第3章-工业机器人静力计算及动力学分析.pdf

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1、.第第 3 3 章章工业机器人静力计算与动力学分析工业机器人静力计算与动力学分析章节题目：章节题目：第 3 章工业机器人静力计算与动力学分析 教学内容教学内容 3.1工业机器人速度雅可比与速度分析3.2工业机器人力雅可比与静力计算3.3工业机器人动力学分析 教学安排教学安排 第 3 章安排 6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45 分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力 30 分钟，机器人力雅可比 30 分钟，机器人静力计算的两类问题 10分钟，拉格朗日方程 20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60 分钟，关节空间和操作空间动力学 30 分钟。通过多媒体课件结合板书的方式，

2、 采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法， 首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 知识点与其基本要求知识点与其基本要求 1、工业机器人速度雅可比掌握2、速度分析掌握3、操作臂中的静力掌握4、机器人力雅可比掌握5、机器人静力计算的两类问题了解6、拉格朗日方程熟悉7、二自由度平面关节机器人动力学方程理解8、关节空间和操作空间动力学了解 重点和难点重点和难点 重点：1、速度雅可比与速度分析2、力雅可比3、拉格朗日方程4、二自由度平面关节机器人动力学方程难点：1、关节空间和操作空间动力学 教学法设计教学法设计 引入新课：引入新课：至今我们对工业机器人运动

3、学方程还只局限于静态位置问题的讨论， 还没有涉与力、 速度、加速度等。 机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩驱动力作用下将取得静力平衡； 也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩驱动力作用下将发生运动变化。新课讲解：新课讲解：第一次课第一次课第三章第三章工业机器人静力计算与动力学分析工业机器人静力计算与动力学分析3-13-1工业机器人速度雅可比与速度分析工业机器人速度雅可比与速度分析一、工业机器人速度雅可比一、工业机器人速度雅可比y1 f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)y f (x ,x ,x ,x ,x ,x )

4、，22123456假设有六个函数， 每个函数有六个变量， 即：可写成 Y=F(X)Y=F(X)，y6 f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6).f1ffdx11dx21dx6x1x2x6f2f2f2，也可简写成dY Fdx。该式中6将其微分，得：dy2dx1dx2dx6x1x2x6Xf6f6f6dy6dx1dx2dx6x1x2x6dy16矩阵F叫做雅可比矩阵。X在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵， 称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。二自由度平面关节机器人，端点位置x，y 与关节1、2的关系为：x l1cos1l2cos(12)y l1sin1l2sin(12)d

5、x x x(,)12，将其微分，得：即：y y(1,2)dy dxdy x 1y1xxd1d212，将其写成矩阵形式为：yyd1d212x 2d1yd22 x令J J 1y1x 2，则上式可简写为dX X J Jd。式中：dX X dx；d1。dyy22将 J J 称为该二自由度平面关节机器人的速度雅可比， 它反映了关节空间微小运动d与手部作业空间微小位移 dX X 的关系。若对 J J 进行运算， ，则 2R 机器人的雅可比写为：l sin1l2sin(12)l2sin(12)J J 112)l2cos(12)l1cos1l2cos(从 J 中元素的组成课件，J 阵的值是1与2的函数。对于

6、n 自由度机器人的情况， 关节变量可用广义关节变量q q 表示，q q=q1 q2qnT，当关节为转动关节时，qi=i，当关节为移动关节时，qi=di，dq q=dq1 dq2dqnT反映了关节空间的微小运动；机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿 X X 表示，它是关节变量的函数，X X=X X(q q)，并且是一个 6 维列矢量，dX X=dx dy dz xyzT反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移组成，因此有：dX X=J J(q q)dq q，式中，J J(q q)是 6n 的偏导数矩阵，称为n 自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第i 行第 j 列

