩阵将10 0.68Q2 （qij） 0.940.320.320.060.060.94。问题 1：33p1rij/9i1j1最后平均获胜概率为：A 队33p2 qij/9i1j1 B 队取 p1,p2 中大者所属队即为实力更强的。问题 2：3p1r1j/3j1；对于 A 队，若选用1出场顺序，平均获胜概率为3p2r2 j/3j1；若选用2出场顺序，平均获胜概率为3p3r3 j/3j1；若选用3出场顺序，平均获胜概率为3/3p1q1j1j1；对于 B 队，若选用出场顺序，平均获胜概率为3p2q2 j/3j1；若选用2出场顺序，平均获胜概率为3/3p3q3 j3

13、j1；若选用出场顺序，平均获胜概率为稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。即：A 队选用p1，p2，p3中较大的那种出场顺序。 B 队选用p1，p2，p3中较大的那种出场顺序。问题 3：此问题类似问题 2，选用较为稳妥的方案即是。问题 4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。模型求解模型求解问题 1：33依题目所给的数据，p1rij/9 0.52,i1j133p2 qij/9 0.48。i1j1p1 p2A队的实力更强些。问题 2：依题目 A 队所给的数据，3p1r1j/3 0.44j13r2 jp2/3 0.54j13p3r3 j/3 0.58j1所以 A 队最稳妥的方案是3出场顺序。依

14、题目 B 队所给的数据3p1q1j/3 0.56j13p2q2 j/3 0.53j13p3q3 j/3 0.35j1所以 B 队最稳妥的出场顺序是1出场顺序。所以当 A 队以3，B 队以1出场顺序，时，找到对应的 R2，或者 Q2 矩阵，得知，最终将是 A 队获胜。问题 3：由问题 2，知在稳妥的方案下，A 队获胜的概率为 1，所以会选用以3的出场顺序参赛。问题 4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。模型优缺点分析模型优缺点分析比赛为五战三胜制，但矩阵 R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。优点：虽是在打满五局的情况下得到的， 但是可以推测两队的实力情况

15、，进而指导出场方案。缺点：这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。建模的推广及进一步讨论建模的推广及进一步讨论数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛， 人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。 数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。众所周知，任何项目的体育比赛， 其结果都会受到许多有关因素的影响，而这些因素又可以分为两类：一类是随机因素，例如参赛各方的临场发挥，比赛时的天气情况等；另一类是确定性因素，

16、例如参赛各方的总体实力，比赛所采用的规则、赛制等。由于随机因素是人们无法控制的， 所以人们总是在确定性因素例如比赛规则方面经常改进，以使得比赛更加精彩合理。作为体育赛事的组织者，除了尽可能地使参赛各方在平等条件下进行竞争之外， 很重要的目标之一就是设法使比赛结果最大限度地体现出各队的真实水平。从数学观点看， 就是要使得比赛中强队获胜的概率达到最大。就比赛中采用的规则而言，许多项目的比赛经常采用五局三胜制。而在“乒乓球赛” 数学模型是通过参赛人出场顺序来探讨如何有效地获取更大几率的胜利，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，五局三胜制更能体现运动员的综合能力, 乒乓的建模问题与数学的建模

17、问题联合起来看的， 可以通过以往的经验， 在凭借以往的数据上通过计算预测对方和自身的实力，这样从而更好指导现实中生活， 有计划、 准备的训练队员， 这在现实生活中是非常有必要的。针对其他赛事，如网球，排球，以及其他的，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到优解。九、参考文献九、参考文献【1】 陈汝栋,于延荣.数学模型与数学建模 （第 2 版） 国防工业出版社 2009.5【2】 罗万成.大学生数学建模案例精选 M.成都： 西南交通大学出版社，2007。【3】李尚志.数学建模竞赛教程 M.江苏：江苏教育出版社 1996【4】马莉.数学实验与建模清华大学出版社 2010.1【5】百

18、度文库。四、附录数学建模评分表数学建模评分表学生姓名：_、_、_班级：_学号：数学建模题目：选题工作量适中，难易度合理能力水平理论依据充分，数据准确，公式推导正确能编程，资料搜集录入、加工、排版、制图等应用计算机软件进行能体现创造性思维，或有独特见解成果质量摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、调理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰论文主要部分齐全、合理，符合统一、编号齐全。格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求字数不少于 2000 字，不超过 15000 字51015模型正确、合理，各项技术指标符合要求10101015能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力项目内容能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求。 （3 人一题）满分51010实评指导教师评估：总分100指导教师签名：年月日