一起学习UMAT 的一些公式注释.pdf

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1、一起学习一起学习 UMATUMAT的一些公式注释的一些公式注释ZHANG chunyuherrliubs comments in formulas知识积累和储备在进行 ABAQUS子程序 UMAT的编写前，要弄清楚：ABAQUS调用 UMAT子程序流程；要建立的材料模型的本构关系和屈服准则等；UMAT子程序中相关参数、以及矩阵的表达。主要求解过程：每一个增量步开始，ABAQUS主程序在单元积分点上调用UMAT子程序，并转入应变增量、时间步长及荷载增量，同时也传入当前已知的状态的应力、应变及其他求解过程相关的变量；UMAT子程序根据本构方程求解应力增量及其他相关的变量，提供Jacobian矩阵给

2、 ABAQUS主程序以形成整体刚度矩阵；主程序结合当前荷载增量求解位移增量，继而进行平衡校核；如果不满足指定的误差，ABAQUS将进行迭代直到收敛，然后进行下一增量步的求解。弹性力学相关知识（基本）仿真论坛（http:/ . &highlight=UMAT）ABAQUS二次开发版块这个人帖子结合例子，列出了弹性力学的基本公式。UMAT变量含义UMAT中可以得到的量增量步开始时刻的，应力（Stress），应变（Strain）, 状态变量（Solution-dependent state variables (SDVs)）增量步开始时刻的，应变增量（Strain increment），转角增量（R

3、otation increment），变形梯度（Deformation gradient）时间总值及增量（Total and incremental values of time），温度（Temperature），用户定义场变量材料常数，材料点的位置，特征单元长度当前分析步，增量步必须定义的变量应力，状态变量，材料Jacobian矩阵（本构关系）可以定义的变量应变能，塑性耗能，蠕变耗能新建议的时间增量变量分类UMAT中可以直接调用（Call ）的子程序或子函数 SINV（STRESS,SINV1,SINV2,NDI,NSHR）用于计算应力不变量。其中：SINV1=第一应力不变量；SINV2=第

4、二应力不变量。 SPRINC（S,PS,LSTR,NDI,NSHR）用于计算主应力或应变值。其中：S=应力或应变张量；PS（I），I=1,2,3, 主应力或应变值；LSTR=标识，1表示 S为应力张量，2 表示 S 为应变张量。 SPRIND（S,PS,AN,LSTR,NDI,NSHR）用于计算主应力或应变的方向。其中：AN（K1,I），I=1,2,3,表示 PS（K1）的法向的方向余弦。 ROTSIG（S,R,SPRIME,LSTR,NDI,NSHR） 用于复原已旋转的张量。其中：R=转角矩阵；SPRIME=已旋转的应力或应变张量。XIT用于停止分析，并关闭所有与分析相关的文件。Variab

5、les DefineSTRESS（NTENS）该增量步开始之前的应力向量，在增量步结束之后，必须进行更新。如果指定了初始应力，则该向量在分析开始始将保持初始应力。真实Cauchy应力。需要定义的变量，在所有分析情况下均适用。STATEV（NSTATV）求解过程中的状态变量的存贮向量。在该增量步开始时，用来传递状态变量，除非进行了更新（采用USDEFL或 UEXPAN）。在增量步结束时，STATEV更新为结束时刻的状态变量值。STATEV的维数（NSTATV）由*DEPVAR决定。DDSDDE（NTENS，NTENS） Jacobian矩阵，即本构关系矩阵。?/?。除非声明采用非对称方程求解，否

6、则均为对称矩阵DDSDDE(i, j)。S SE、SPD、SCD弹性应变能、塑性耗能、徐（蠕）变耗能。在该增量步结束时进行更新，并在下一增量步开始时进行传递。这些能量参数对于求解结果不起作用，除非结果采用能量形式输出。RPL该增量步结束时，由于材料的力学作工而产生的体积发热量。只用于完全耦合的温度应力分析DDSDDT（NTENS）与温度想对应的应力增量的变化量DRPLDE（NTENS）与应变增量相对应的体积发热量（RPL）的变化量DRPLDT（NTENS）与温度相对应的体积发热量（RPL）的变化量STRAIN（NTENS）该增量步开始之前的总应变向量。如果考虑了热膨胀效应，那么 STRAIN仅

