全等三角形难题集锦超级好.pdf

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1、1. 如图，已知等边ABC ，P 在 AC延长线上一点，以PA为边作等边 APE,EC延长线交 BP于 M ，连接 AM,求证：（ 1）BP=CE ；（2）试证明： EM-PM=AM. 2、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB. （2）将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？（3）AN与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。图图5.已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD， ，在一条直线上，连接B

2、ECDMN，分别为BECD，的中点（1）求证：BECD；ANAM；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 6. 如图，C 为线段 AE上一动点（不与点A，E重合），在 AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ，AD与 BE交于点 O，AD与 BC交于点P，BE与 CD交于点 Q ，连结 PQ 以下五个结论： AD=BE ； PQAE； AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 CP=CQ CPQ为等边三角形共有 2 对全等三角形CO平分 AOP CO平分 BCD 恒成立的结论有 _（把你认为正

3、确的序号都填上）10.已知：如图，ABC是等边三角形， 过AB边上的点D作DGBC， 交AC于点G， 在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论11、如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由A G F C B D E （图）22题PBACEMOOFEABABNCMMCNFEA B C E D O P Q C E N D A B M 图C A E M B D N 图C G A E

4、D B F 9 如图， C 为线段 AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ，AD与 BE交于点 O，AD与 BC交于点P，BE与 CD交于点 Q ，连结 PQ 以下五个结论： AD=BE ； PQAE； AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 恒成立的结论有 _（把你认为正确的序号都填上）如图所示，已知 ABC 和 BDE 都是等边三角形，且A、B、D 三点共线下列结论：AE=CD ；BF=BG ； HB 平分 AHD ； AHC=60 ， BFG 是等边三角形；FG AD其中正确的有（）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个1 、 在ABC中

5、 ，212 0ABBCAB C， ，将ABC绕 点B顺 时 针 旋 转 角(090 )得A BCA B111，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；2. 如图所示， ABC是等腰直角三角形，ACB 90， AD是 BC边上的中线，过C作 AD的垂线，交AB于点 E，交 AD于点 F，求证：ADC BDE 3.如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分

6、线 BF 相交于点 F. 如图 141 ，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF的长度，猜想DE 与 EF满足的数量关系是； 连接点 E与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得 NE=BF ，进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明已知RtABC中，90ACBCCD，为AB边的中点，90EDF ，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1），易证12DEFCEFA

7、BCSSS当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS、CEFS、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明A D B E C F 1A1CA D B E C F 1A1CA B C E D O P Q A B C D E F A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 图十一4321PABCOEDCBA1.已知 AC/BD, CAB 和 DBA 的平分线 EA、EB 与 CD 相交于点 E. 求证 :AB=AC+BD. 2.等边 ABC ，D 为

8、ABC 外一点， BDC=120 ， BD=DC MDN=60 射线 DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，当点 M 、N 在边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN之间的数量关系当点 M 、N 在边 AB 、AC上，且 DM DN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M 、N 在边 AB 、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN之间的数量关系1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180。2、如图，四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ，CE

9、AB 于 E，AD+AB=2AE ，则 B 与 ADC 互补 .为什么？3、如图 4，在 ABC中， BD=CD ， ABD= ACD,求证 AD平分 BAC. 4.如图，在 ABC 中 ABC,ACB 的外角平分线交P.求证 :AP 是 BAC 的角平分线5、如图在四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ， ADC ABC 180度， CEAD 于 E，猜想 AD 、AE、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，6、如图，已知在ABC中， B=60， ABC 的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD D B E A C A B C D E B A C 图 2 D P21DCBA7

10、如图所示，已知在AEC 中， E=90， AD平分 EAC ，DFAC ，垂足为 F，DB=DC ，求证： BE=CF 8、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由

11、。9已知：如图， BFAC于点 F，CE AB于点 E，且 BD=CD ，求证：（ 1） BDE CDF （2） 点 D 在A的平分线上10、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 11、（2007 年成都）已知：如图，ABC 中， ABC=45， CDAB 于 D，BE 平分 ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是BC 边的中点，连结DH 与 BE 相交于点 G。(!) 求证： BF=AC；(2)求证： CE=12BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。12、（2009 年赤峰市）如图，在四边形A

12、BCD 中， AB=BC ，BF 是 ABC 的平分线， AFDC，连接 AC 、CF，求证： CA 是 DCF 的平分线。FDACB1、 数学课上，张老师出示了问题： 如图 1， 四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF， 且 EF 交正方形外角DCG的平分线 CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它

13、条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点 E 是 BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图DACBFEAECDFB图3MNKEDCBA图2MNKDCBA图1MKNCBA3.ABC中， BAC=60 ， C=40， AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q ，求证： AB+BP=BQ+AQ。4.

