华南理工大学工程硕士复习提纲(新).pdf

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1、工程硕士机械振动复习提纲第一章 绪论基本概念：1）系统2）振动的分类一个实际振动系统包括输入（激励） ，系统及输入（响应） 。按系统相应的性质：确定振动、随机振动；按激励的控制方式：自由振动、强迫振动、自激振动及参激振动。3）振动问题激励、响应及系统特性三者已知二者求第三者，分为：振动分析、系统识别、振动设计及振动环境测试，了解这些振动问题的含义。4）自由度的概念及会分析某个系统具有几个自由度确定一个振动系统空间位置所需要的独立坐标的个数。第二章 单自由度系统的自由振动A基本概念：1）振动的定义，简谐振动的三要素物体相对于平衡位置的来回运动即为振动。振动三要素：幅值、频率、相位。2）频率不同的

2、两个简谐振动的合成频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数时，合成为非周期振动。3）等效刚度，等效质量定义使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力， 叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。4）单自由度系统无阻尼和有阻尼的自由振动响应特点单自由度无阻尼系统的自由振动响应是简谐振动， 单自由度有阻尼系统的自由振动响应是幅值按指数衰减的振动。B推导：(t)kx(t) 0,1）推导单自由度无阻尼系统（mx解：令自由振动响应的解为：式中固有频率

3、nkm(0) x 0,x(0) x0）的自由振动解。xx Asin(nt )( 0)由xnA cos ( )0 x，x(0) Asin() x0解得：A 2x0 (n0 x)2, tg 1x0n0 x则得到：x(t) x0cosnt 0 xsinntwn2）推导单自由度有阻尼系统（mx (t)cx (t)kx(t) 0,x (0) x 0,x(0) x0）的自由振动解1解：令2n cm,2nkm,nn方程变为： x (t) 2nx (t) 2nx(t) 0令x est后得到特征方程：s2 2ns 2n 0特征根为：s1, 2 nn21欠阻尼状态下，固有频率dn1 2通解为：x(t) ent(c

4、1cosdt c2sindt)系统对初始条件的响应为：x(t) ent(xx 0nx0cosdt 0sindt)d也可写成：x(t) entAsin(dt )其中，A (x2x 20nx00d tg1dx0 x xsindt)0n0C计算：1）熟练计算单自由度系统自由振动固有频率及运动规律例题 1：如图所示，重物W 1200N，弹簧刚度k 200N /cm，在静平衡位置的初始位移为 0，初始速度为v 12m/min，求重物的振动频率、振动规律。解：重物质量m W / g 122.449kg弹簧刚度k 200N /cm 20000 N / m初始速度v 12m/min 0.2m/ s则：重物的振

5、动频率knm12.78rad/s设重物的振动规律为：x Asin(nt )，对x求导得：x nAcos(nt )在t 0时，x0 Asin() 0，x 0nAcos() 0.2m/s得：A 1.6cm, 02（例题 1 图）则重物的振动规律为：x 1.6sin(12.78 t)cm例题 2：利用能量法求图示一个倒置的摆在图平面内作微小旋转振动时的固有频率。解：选如图所示的角坐标，由能量法：系统任意时刻的动能：T 系统任意时刻的势能：1m(l)22例题 2 图U 1k(a)2mgl(1cos) 1k(a)21mgl2222d(T U) 0得：由dt ka2mgl) 0(ml22 ka2mgl 0

6、因角速度不可能恒为零，故得到自由振动微分方程为mlka2mglgka2(1)解的系统固有频率为：wn2lmglml例题 3：一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图2 所示。已知 300,m 1kg,k 49N / cm， 开始运动时弹簧无伸长， 速度为零，求系统的运动规律。解：令 x 为位移，以质量的静平衡位置为坐标原点，建立坐标系，当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律得到：例题 3 图例题 3 图 mg sin k(s x)m x式中s为弹簧在质量块在重力分力作用下的静变形，由于静平衡时有：mg sin ks x所以系统的自由振动微分方程为：m令nkx 0k2 x x 0，上式可以写成：n