7、为力学应变（即已经在总应变中减去了热膨胀得到的温度应变）。这些应变在输出结果中以“弹性”应变给出。信息传递变量DSTRAIN（NTENS）应变增量向量。如果考虑了热膨胀应变，则仅表示力学应变增量。TIME（1）TIME（2）当前分析步开始时刻的，时间步的值。当前分析步开始时刻的，总时间的值。DTIME该增量步的时间增量TEMP当前增量步开始时刻的温度DTEMP该增量步的温度增量PREDEF在当前增量步开始时刻的，预定义的场变量（基于读入的节点值）的内插值向量。DPRED预定义的场变量的增量向量CMNAME用户定义的材料名。由于ABAQUS内部的一些给定材料是以“ABQ_”作为材料名，因此应尽量

8、不采用“ABQ_”作为 CMNAME的名称。NDI该点的直接应力分量的个数NSHR该点的工程剪应力分量的个数NTENS应力或应变向量的维数，等于NDI +NSHR。NSTATV求解过程中的状态变量的个数，与材料类型匹配。PROPS（NPROPS）用户定义的材料常数NPROPS用户定义的材料常数的个数COORDS该点的坐标向量。如果在当前分析步中没有考虑几何非线性，COORDS就等于当前坐标系下的向量。否则，COORDS为最开始的坐标向量信息传递变量DROT（3，3）转角增量矩阵。代表了刚体的基本坐标系中的转角增量（该基本坐标系就是应力、应变向量存储时的坐标系）。用于用户定义子程序中的向量或矢量

9、状态变量的转角处理，而应力及应变向量在UMAT调用之前已经进行了转角处理。在小位移分析中，该矩阵是一个单位矩阵；在大位移分析中，如果该材料点的基本坐标系随着材料坐标系转动（如壳单元或采用了局部转角坐标时），该矩阵亦是一个单位矩阵。PNEWDT建议的新时间增量与原时间增量（DTIME）之间的比值大小。该变量允许用户在 ABAQUS/Standard中输入自动时间增量的计算法则（如果设置了自动时间增量）。对于 ABAQUS/Standard的准静态分析中的自动时间增量（基于标准蠕变率积分技术），不允许在 UMAT中控制。在每一次调用 UMAT前，PNEWDT被设置为一个足够大的值。如果没有选择自动

10、时间增量方法，大于1.0的 PNEWDT值将被忽略，而起作用的仅是当小于 1.0的 PNEWDT值时。能够更新的变量CELENT特征单元长度。信息传递变量DFGRD0（3，3）该增量步开始时刻的变形梯度向量。DFGRD1（3，3）该增量步结束时刻的变形梯度向量。如果在分析步中未考虑几何非线性，则该向量为零。NOEL单元的个数NPT积分点的个数信息传递变量LAYER层的个数（用于复合材料的壳单元，及层结构固体单元）KSPT当前层的截面点的个数KSTEP分析步的个数KINC增量步的个数UMAT程序编写相对于材料本构关系的推导验证，子程序的编写是相对简单的，在理清了ABAQUS-UMAT变量的含义和

11、材料的本构关系的前提下，再多看几个UAMT例子，就可以试着自己写 UMAT了。我的经验是一定要把流程图画出来，根据材料的本构关系的推导公式来写 UMAT程序。程序的验证需要耐心，用简单的模型验证，多看.dat和.msg文件。即使 UMAT程序没有问题，也可能出错，这时就要认真看本构推导公式，并和程序中的变量一一对应。 UMAT子程序中最重要也是最难的是材料的本构关系的推导！1、什么时候用用户定义材料（User-defined material, UMAT）？很简单，当 ABAQUS 没有提供我们需要的材料模型时。所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对 ABAQUS 已经提供的模型心中

12、有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。2、好学吗？需要哪些基础知识？先看一下 ABAQUS 手册（ABAQUS Analysis Users Manual）里的一段话：Warning: The use of this option generally requires considerable expertise.Theuser is cautioned that the implementation of any realistic constitutive modelrequires extensive development and testing.

13、 Initial testing on a single elementmodel with prescribed traction loading is strongly recommended.但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者（就如我本人）就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation）而已。当然，最基本的一些概念和知识还是要具备的，比如应力(stress),应变（strain）及其分量； volumetric part和 deviatoric part；模量（modulu

14、s）、泊松比(Poissons ratio)、拉美常数(Lame constant)；矩阵的加减乘除甚至求逆；还有一些高等数学知识如积分、微分等。3、UMAT的基本任务？我们知道，有限元计算（增量方法）的基本问题是：已知第 n 步的结果（应力，应变等） n n， n n； 然后给出一个应变增量d n n1 1, 计算新的应力n n1 1。 UMAT 要完成这一计算，并要计算 Jacobian 矩阵 DDSDDE(I,J) =/。 是应力增量矩阵（张量或许更合适），是应变增量矩阵。DDSDDE(I,J) 定义了第 J 个应变分量的微小变化对第 I 个应力分量带来的变化。 该矩阵只影响收敛速度，不