14、问题背景，如下命题： 如图 1,在正三角形ABC 中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正三角形外角ACK 的平分线 ,若 ANM=60 ,则 AN=NM 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点， CM 为正方形外角 DCK 的平分线，若 ANM=90 ，则 AN=NM 如图 3,在正五边形ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正五边形外角DCK 的平分线 ,若 ANM=108 ,则 AN=NM 任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4,在正n（n3 ）边形 ABCDEF中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正n边形外角 DC

15、K 的平分线 ,问当 ANM 等于多少度时 ,结论AN=NM 成立（不要求证明）. 如图 5,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,N为 BC 延长线上一点 ,CM 为 DCN 的平分线 ,若 ANM= ABC, 请问 AN=NM 是否还成立？若成立 ,请给予证明；若不成立,请说明理由 . 图5MNDCBA图4NKFEDCBA5.（1）如图，已知在正方形ABCD 中， M 是 AB 的中点， E 是 AB 延长线上一点， MN DM 且交 CBE 的平分线于N试判定线段MD与 MN 的大小关系；（2）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点” 改为“M 是 AB 上或 AB 延长线上

16、任意一点”，其余条件不变 试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由6.如图，在 ABC 中，A=90，D 是 AC 上的一点， BD=DC ，P 是 BC 上的任一点， PEBD，PFAC，E、F 为垂足求证：PE+PF=AB1. .如图，已知 ABC 中， AB=AC=6cm ， B= C，BC=4cm ，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点B 向点 C 运动，同时，点Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；C G

17、 E B A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，则经过后，点 P与点 Q 第一次在 ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）2.已知：在 ABC 中， ACB 为锐角，点D 为射线 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为一边且在AD 的左侧作等腰直角ADE ，解答下列各题：如果AB=AC ， BAC=90 （i）当点 D

18、在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图甲，线段BD ，CE 之间的位置关系为（ii）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？3.（2012?内江）已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形ADEF （A、D、E、F 按逆时针排列），使DAF=60 ，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF ； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的

19、数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系1. 在 ABC 中， AD BC, BEAC, D、E为垂足， AD与 BE交与点 H，BD=AD 求证： BH=AC BEAD 2.（08 河北中考第24 题）如图 14-1，在 ABC 中， BC 边在直线 l 上， ACBC，且 AC = BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（ 1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将 EFP 沿

20、直线 l 向左平移到图14-2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP，BQ猜想并写出BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿直线 l 向左平移到图14-3 的位置时， EP 的延长线交AC的延长线于点Q，连结 AP，BQ你认为（ 2）中所猜想的BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由3. （2006 年辽宁沈阳 25 题） . 如图 1，在正方形ABCD中，点 E、F 分别为边 BC 、CD的中点， AF、DE相交于点 G ，则可得结论： AF=DE ；AF DE.(不需要证明) 图 14-1（ E

21、）（ F）B CP A l l P A E B C Q F 图 14-2l B P A 图 14-3 E F Q CD C B A E H (1) 如图 2，若点 E 、F 不是正方形ABCD 的边 BC 、CD的中点， 但满足 CE=DF.则上面的结论、 是否仍然成立？( 请直接回答“成立”或“不成立”)(2) 如图 3，若点 E、F 分别在正方形ABCD 的边 CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF ，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 错误!4. 如图 1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF ，过 E、F分别作 DEAC ，BFAC ，

22、若 AB=CD ，试说明 BD平分 EF；若将 DEC的边 EC沿 AC方向移动变为图2 时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。.如图， ABC 中， ACB90 ，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D求证：（ 1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长6如图，两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板 ABC放置在一起， DEA= ACB=90 ， DAE= ABC=30 ， E 、A、C三点在一条直线上，连接BD ，取 BD中点 M ，连接 ME 、MC ，试判断 EMC 的形状，并说