7、m其通解为：x初始条件为x0 c1cosnt c2sinnt00 0并且已知 30 ,m 1kg,k 49N /cm s,xC1 smgsin 0.1,c2 0,n 70k代入上式解得：3所以系统的运动规律为2）等效刚度简单计算例题 4：x(t)0.1cos70 t (cm)两弹簧k1和k2，分别写出串联和并联两种组合弹簧系统的等效刚度。解： 串联时：ke k1k2/k1k2并联时：ke k1k2例题 5：求如图所示，系统悬臂梁的质量可以忽略不计，其等效弹簧刚度分别为k1和k3。解：k1和k2串联：keq1 k1k2/ (k1 k2)k1k3k2k4keq1和k3并联：keq 2 keq 1

8、k3m例题 5 图keq2和k4串联：keq keq2k4/(keq2k4)即：keqx(k1k2 k2k3 k3k1)k4k1k2 (k1 k2)( k3 k4)第三章 单自由度系统的强迫振动A. 基本概念：1）振动的激励主要有哪几种力激励、位移激励、加速度激励；或是简谐激励、周期激励、任意激励2）简谐激励下强迫振动系统稳态响应的特点振动的频率与激励频率相同，但相位滞后于激励相位的简谐振动3）简谐激励下的强迫振动初始阶段的解有哪些初始条件产生的自由振动；简谐激励产生的强迫振动；伴随强迫振动产生的自由振动。4）傅立叶级数、卷积积分、傅立叶积分及传递函数的意义5）掌握共振及其危害共振的定义及在共

9、振时系统的特性，了解工程运用中振动的危害6）输入x(t)、输出y(t)和系统频率响应函数H(f)的时域和频域的关系时域：y(t)x(t)h(t)频域：y(w)x(w)H(w)P（tT）B. 推导：推导单自由度系统在周期信号力P（t）激励下求稳态响应的思路和步骤解：通过谐波分析，P 可写为：P(t) a0(a cosn1t bnsinn1t)2n1n系统的运动微分方程为：mx cx kxa0(ancon s1tbn2n1由叠加原理，系统的稳态响应为：sn in1t)4x(t) a0ancos( n1t n) bnsin( n1t n)2kn1k(1 n22)2 (2n)2其中，1,nk,c,nt

10、g12nnm2mn1n22当阻尼不计时，稳态响应为：x (t ) a0ancosn1t bnsin n1t2 kk (1 n22)n 1C计算：熟练计算单自由度系统对简谐激励的强迫振动稳态响应例题 6：小车重 490N，简化为用弹簧支在轮上的一个重量弹簧系数yk=50N/cm,轮子的重量变形都略去不计。路面成正选波形，可表mk3z2x，其中 Y=4cm,L=10m,如图所示。试求小车示为y Y sinL在以水平速度v 36km / h行驶时，车身上下振动的振幅。解：设在 t=0 时，有 x=0,则x vt，因而y Y sin2vt Y sintL代入数据，有 2(s )1oLx例题 6 图 k

11、z kY sint小车的振动微分方程为：mz小车的固有频率为：n设小车的响应为：z Z sint则小车强迫振动的振幅为:z 例题 7：图示的弹簧质量系统，质量m受激振力P(t) P建立m的运动微分方程并求0sint的作用，稳态响应。解：以质量m的平衡位置为坐标原点，列出运动微分方程，有：k 10( s 1)mkYY 6.6cm22k m1(w/n)kx Pmx0sint其稳态响应为：x p01sint2k1其中，k,00m例题 7 图例题 8：建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。xcmk5x1 Asint解：（例题 8 图）对物体m列运动微分方程，有：cx k(x1x) 0m x即：其

12、稳态响应为：其中，,00 cx kx kAsintm xx kAk12( 12) (2s i n(t )2)kc2, arctanm1 22km第四章 两自由度系统的振动A基本概念：1）固有振型整个系统在主振动过程中的某一位移形状。2）静力耦合和动力耦合静力耦合，也称弹性耦合，即振动微分方程通过刚度项来耦合；动力耦合，也称惯性耦合，即振动微分方程通过质量项来耦合B计算：熟练计算两自由度系统的固有频率及主振型例题 9：求解如图所示两自由度系统的固有频率及主振型（例题 9 图）解：运动微分方程为：12kxm0k0m x2kx10 2kx20 x112令主振动为sin(t )，或直接采用(K M)