15、影响计算结果的准确性（当然，不收敛自然得不到结果）。4、怎样建立自己的材料模型？本构方程就是描述材料应力应变（增量）关系的数学公式，不是凭空想象出来的，而是根据实验结果作出的合理归纳。比如对弹性材料，实验发现应力和应变同步线性增长，所以用一个简单的数学公式描述。为了解释弹塑性材料的实验现象，又提出了一些弹塑性模型，并用数学公式表示出来。对各向同性材料（ Isotropic material）,经常采用的办法是先研究材料单向应力-应变规律（如单向拉伸、压缩试验），并用一数学公式加以描述，然后把讲该规律推广到各应力分量。这叫做“泛化“(generalization)。5、一个完整的例子及解释下面这

16、个 UMAT 取自 ABAQUS 手册，是一个用于大变形下的弹塑性材料模型。希望我的注释能帮助初学者理解。需要了解 J2 理论。 SUBROUTINEUMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,RPL,DDSDDT, 1DRPLDE,DRPLDT,STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED, 2CMNAME,NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT, 3PNEWDT,CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,

17、KINC)STRESSSTRESS-应力矩阵，在增量步的开始，保存 n n并作为已知量传入UMAT ；在增量步的结束应该保存更新的应力 n n1 1；STRANSTRAN-当前应变 n n，已知 。DSTRANDSTRAN应变增量d n n1 1，已知。STATEVSTATEV-状态变量矩阵，用来保存用户自己定义的一些变量，如累计塑性应变，粘弹性应变等等。增量步开始时作为已知量传入，增量步结束应该更新；DDSDDEDDSDDE=。需要更新DTIMEDTIME时间增量 dt。已知。NDINDI 直 接 应 力 、 应 变 个 数 , 对 三 维 问 题 、 轴 对 称 问 题 自 然 是 3（1

18、1,22,33），平面问题是 2(11,22)；已知。NSHRNSHR 剪切应力、应变个数，三维问题时3(12,13,23)，轴对称问题是1(12)；已知。NTENSNTENS=NTENS+ NSHR，已知。PROPSPROPS 材料常数矩阵，如模量啊，粘度系数啊等等；作为已知量传入，已知。DROTDROT对 finite strain 问题，应变应该排除旋转部分，该矩阵提供了旋转矩阵，详见下面的解释。已知。PNEWDTPNEWDT可用来控制时间步的变化。如果设置为小于 1 的数，则程序放弃当前计算，并用新的时间增量 DTIME X PNEWDT 作为新的时间增量计算；这对时间相关的材料如聚合

19、物等有用；如果设为大余 1 的数，则下一个增量步加大 DTIME为 DTIME X PNEWDT。可以更新。其他变量含义可参看手册，暂时用不到。C INCLUDE ABA_PARAM.INC定义了一些参数，变量什么的，不用管C CHARACTER*8 CMNAMEC DIMENSIONSTRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),DDSDDE(NTENS,NTENS), 1DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS), 2 PREDEF(1),DPRED(1),PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(

20、3,3), 3 DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)矩阵的尺寸声明CC LOCAL ARRAYSC -C EELAS - ELASTIC STRAINSC EPLAS - PLASTIC STRAINSC FLOW - DIRECTION OF PLASTIC FLOWC -C局部变量，用来暂时保存弹性应变、塑性应变分量以及流动方向 DIMENSION EELAS(6),EPLAS(6),FLOW(6)CPARAMETER(ZERO=0.D0,ONE=1.D0,TWO=2.D0,THREE=3.D0,SIX=6.D0, 1 ENUMAX=.4999D0,NEWTON=10,TOLER

21、=1.0D-6)CC -CUMAT FOR ISOTROPIC ELASTICITY AND ISOTROPIC MISESPLASTICITYC CANNOT BE USED FOR PLANE STRESSC -C PROPS(1) - EC PROPS(2) - NUC PROPS(3.) - SYIELD AN HARDENING DATACCALLS HARDSUB FOR CURVE OF YIELD STRESS VS. PLASTICSTRAINC -CC ELASTIC PROPERTIESC获取杨氏模量，泊松比，作为已知量由 PROPS 向量传入 EMOD=PROPS(1)