23、明理由7. 已知 BE，CF是 ABC的高，且 BP=AC ，CQ=AB ，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系8. 在 RtABC 中， AC BC， ACB 90 ，D 是 AC 的中点， DGAC 交 AB 于点 G. （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证： DG=DC 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点F 在射线 DG 上， (1)中的其他条件不变，借助图2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，

24、并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）30、如图， AD/BC，AD=BC ，AE AD ，AFAB，且 AE=AD ，AF=AB ，求证： AC=EF BACEFQPDADBCGEGHFEDCBAEDCAB1.直线 CD 经过BCA的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线CD 上两点，且BECCFA（1）若直线 CD 经过BCA的内部，且E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若90 ,90BCA，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；如图 2，若0180BCA，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图 3，若直线 CD

25、经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明2.已知：如图，四边形ABCD中， AC 平分BAD ，CEAB 于 E，且B+D=180 ，求证： AE=AD+BE ABDCE123.操作：如图，ABC 是正三角形，BDC 是顶角 BDC120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于 M、N 两点，连接 MN探究：线段BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明4如图，已知E 是正方形 ABCD 的边 CD的中点，点 F 在 BC上，且 DAE= FAE 求证： AF=AD-CF 5如图所示，已知ABC中， AB=AC ，D 是 C

26、B延长线上一点，ADB=60 ， E是 AD上一点，且 DE=DB ，求证： AC=BE+BC 6、在 ABC中， BD=DC ，ED DF求证： BECFEF旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90 ， F 是 AB的中点，直线l 经过点 C，分别过点 A、B作 l 的垂线，即 AD CE ，BECE ，（1）如图 1，当 CE位于点 F 的右侧时，求证：ADC CEB ；（2）如图 2，当 CE位于点 F 的左侧时，求证：ED=BE-AD ；（3）如图 3，当 CE在 ABC的外部时，试猜想ED 、AD 、BE之间的数量关系，并证明你的猜想A B C E F D D A

27、B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 ABCDEFDABCE考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析：（1）利用同角的余角相等得出CAD= BCE ，进而根据AAS证明 ADC CEB （2）根据 AAS证明 ADC CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD （3）根据 AAS证明 ADC CEB后，得 DC=BE ，AD=CE ，又有 ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE解答：（ 1）证明： AD CE ，BE CE ， ADC= CEB=90 ACD+ ECB=90 ， CAD+ ACD=90 ， CAD= BCE （同角的余角相等）在

28、 ADC与 CEB中ADC= CEB CAD= BCE AC=BC ， ADC CEB （AAS ）（2）证明： AD CE ，BE CE ， ADC= CEB=90 ACD+ ECB=90 ， CAD+ ACD=90 ， CAD= BCE （同角的余角相等）在 ADC与 CEB中ADC= CEB CAD= BCE AC=BC ， ADC CEB （AAS ）DC=BE ，AD=CE 又 ED=CD-CE ，ED=BE-AD （3）ED=AD+BE 证明： ADCE ，BE CE ， ADC= CEB=90 ACD+ ECB=90 ， CAD+ ACD=90 ， CAD= BCE （同角的余角

29、相等）在 ADC与 CEB中ADC= CEB CAD= BCE AC=BC ， ADC CEB （AAS ）DC=BE ，AD=CE 又 ED=CE+DC，ED=AD+BE 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握3. 如图 1、图 2、图 3， AOB ， COD 均是等腰直角三角形，AOB COD 90o，（1）在图 1 中， AC与 BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若 COD 绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图2 的位置，请问AC与 BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？

30、（3）若 COD 绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图3 的位置，请问AC与 BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明 DOB COA ，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图 1 中， AOB ， COD 均是等腰直角三角形，AOB= COD=90 ，OA=OB ，OC=OD，0A-0C=0B-OD ，AC=BD ；（2）相等在图 2 中， 0D=OC ， DOB= COA ，OB=OA ， DOB COA ，BD=AC 点评：本题考查了等腰三角形的性质、

31、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角4. （2008 河南）（ 9 分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题； 探究型 分析：此题的两个小题思路是一致的；已