7、元素为：J Jij(q q) xi(q q)，I=1，2，6；j=1，2，n。qj二、工业机器人速度分析二、工业机器人速度分析.。式中， V V 表示机对 dX X=J J(q q)dq q 左右两边各除以 dt，得：dX X J J(q q)dq q，或V V J J(q q)q qdtdt，q q 表示机器人关节空间中的关节速度，J J(q q)器人末端在操作空间中的广义速度，V V X X与操作空间速度 V V 之间关系的雅可比矩阵。表示确定关节空间速度q q对于 2R 机器人来说，J J(q q)是 22 矩阵。若令 J J1、J J2分别为雅可比的第一列矢量和第二 J J列矢量，则有

8、：V V J J1122，式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度； 右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度； 总的端点速度为这两个速度矢量的合成。 因此， 机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。前面提到的二自由度机器人的手部速度为：l sinl sin()l sin()vxl sin1l2sin(12)l2sin(12)11121212122V 112)l2cos(12)2l1cos1l2cos(12)1l2cos(12)2vyl1cos1l2cos(是时间的函数， f (t), f (t)，则可求出该机器人手部假如已知关节上1与21122在

9、某一时刻的速度 V V=f(t)，即手部瞬时速度。 J JV V，式中，J J1 1称反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度：q q为机器人逆速度雅可比。通常可以看到机器人逆速度雅可比J J出现奇异解的两种情况：1工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。2工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。当机器人处在奇异形位时， 就会产生退化现象， 丧失一个或更多的自由度。 这意味着在空间某个方向或子域上，不管机器人关节速度怎样选择，手

10、部也不可能实现移动。对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况， 机器人速度雅可比 J J 是一个1 11 1(61)。手部速度矢量 V V 是由 3和 V V 分别是 61 列阵，即V V(61) J J(q q)(66)q q66 矩阵，q q是由 6 个关节1 线速度矢量和 31 角速度矢量组合而成的 6 维列矢量。关节速度矢量q q速度组合而成的 6 维列矢量。雅可比矩阵J J 的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。 而雅可比矩阵 J J 的每一列则代表相应关节速度i对手部线速度和角速度的传递比。q第二次课第二次课3-23-2工业机器

11、人力雅可比与静力计算工业机器人力雅可比与静力计算一、操作臂中的静力一、操作臂中的静力以操作臂中单个杆件为例分析受力， 杆件 I 通过关节 i 和 i+1 分别于杆件 i-1 和 i+1 相连接。令 f fi-1，i与 n ni-1，i表示 i-1 杆通过关节 i 作用在 i 杆上的力和力矩；f fi，i+1与 n ni，i+1表示 i 杆通过关节 i+1 作用在 i+1 杆上的力和力矩；-f fi，i+1与-n ni，i+1表示 i+1 杆通过关节 i+1 作用在 i.杆上的反作用力和反作用力矩；f fn，n+1与 n nn，n+1表示机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩；-f fn，n+1与

12、-n nn，n+1表示外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩；f f0，1与 n n0，1表示机器人底座对杆 1 的作用力和力矩；mig g 表示连杆 i 的重量，作用在质心 ci上。连杆 i 的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：f fi-1,i+(-f fi,i+1)+mig g=0n ni-1,i+(-n ni,i+1)+(r ri-1,i+r riCi)f fi-1,i+(r riCi)(-f fi,i+1)=0式中，r ri-1,i表示坐标系i的原点相对于坐标系i-1的位置矢量；r riCi表示质心相对于坐标系i的位置矢量。假如已知外界环境对机器人最末杆

13、的作用力和力矩， 那么可以由最后一个连杆相零连杆机座依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。为了便于表示机器人手部端点的力和力矩， 可将 f fn，n+1和 n nn，n+1合并写成一个 6 维矢量：f fn,n1F F n nn,n11各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个 n 维矢量的形式，即：，式中，n 表2 n示关节的个数，表示关节力矩或关节力矢量，简称广义关节力矩，对转动关节，i表示关节驱动力矩；对移动关节，i表示关节驱动力。二、机器人力雅可比二、机器人力雅可比假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩与机器人手部端点力 F F 的关系可描述为：=J JTF F，式中，J J