22、 E ENU=PROPS(2) EBULK3=EMOD/(ONE-TWO*ENU) 3K EG2=EMOD/(ONE+ENU) 2G EG=EG2/TWOG EG3=THREE*EG 3G ELAM=(EBULK3-EG2)/THREE DO K1=1,NTENS DO K2=1,NTENS DDSDDE(K1,K2)=ZERO END DO END DO弹性部分，Jacobian 矩阵很容易计算注意，在 ABAQUS 中，剪切应变采用工程剪切应变的定义ijui,j uj,i，所以剪切部分模量是 G而不是 2G!CC ELASTIC STIFFNESSC DO K1=1,NDI DO K2=1

23、,NDI DDSDDE(K2,K1)=ELAM END DO DDSDDE(K1,K1)=EG2+ELAM END DO DO K1=NDI+1,NTENS DDSDDE(K1,K1)=EG END DOCCRECOVER ELASTIC AND PLASTIC STRAINS AND ROTATEFORWARDC ALSO RECOVER EQUIVALENT PLASTIC STRAINC读取弹性应变分量，塑性应变分量，并旋转（调用了 ROTSIG），分别保存在 EELAS和 EPLAS 中； CALL ROTSIG(STATEV( 1),DROT,EELAS,2,NDI,NSHR) CA

24、LL ROTSIG(STATEV(NTENS+1),DROT,EPLAS,2,NDI,NSHR)读取等效塑性应变STATEV中的第 13个量 EQPLAS=STATEV(1+2*NTENS)先假设没有发生塑性流动，按完全弹性变形计算试算应力 J J. n1 n CC CALCULATE PREDICTOR STRESS AND ELASTIC STRAINC DO K1=1,NTENS DO K2=1,NTENS STRESS(K2)=STRESS(K2)+DDSDDE(K2,K1)*DSTRAN(K1) END DO EELAS(K1)=EELAS(K1)+DSTRAN(K1) END DO

25、C 计算 Mises 应力C CALCULATE EQUIVALENT VON MISES STRESSC SMISES=(STRESS(1)-STRESS(2)*2+(STRESS(2)-STRESS(3)*2 1 +(STRESS(3)-STRESS(1)*2 DO K1=NDI+1,NTENS SMISES=SMISES+SIX*STRESS(K1)*2 END DO SMISES=SQRT(SMISES/TWO)C根据当前等效塑性应变，调用 HARDSUB 得到对应的屈服应力C GET YIELD STRESS FROM THE SPECIFIED HARDENING CURVEC N

26、VALUE=NPROPS/2-1 CALL HARDSUB(SYIEL0,HARD,EQPLAS,PROPS(3),NVALUE)CC DETERMINE IF ACTIVELY YIELDINGC如果 Mises 应力大余屈服应力，屈服发生，计算流动方向 IF (SMISES.GT.(ONE+TOLER)*SYIEL0) THENCC ACTIVELY YIELDINGC SEPARATE THE HYDROSTATIC FROM THE DEVIATORIC STRESSC CALCULATE THE FLOW DIRECTIONC SHYDRO=(STRESS(1)+STRESS(2)+

27、STRESS(3)/THREE 静水压力 DO K1=1,NDI FLOW(K1)=(STRESS(K1)-SHYDRO)/SMISES流动方向 END DO DO K1=NDI+1,NTENS FLOW(K1)=STRESS(K1)/SMISES END DOC 根据 J2 理论并应用 Newton-Rampson方法求得等效塑性应变增量C SOLVE FOR EQUIVALENT VON MISES STRESSCAND EQUIVALENT PLASTIC STRAIN INCREMENT USINGNEWTON ITERATIONC SYIELD=SYIEL0 DEQPL=ZERO D

28、O KEWTON=1,NEWTON RHS=SMISES-EG3*DEQPL-SYIELD DEQPL=DEQPL+RHS/(EG3+HARD) CALLHARDSUB(SYIELD,HARD,EQPLAS+DEQPL,PROPS(3),NVALUE) IF(ABS(RHS).LT.TOLER*SYIEL0) GOTO 10 END DOCC WRITE WARNING MESSAGE TO THE .MSG FILEC WRITE(7,2) NEWTON 2FORMAT(/,30X,*WARNING - PLASTICITY ALGORITHM DIDNOT , 1 CONVERGE AFT

29、ER ,I3, ITERATIONS) 10 CONTINUEC 更新应力n1，应变分量C UPDATE STRESS, ELASTIC AND PLASTIC STRAINS ANDC EQUIVALENT PLASTIC STRAINC DO K1=1,NDI STRESS(K1)=FLOW(K1)*SYIELD+SHYDRO EPLAS(K1)=EPLAS(K1)+THREE/TWO*FLOW(K1)*DEQPL EELAS(K1)=EELAS(K1)-THREE/TWO*FLOW(K1)*DEQPL END DO DO K1=NDI+1,NTENS STRESS(K1)=FLOW(K1