32、知 QAP= BAC ，那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同一个角），来证得QAB= PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ ，且已知 AB=AC ，即可由 SAS 证得 ABQ ACP，进而得出BQ=CP 的结论解答：证明：（1） QAP=BAC， QAP-BAP=BAC- BAP ，即 QAB= CAP；在 BQA 和 CPA 中，AQ=AP QAB= CAP AB=AC ， BQA CPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下： QAP=BAC ， QAP+PAB=BAC+ PAB，即 QAB= PAC；在 QAB 和 PAC 中，AQ=AP QAB= PA

33、C AB=AC ， QAB PAC（SAS），BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5. （2009 山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF且ABCDEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O当DEF旋转至如图位置，点()B E，CD，在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与 DO存在怎样的数量关系？请说明理由点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题

34、：探究型分析：（1）根据外角的性质，得AFD= D+ABC，DCA= A+ABC，从而得出 AFD=DCA；（2）成立由 ABC DEF，可证明 ABF= DEC则 ABF DEC，从而证出 AFD= DCA ；（3）BOAD 由 ABC DEF，可证得点B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点O 在 AD 的垂直平分线上，则直线BO 是 AD 的垂直平分线，即BOAD解答：解：（1） AFD= DCA （或相等）（2） AFD= DCA （或成立），理由如下：方法一：由 ABC DEF，得 AB=DE ，BC=EF （或 BF=EC ）， ABC= DEF， BAC= EDF ABC- FB

35、C=DEF- CBF，NMEFACBAFEDCBA ABF= DEC在 ABF 和 DEC 中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABF DEC， BAF= EDC BAC- BAF=EDF-EDC， FAC=CDF AOD= FAC+AFD=CDF+ DCA ， AFD=DCA 方法二：连接AD 同方法一 ABF DEC，AF=DC 由 ABC DEF，得 FD=CA 在 AFD DCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFD DCA， AFD= DCA（3）如图， BOAD 方法一：由 ABC DEF，点 B 与点 E重合，得 BAC= BDF，BA=BD 点 B 在 AD

36、的垂直平分线上，且 BAD= BDA OAD= BAD- BAC， ODA=BDA- BDF ， OAD= ODA OA=OD ，点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线， BOAD方法二：延长BO 交 AD 于点 G，同方法一， OA=OD 在 ABO 和 DBO 中，AB=DB BO=BO OA=OD ABO DBO ， ABO= DBO在 ABG 和 DBG 中，AB=DB ABG= DBG BG=BG ABG DBG ， AGB= DGB=90 BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD 中， E

37、为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长EB 使得 BG=DF ，易证 ABG ADF （SAS ）可得 AF=AG ，进而求证 AEG AEF可得 EAG= EAF ，再求出 EAG+ EAF=90 即可解题解答：解：延长EB使得 BG=DF ，在 ABG和 ADF中，由 AB=AD ABG= ADF=90 BG=DF ，可得 ABG ADF （SAS ）， DAF= BAG ，AF=AG ，又 EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE ， AEG AEF （SSS ）， EA

38、G= EAF ， DAF+ EAF+ BAE=90 EAG+ EAF=90 ， EAF=45 答： EAF的角度为 45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG= EAF是解题的关键例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。（ 1）当MDN绕点 D 转动时，求证DE=DF 。（ 2）若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（1）连 CD ，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分

39、ACB ，CD AB ，A=45， CD=DA ，则 BCD=45 ， CDA=90 ，由 DM DN得 EDF=90 ，根据等角的余角相等得到CDE= ADF ，根据全等三角形的判定易得DCE ADF ，即可得到结论；（2）由 DCE ADF ，则 SDCE=S ADF ，于是四边形DECF的面积 =SACD ，由而 AB=2可得 CD=DA=1 ，根据三角形的面积公式易求得SACD ，从而得到四边形DECF的面积解答：解：（1）连 CD ，如图，D为等腰 RtABC斜边 AB的中点，CD平分 ACB ，CD AB ， A=45， CD=DA ， BCD=45 ， CDA=90 ， DM D

40、N ， EDF=90 ， CDE= ADF ，在 DCE和 ADF中，DCE= DAF DC=DA CDE= ADF ， DCE ADF ，DE=DF ；（2） DCE ADF ，SDCE=S ADF ，四边形 DECF的面积 =SACD ，而 AB=2 ，CD=DA=1 ，四边形DECF的面积 =SACD=1 2 CD?DA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点

41、旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D 两点落在直线AB的两侧 .（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN(1) 如图 ,当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它

