因式分解法解一元二次方程典型例题教师版.pdf

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1、典型例题一典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式， 如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了(2)应用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(xe)(xf)0 的形式，这时才有x1e，x2f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x11 或x11x11

2、，x22(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1)，请同学们思考典型例题二典型例题二例 用因式分解法解下列方程6x23 3x 2 2x6解：把方程左边因式分解为：(2x3)(3x2) 02x3 0或3x2 0 x1 32,x223说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三典型例题三例 用因式分解法解下列方程。2y2 y15解: 移项得：2y2 y15 0把方程左边因式分解得：(2y 5)(y3) 05y 3 0y1 , y2 3.22y 5 0或说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般

3、式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四典型例题四例用因式分解法解下列方程（1）6x213x2 0；（2）3(2x1)29( 3x2)2 0；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零 .二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.解： （1）原方程可变形为1(6x1)(x2) 0,6x1 0或x 2 0，x1,x2 2

4、.6（2）原方程可化为(2 3x3)2(3 3x6)2 0，即(2 3x33 3x6)(2 3x33 3x6) 0，(5 3x36)( 36 3x) 0，5 3x3 6 0或3 63x 0，2 3 1,x212 3.5x1说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用 .这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五典型例题五例用因式分解法解方程：（1）2x25x36 0； （2）2(2x3) 3(2x3) 0；（3）2（4）y (2 33 2)x6 6 0.x2(22 2)x32 2 0；解： （1）(x9)(x4) 0

5、，x 9 0或x 4 0.x19,x2 4. 0，即(2x3)(4x9) 0.2x3 0或4x9 0，（2）(2x3)(4x63)x139,x2.24（3）即x 1 0或x(32 2) 0.x1 1(x1) x(32 2) 0，,x232 2.（4）(y2 3)(y3 2) 0，即y2 3 0或y3 2 0，y1 2 3, y23 2.典型例题六典型例题六例解关于x的方程20m2x211mnx3n2 0（m 0）解法一：原方程可变形为(5mxn)(4mx3n) 05mx n 0或4mx 3n 0n3nm 0，x1,x2 .5m4m填空题填空题1方程(x2)2 (x2)的根是2方程(x3)(x1

6、) 6x4的解是3方程(2y1)23(2y1)2 0的解是3答案：1x1 2，x2 32x112，x2123y1 1，y2 .2解答题解答题1用因式分解法解下列方程：（1）(x2)2 2x4；（2）4(x3)2 x(x3) 0；（3）10 x211x6 0；（4）9(x2)2 4(x1)2。（5）x2 x 0； （6）x22x35 0；（7）x27x10 0； （8）x29x18 0；（9）10 x211x6 0； （10）6x211x7 0.2. 用因式分解法解下列方程：（1）(x3)(x1) 5； （2）14(x4)29(x4)65 0；11（3）3( x)25(x)2 0。223用因式分

7、解法解下列关于x的一元二次方程：（1）x2 xk2x 0； （2）x22mxm2n2 0；（3）x23mx54m2 0； （4）15m2x217mx18 0(m 0)；（5）abx2(a2b2)xab 0(ab 0)4用适当的方法解下列方程：（1）4x249 0； （2）4x29x 0；（3）x2 x 2； （4）x22x 624；（5）x2 x1 0； （6）x22 5x 2 0.（1）x1 2，x2 0；（2）x1 3，x2 4；324（3）x1，x2 ；（4）x1 8，x2.255（5）x1 0，x2 1（6）x1 5，x2 7（7）x1 2，x25（8）x1 3，x2 6（9）x13217，x2 （10）x1，x2 .25232. （1）x1 2，x2 4；34115（2）x1，x2；（3）x1，x2.27623 （1）x1 0，x2 k21（2）x1 mn，x2 mn（3）x1 6m，x2 9m（4）29ba，x2（5）x1，x2.3m5mab7794 （1）x1，x2 （2）x1 0，x2（3）x1 2，x2 1（4）x1 26，224x1 x2 24（5） x11515，x2（6）x15 3，x25 322