14、T为 n6 阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。可用虚功原理证明。该式表示在静力平衡状态下，手部端点力 F F 向广义关节力矩映射的线性关系。式中J JT与手部端点力 F F 和广义关节力矩之间的力传递有关，所以叫做机器人力雅可比。显然，力雅可比 J JT正好是机器人速度雅可比J J 的转置。三、机器人静力计算的两类问题三、机器人静力计算的两类问题从操作臂手部端点力 F F 与广义关节力矩之间的关系式=J JTF F 可知，操作臂静力计算可分为两类问题：1已知外界环境对机器人手部作用力F F 即手部端点力 F F=-F F ,求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩。2已知关节驱动力矩，确定机器人手

15、部对外界环境的作用力F F 或符合的质量。这类问题是第一类问题的逆解。这时F F=(J JT)-1，但是，由于机器人的自由度可能不是6，力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，则J JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果 F F 得维数比的维数低，且 J J 是满秩的话，则可利用最小二乘法求得F F 的估值。3-33-3工业机器人动力学分析工业机器人动力学分析动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类：、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节1给出已知的轨迹点上的、力矩向量。这对实现机器人动态控制是相当有用的。2已知关节驱

16、动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向、。这对模拟机器人的运动是非常有用的。量，求机器人所产生的运动、一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程1、拉格朗日函数.拉格朗日函数 L L 的定义是一个机械系统的动能E Ek k和势能 E Ep p之差，即 L L=E Ek k-E Ep p。i是相应的广义令 qii=1，2，n是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，qi的函数，因此拉格朗日函数也是qi和q i的函数。关节速度。由于系统动能E Ek k是 qi和q2、拉格朗日方程系统的拉格朗日方程为：F Fi id LL，i=1，2，n，式中，F Fi i称为广义关节驱dt qiqi

17、动力。如果是移动关节，则F Fi i为驱动力；如果是转动关节，则F Fi i为驱动力矩。3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤1选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1，2，n。2选定相应的关节上的广义力F Fi i：当 qi是位移变量时，则 F Fi i为力；当 qi是角度变量时，则 F Fi i为力矩。3求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。4代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。第三次课第三次课二、二自由度平面关节机器人动力学方程二、二自由度平面关节机器人动力学方程1、广义关节变量与广义力的选定选取笛卡尔坐标系。连杆 1 和连杆 2 的关节变量分别为转角

18、1和2，相应的关节 1 和关节 2 的力矩是1和2。连杆 1 和连杆 2 的质量分别是 m1和 m2，杆长分别为 l1和 l2，质心分别在 k1和 k2处，离关节中心的距离分别为 p1和 p2。因此杆 1 质心 k1的位置坐标为：)2。杆 2 质心 k2的位x1=p1sin1，y1=-p1cos1，杆 1 质心 k1的速度平方为：x 12 y 12 (p11置坐标为：x2=l1sin1+p2sin(1+2)，y1=-l1cos1-p2cos(1+2)，杆 2 质心 k2的速度平方 p cos()()2 l1cos1x121212为：y p sin()() l sin 211121212222

19、p2()2 2l p (222x y l12121212112)cos2。2、系统动能EkEkiEk1Ek2i 1 ， 212m1p1212121m p2()2m l p (2m2l12122122 12112)cos2223、系统势能EpEpii 1,2Ep1 m1gp1(1cos1)Ep2 m2gl1(1cos1) m2gp21cos(12)4、拉格朗日函数L Ek Ep12 m l p (2(m1p12 m2l12)12 12112)cos2212)2(m p m l )g(1cos)m gp 1cos(m2p2(112)2112 11222.5、系统动力学方程根据拉格朗日方程F Fi