13、0，有：x222k m2k10022k m2 km2设，有：k1 1021202 2由11 0，得出：211,2 36因此，有：1先将11代入，有：k3k，2mm12 0 021令21，则有11，因此第一阶模态为： 同样将2 3代入，令21，有1 1，因此第二阶模态为：1(2)1所以，模态矩阵为：(1) 1111 11第五章 多自由度系统的振动A基本概念：1）多自由系统的模态定义，模态参数包括哪些指标及主振型的物理意义系统作主振动时所具有的振动形态即为模态。模态参数有：各阶固有频率，各阶主振型，相对阻尼比。主振型的物理意义：按某一阶固有频率振动时所具有的振动形态。与模态试验结合起来，通过上述问

14、题描述模态试验。2）质量矩阵和刚度矩阵中元素的物理意义刚度矩阵中元素 kij的物理意义：使系统仅在第 j 个坐标产生单位位移而需要在第i 个坐标上施加的力；质量矩阵中元素 mij的物理意义：使系统仅在第 j 个坐标产生单位加速度而需要在第i 个坐标上施加的力。3）主振型的正交性，主质量矩阵和主刚度矩阵的特点对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵。4）主坐标及解耦使系统运动微分方程的全部耦合项都不出现的坐标称为主坐标。主质量阵 ,主刚度阵是对角阵,各个方程之间不存在坐标耦合,称为解耦。B计算：例题 1

15、0：写出图示弹簧质量系统运动的作用力方程。例题 10 图7解：建立如图所示的坐标系，得到运动微分方程为x1k1x1k2x1x2 p1m1m 2x2k2(x2x1)k3x2x3 p2m 3x3k3(x3x2)k4x3 p2 Kx P化成标准形式：Mxp10k1k2k2m100 式中：M 0m20，M k2k2k3k3，P p2k3k3k4p300 m30习题：习题：1、一质量弹簧阻尼系统，m=50kg，k=5000N/m。求： （1）系统的固有频率； （2）临界阻尼系数 cc； （3）c=0.5cc时的对数衰减率解：根据题意可得：（1）系统的固有频率：nk500010rad sm50（2）系统的

16、临界阻尼系数：cc 2 km 2 500050 5000Nm s（3）c=0.5cc时，阻尼比：c0.55000 0.252mn250100此时的对数衰减率：212210.252 6.492、用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。摆锤重 P，图中每个弹簧刚度 k/2。杆重不计。解：如图所示取倒置摆转角 为坐标，顺时针为正，摆刚性杆处于垂直位置即静平衡位置时 为 0，重力势能为 0。（1）确定系统任一时刻势能和动能的表达式1)2任一时刻系统的动能为：ETm(L28任一时刻系统的势能为：1 k1U (a)22 mgL(1cos) ka22 mgL(1cos)2 22dETU 0求系统运动的微分方

17、程（2）根据dtd(ETU)ka2mgLsin 0 mL2dt不总为零。微小振动时:sin，且2因此系统无阻尼自由振动微分方程为：mL(ka2mgL) 0（3）求系统固有频率ka2mgL系统固有频率：n2mLgka2 gmgL2mgLg ka21LPL3、如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求 M 的振幅与水平行进速度v 的关系，并确定最不利的行进速度。其中： M 为车辆簧上质量，k 为悬架刚度，v 为车速。解： （1 1）确定路面变化规律）确定路面变化规律根据题意：不平道路的变化周期为：T 因此2，且vT L。2v2vt，不平道路路面的变化规律为：y Y sint Y sinLL

18、（2 2）列写振动微分方程）列写振动微分方程 kx y mkx ky mkx kY sintm xxx22n整理可得： xx nY sint，其中nk。m（3 3）确定振幅与行进速度的关系）确定振幅与行进速度的关系由不平路面引起强迫振动，即微分方程的一个特解为：x Y Hsint Y1 n2sint（其中：=0，=0）9所以振幅与行进速度之间的关系为：X Y1 n2kL2Y222m2kL 4mv12v LkY（4 4）确定最不利的行进速度）确定最不利的行进速度22n当 = n，即共振时，振动微分方程为： xx nY sinnt112 x Ysinnt ntcosntY 1ntsinnt arc