42、条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N， D 为ABC外一点， 且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线AB、AC 上移动时， BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN 时，BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB 、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明

43、；（III ） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）由 DM=DN ， MDN=60 ，可证得 MDN 是等边三角形， 又由 ABC是等边三角形， CD=BD ， 易证得 RtBDM RtCDN ， 然后由直角三角形的性质，即可求得 BM、 NC、 MN 之间的数量关系BM+NC=MN ，此时 QL =2 3 ；（2）在 CN 的延长线上截取CM1=BM ，连接 DM1可证 DBM DCM1 ，即可得 DM=DM1 ，易证得 CDN= MDN=60 ，则可证得MDN M1

44、DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取 CM1=BM ，连接 DM1 ，可证 DBM DCM1 ，即可得DM=DM1 ，然后证得 CDN= MDN=60 ，易证得MDN M1DN ，则可得 NC-BM=MN 解答：解：（ 1）如图 1，BM 、NC、MN 之间的数量关系BM+NC=MN 此时 Q L =2 3 （2 分）理由： DM=DN ， MDN=60 ， MDN 是等边三角形， ABC 是等边三角形， A=60，BD=CD ， BDC=120， BDC=DCB=30 ， MBD= NCD=90 ，DM=DN ，BD=CD ，RtBDM RtCDN ，

45、 BDM= CDN=30 ， BM=CN ，DM=2BM ，DN=2CN ，MN=2BM=2CN=BM+CN；AM=AN ， AMN 是等边三角形，AB=AM+BM，AM ：AB=2 ：3，Q L =2 3 ；（2）猜想：结论仍然成立（3 分）证明：在 CN 的延长线上截取CM1=BM ，连接 DM1（ 4 分） MBD= M1CD=90 ， BD=CD ， DBM DCM1，DM=DM1 ， MBD= M1CD ，M1C=BM ， MDN=60 ， BDC=120 ， M1DN= MDN=60 ， MDN M1DN ，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， AMN 的周长为： AM+MN+

46、AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，Q L =2 3 ；（3）证明：在CN 上截取 CM1=BM ，连接 DM1（ 4 分）可证 DBM DCM1 ，DM=DM1 ，（ 5 分）可证 CDN= MDN=60 ， MDN M1DN ，MN=M1N ，（ 7 分）NC-BM=MN （8 分）点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法例8（ 2005年马尾） 用两个全等的等边三角形ABC和 ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶

47、点与点 A重合，两边分别与AB，AC重合 .将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点 E，F时，（如图 131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图 132），你在（ 1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由. 考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出 ABE ACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出BAE= CAF，进而求出ABE ACF即可；（3）利用四边形 AECF的面积

48、 S=SAEC+SACF=SAEC+S ABE=S ABC求出即可解答：解：（1）得出结论是： BE=CF ，证明： BAC= EAF=60 ， BAC- EAC= EAF-EAC，即： BAE=CAF，又 AB=AC ， ABE= ACF=60， BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ， ABE ACF（ASA ），BE=CF，（2）还成立，证明： BAC= EAF=60 ， BAC+ EAC= EAF+ EAC，即 BAE=CAF ，又 AB=AC ， ABE= ACF=60，即 BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ， ABE ACF（ASA ），BE=CF，（3）证明：

49、 ABE ACF，SABE=S ACF，四边形 AECF的面积 S=SAEC+SACF=S AEC+SABE=S ABC ；而SABC=1 2 S 菱形 ABCD ，S=1 2 S菱形 ABCD 点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解：（ 1）BE=CF. 证明：在 ABE 和 ACF 中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF. AB=AC，B=ACF=60， ABE ACF（ASA ）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立 . 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和 ACF旋转型1、如图，正方形 ABCD 的

50、边长为 1，G 为 CD 边上一动点 （点 G 与 C、D 不重合） ，以 CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接 DE 交 BG 的延长线于H。求证：BCG DCE BHDE 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题：动点型分析：（1）根据正方形的边的性质和直角可通过 SAS 判定 BCG DCE，从而利用全等的性质得到BGC=DEC ；（2）连接 BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD= 2 ，CE=BE-BC= 2 -1，根据全等三角形的性质求解即可解答：解：（1）证明：四边形ABCD、 GCEF 都是正方形，BC=