20、i统动力学方程。关节 1 上的力矩1：d LL，i=1，2，n，可计算各关节上的力矩，得到系iqidt qL m l p (2)cos m p2() (m1p12 m2l12)12 1212222121L (m1p1 m2l1)gsin1 m2gp2sin(12)1d LL2222所以：1dt (m1p1 m2p2 m2l1 2m2l1p2cos2)1(m2p2 m2l1p2cos2)2112(2m2l1p2sin2)12(m2l1p2sin2)2(m1p1 m2l1)gsin1 m2p2gsin(12) D 2上式可简写为：1 D11。1122 D11212 D1222 D12D11 m1p

21、12m2p2m2l122m2l1p2cos22D12 m2p2m2l1p2cos2由此可得：D112 2m2l1p2sin2D122 m2l1p2sin2D1 (m1p1m2l1)gsin1m2p2gsin(12)关节 2 上的力矩2：L2) m l p m2p2(122 121cos22L2 m2l1p2(112)sin2 m2gp2sin(12)2所以：2d LL2m p2 (m2p2m2l1p2cos2)1222dt 222(m2l1p2sin2m2l1p2sin2)12(m2l1p2sin2)1m2gp2sin(12) D 2上式可简写为：2 D211222 D21212 D2111

22、D22D21 m2p2 m2l1p2cos22D22 m2p2由此可得：D m l p sin m l p sin02122 1222 122D211 m2l1p2sin2D2 m2gp2sin(12)以上表达式分别表示了关节驱动力矩与关节位移、 速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系，称为图 3-6 所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知：或的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：1含有12.含有 D11和 D22的项分别表示由于关节1 加速度和关节 2 加速度引起的惯性力矩项；含有 D12的项表示关节 2 的加速度对关节 1 的耦合惯性力矩项；含有 D21的项表示关节 1

23、 的加速度对关节 2 的耦合惯性力矩项。和的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：2含有1222含有 D122的项表示关节 2 速度引起的向心力对关节1 的耦合力矩项；含有 D211的项表示关节 1 速度引起的向心力对关节2 的耦合力矩项。3含有12的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项，其中：含有 D112的项表示哥氏力对关节1 的耦合力矩项；含有 D212的项表示哥氏力对关节2 的耦合力矩项。4只含关节变量1、2的项表示重力引起的关节力矩项，其中：含有 D1的项表示连杆 1、连杆 2 的质量对关节 1 引起的重力矩项；含有 D2的项表示连杆 2 的质量对关节 2 引起的重力矩项。从上面的推导

24、可看出，很简单那的二自由度平面关节机器人动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂， 推导过程也更复杂。 不仅如此， 对机器人实时控制也带来了不小的麻烦。通常，有一些简化问题的方法：1当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；、2当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有1212等项可以省略；22、的项3当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含有12有可能给予省略。当然关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了机器人作业循环的时间。三、关节空间和操作空间动力学三、

25、关节空间和操作空间动力学1、关节空间和操作空间n 个自由度操作臂的末端位姿X X 由 n 个关节变量所决定， 这 n 个关节变量也叫做 n 维关节矢量 q q，所有关节矢量 q q 构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿 X X 是在直角空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程 X X=X X(q q)就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。 在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式， 并且两者之间存在着一定的对应关系。2、关节空间动力学方程将前面二自由度平面关节机器人动力学方程写成矩阵形式，

26、则 D D(q q)q q H H(q q,q q )G G(q q)，1式中： 1,q q 1,q q ,q q 1。所以：222222m1p12 m2(l12 p2 2l1p2cos2)m2(p2l1p2cos2)D D(q q) 22m2(p2l1p2cos2)m2p222m l p sin m2l1p2sin2(m1p1m2l1)gsin1m2p2gsin(12)22 12212,) H H(q q,q qG G(q q) 2m2gp2sin(12)m2l1p2sin21.该矩阵方程就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式， 反映了关节力矩与关节变量、速度、角速度之间的函数关系