19、tannt，22可见共振时振幅将随时间增大而增大，这种情况下的行进速度最不利。由nL2vk，可得最不利的行进速度为：v 2Lmkm4、如图所示系统，求出系统的全部固有频率和振型，其中：m1=4m，m2=2m，m3=m 。解：解：如图所示，取 x1，x2，x3作为广义坐标。（1 1）建立系统运动微分方程）建立系统运动微分方程122122x 23 x系统动能：T m4x231122系统势能：U kx12kx2 x1kx3 x22224m004kK K k02m0由此可得：MM 0m0014kx4m0002m02kx30m x00k2kkk2kk0 x1xkx x 2k x30 x1x 0k2k x

20、3KxKx 0，即：x x系统自由振动的微分方程为：MM（2 2）求系统的固有频率）求系统的固有频率将质量矩阵 MM、刚度矩阵 K K 代入频率方程：频率方程：K K 2MM 0，可得：，可得：4k 42mk0k2k 22mk0kk 2m 010 4k 42m 2k 22m k 2m k24k 42m k2k 2m 0 3k216km28m24k 2m 0解此方程可得：12k4 10k4 10 k22，3，2m4m84因此系统的三阶固有频率分别为：14 10k4 10kk2，2，3m4m4m（3 3）求系统的固有振型）求系统的固有振型将质量矩阵、刚度矩阵代入振型方程K K r2MM u ur

21、0可得：4k 4mr2k0k2k 2mr2ku1r 0ku2r2k rmu3r0u2r4k 4r2mu1rku3ru3ru2rk4k 4r2m 4u1ru2ru1rk r2mkku1r 2k 2r2m u2rku3r 0u3r 1u1rk m 02rk m 02r令 u1r=1，将r2（r=1, 2, 3）代入，可得系统的 3 阶固有振型为：u11 1 u12 1 u13110，u u u0，u u u 10u u1u23212223u321u331u314 5、简述利用振型叠加法求多自由度系统稳态响应的一般思路与步骤。答：(1)判断系统的自由度数 n， 并选取适当的广义物理坐标 x x， 其

22、数目和自由度数相同；(2)列出广义物理坐标 x x 下系统运动微分方程和初始条件；(3)求出系统固有频率和振型矩阵 u u；(4)利用坐标变换关系 x=uyx=uy 将系统运动微分方程及初始条件,从广义物理坐标 x x 转换到主坐标 y y 下,主坐标下的运动微分方程不存在耦合，各微分方程为相互独立的单自由度系统振动微分方程；(5)分别解出主坐标 y y 下各个相互独立的单自由度系统振动微分方程的稳态解，即在激励作用下的稳态响应；(6)利用展开定理 x=uyx=uy，将主坐标y y 下各单自由度系统的振动稳态响应合成系统在11物理坐标 x x 下的响应。6、用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，

23、测得 30 个阻尼自由振动周期后，振幅由0.258mm 减少到 0.10mm。求该系统的相对阻尼系数 。解：对数衰减率为相邻两个阻尼自由振动周期的两个振幅之比的自然对数，则：ln X0X1X0Xn1X0Xn1X1 ln lnlnln nXnXnX1X2XnX1X21X0lnnXn1X010.258lnln 0.0316nXn300.1所以：根据题意可得：所求相对阻尼系数：2220.0316220.03162 0.0057、如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为 P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R 与a 为已知，求微振

24、动周期。解：如图所示取滑轮转角 为坐标，顺时针为正，系统处于静平衡位置时 为零，因此分析时可不计重力势能。则微振动过程中系统任意时刻的动能和势能为：121 P2121 P22 IRE IxT22 g22 g1U ka22令：dETU Ikx x 0，可得系统自由振动微分方程为： 2mxxdtr12 I kx 0 x2 mr故所求系统的固有频率为：nkIm2rkr22I mr8、简述单自由度系统求取周期激励稳态响应的一般思路与步骤。答：(1)、建立坐标系后，建立运动微分方程；(2)、将周期激励用傅立叶级数展开分解成谐波激励和的形式；(3)、分别求取各谐波激励下的稳态响应；(4)、利用线性叠加原理，将各谐波激励下的稳态响应求和即得到周期激励下的稳态响应。13