30、)*SYIELD EPLAS(K1)=EPLAS(K1)+THREE*FLOW(K1)*DEQPL EELAS(K1)=EELAS(K1)-THREE*FLOW(K1)*DEQPL END DO EQPLAS=EQPLAS+DEQPLCC CALCULATE PLASTIC DISSIPATIONC SPD=DEQPL*(SYIEL0+SYIELD)/TWOCC 计算塑性变形下的 Jacobian矩阵 FORMULATE THE JACOBIAN (MATERIAL TANGENT)C FIRST CALCULATE EFFECTIVE MODULIC EFFG=EG*SYIELD/SMISE

31、S EFFG2=TWO*EFFG EFFG3=THREE/TWO*EFFG2 EFFLAM=(EBULK3-EFFG2)/THREE EFFHRD=EG3*HARD/(EG3+HARD)-EFFG3经典弹塑性理论，应力表达式式如下：prijijsijkk133其中：ijplijpl,ij Sijpr/pr2对时间取微分：prijsijijsijkk13ij其中：sprprSprprSijij(pr)2prSijprprpr3SijprSklSkl2(pr)3ij1/ 3ijmm)2G(prkl1/ 3klmm)3Gijkl(prdsp3Gprkld hSkl/prpdh3G1prijsijij

32、sijkk那么3prij1/ 3ijmm)kl1/ 3klmm)2G(3Gijkl(ijSkl/prkl Kijmmsshprprh/3G1mm2Gsmms2Gsij3GijklsijklGijklijKijmmprijklhkl3prprh/3G1prGijklkls2Gs2Gs3Gshmm (K ) ijmm3prprijh/3G1prijklklprGijklklsGijsSkprkmmmm 0 （Skpr注意：）k 0prpr2()Gds2如果令：G*=prs，* K-G*，h 3dplhmm2G*ijklij*ij则：3G*ijklh/3G1= if (props(7).lt.001

33、) go to 99c. DO K1=1,NDI DO K2=1,NDI DDSDDE(K2,K1)=EFFLAM END DO DDSDDE(K1,K1)=EFFG2+EFFLAM END DO DO K1=NDI+1,NTENS DDSDDE(K1,K1)=EFFG END DO DO K1=1,NTENS DO K2=1,NTENS DDSDDE(K2,K1)=DDSDDE(K2,K1)+EFFHRD*FLOW(K2)*FLOW(K1) END DO END DOc. 99 continuec. ENDIFC将弹性应变，塑性应变分量保存到状态变量中，并传到下一个增量步C STORE EL

34、ASTIC AND (EQUIVALENT) PLASTIC STRAINSC IN STATE VARIABLE ARRAYC DO K1=1,NTENS STATEV(K1)=EELAS(K1) STATEV(K1+NTENS)=EPLAS(K1) END DO STATEV(1+2*NTENS)=EQPLASC RETURN ENDc.c.子程序，根据等效塑性应变，利用插值的方法得到对应的屈服应力 SUBROUTINE HARDSUB(SYIELD,HARD,EQPLAS,TABLE,NVALUE)C INCLUDE ABA_PARAM.INCC DIMENSION TABLE(2,NV

35、ALUE)C PARAMETER(ZERO=0.D0)CC SET YIELD STRESS TO LASTVALUE OF TABLE, HARDENING TOZEROC SYIELD=TABLE(1,NVALUE) HARD=ZEROC IF MORE THAN ONE ENTRY, SEARCH TABLEC IF(NVALUE.GT.1) THEN DO K1=1,NVALUE-1 EQPL1=TABLE(2,K1+1) IF(EQPLAS.LT.EQPL1) THEN EQPL0=TABLE(2,K1) IF(EQPL1.LE.EQPL0) THEN WRITE(7,1) 1 FO

36、RMAT(/,30X,*ERROR - PLASTIC STRAIN MUST BE , 1 ENTERED IN ASCENDING ORDER) CALL XIT ENDIFCC CURRENT YIELD STRESS AND HARDENINGC通过插值得到的硬化 DEQPL=EQPL1-EQPL0 SYIEL0=TABLE(1,K1) SYIEL1=TABLE(1,K1+1) DSYIEL=SYIEL1-SYIEL0 HARD=DSYIEL/DEQPL SYIELD=SYIEL0+(EQPLAS-EQPL0)*HARD GOTO 10 ENDIF END DO 10 CONTINUE ENDIF RETURN END