三角形中位线定理及逆定理的证明.pdf

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1、定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触） ，并且等于第三边的一半。1三角形的中位线2证明如图，已知ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 两边中点。求证 DE 平行于 BC 且等于 BC/2方法一：过 C 作 AB 的平行线交 DE 的延长线于 G 点。CGADA=ACGAED=CEG、AE=CE、A=ACG（用大括号）ADECGE （A.S.A)AD=CG(全等三角形对应边相等)D 为 AB 中点AD=BDBD=CG又BDCGBCGD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DGBC 且 DG=BCDE=DG/2=BC/2三角形的中位线定理成立.方法二：相似法：D 是

2、AB 中点AD：AB=1：2E 是 AC 中点AE：AC=1:2又A=AADEABCAD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2ADE=B，AED=CBC=2DE,BCDE方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3）则一条边长为 ：根号（x2-x1）2+(y2-y1）2另两边中点为（ （x1+x3）/2， （y1+y3）/2） ，和（(x2+x3）/2， （y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（ （x2+x3）/2-(x1+x3）/2）2+(y2+y3）/2-(y1+y3）/2）2最后化简时将 x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法四：延长

3、 DE 到点 G，使 EG=DE，连接 CG点 E 是 AC 中点AE=CEAE=CE、AED=CEF、DE=GEADECGE (S.A.S)AD=CG、G=ADED 为 AB 中点AD=BDBD=CG点 D 在边 AB 上DBCGBCGD 是平行四边形DE=DG/2=BC/2三角形的中位线定理成立2方法五：向量 DEDE=DADA+AEAE=(BABA+ACAC)/2=BCBC/23DE/BC 且 DE=BC/23逆定理逆定理一逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交， 平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图 DE/BC，DE=BC/2，则 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点。逆定理二逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。如图 D 是 AB 的中点，DE/BC，则 E 是 AC 的中点，DE=BC/2三角形的中位线证明：取 AC 中点 E，连接 DE，则有AD=BD，AE=CEDE是三角形 ABC 的中位线DEBC又DEBCDE 和 DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）E 是中点，DE=BC/2