27、。对于n 个关节的操作臂，D D(q q)是 nn 的正定对称矩阵， 是 q q 的函数， 称为操作臂的惯性矩阵；H H(q q,q qG G(q q)是 n1 的离心力和哥氏力矢量；是 n1 的重力矢量，与操作臂的形位q q 有关。3、操作空间动力学方程与关节空间动力学方程相对应， 在笛卡尔操作空间中， 可以用直角坐标变量即末端操作之间的关系可器位姿的矢量 X X 来表示机器人动力学方程。因此，操作力F F 与末端加速度X X U U (q q,q q ) G Gx(q q)，式中，MMx(q q)、U Ux(q q)和 G Gx(q q)分别为操作空间表示为：F F MMx(q q)X X

28、x中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的； F F 是广义操作力矢量。关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力 F F 与广义关节力之间的关系=J JTq qF F 和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系 J J(q q)q qX X求出。 J J(q q)q q X X J J(q q)q q 应用应用 第一次课1、图3-7 所示二自由度机械手，杆长为l1=l2=0.5m，试求下面三种情况时的关节瞬时速度1和2。Vx/m/sVy/m/s1-1.003001.0301.01.0302-60120-306、图3-9 所示三自由度

29、平面关节机械手，手部握有焊接工具。已知1=30，1=0.04rad/s；2=45，2=0；3=15，3=0.1rad/s； ，求焊接工具末端A 点的线速度 vx与 vy。第二次课2、已知二自由度机械手的雅可比矩阵为J J l1sin1l2sin(12)l2sin(12)。若忽l cosl cos(12)l2cos(12)121略重力，当手部端点力F F=1 0T时，求于此力相应的关节力矩。3、 图 3-7 所示二自由度机械手， 杆长 l1=l2=0.5m， 手部中心受到外界环境的作用力Fx与 Fy，试求在下面三种情况下，机械手取得静力平衡时的关节力矩1和2。Fx/N-10.0Fy/N12030

30、0-10.03010.010.030-60120-304、如图 3-8 所示，一个三自由度机械手，其末端夹持一质量m=10kg 的重物，l1=l2=0.8m，l3=0.4m，1=60，2=-60，3=-90。若不计机械手的重量，求机械手处于平衡状态时各关节力矩。5、图 2-29 所示的二自由度机械手，关节1 为转动关节1；关节 2 为移动关节 d2。1按下表参数计算手部中心的线速度Vx与 Vy。表中1和 v2分别为关节 1 的角速度和关节 2 的线速度。.103060901.001.51.50.7011d2/m0.500.801/rad/s11.5v2/m/s11.52按下表参数计算机械手静力

31、平衡时关节1 的力矩1和关节 2 的驱动力 P2。表中 Fx、Fy分别为手部中心受到外界环境的作用力。1d2/mFy/m/s03060900.500.80-402501.00-40400.70400Fx/rad/s-407、机器人力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵有何关系？8、什么是拉格朗日函数和拉格朗日方程?第三次课9、简述二自由度平面关节机械手动力学方程主要包含哪些项？有何物理意义？10、什么叫机械臂连杆之间的耦合作用？11、在什么情况下可以简化动力学方程计算？ 板书设计板书设计 第一次课第三章工业机器人静力计算与动力学分二、工业机器人速度分析析1工作域边界上奇异3-1工业机器人速度雅可比与速度

32、分析2工作域内部奇异一、工业机器人速度雅可比第二次课3-2工业机器人力雅可比与静力计算一、拉格朗日方程一、操作臂中的静力1、拉格朗日函数二、机器人力雅可比2、拉格朗日方程三、机器人静力计算的两类问题3、用拉格朗日法建立动力学方程的步骤3-3工业机器人动力学分析第三次课二、二自由度平面关节机器人动力学方程5、系统动力学方程1、广义关节变量与广义力的选定三、关节空间和操作空间动力学2、系统动能1、关节空间和操作空间3、系统势能2、关节空间动力学方程4、拉格朗日函数3、操作空间动力学方程 小结小结 在本章中， 我们不涉与较深的理论， 将通过深入浅出的介绍使学生对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解， 也为以后 “工业机器人控制等章节的学习打下一个基础。 教学后记教学后记 教学资料补充教学资料补充 .