克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用.pdf

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1、克拉默法则及其在方程组求解中的应用克拉默法则及其在方程组求解中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008 级赵丽指导教师刘学文摘摘要要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。 本文描述了克拉默法则产生的背景与意义， 归纳了克拉默法则及其推广形式的各种证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。关键词：关键词：克拉默法则；线性方程组；消去法Abstract:Abstract: Lin

2、ear algebra is an important component of the algebra. Widely used in manybranches of science. It is one of the core problems of linear equations. Therefore, usually have twosolutions, namely elimination andCramers Rule. In studying the Cramers rule before, we learna variety of determinant method, wh

3、ile the Cramers rule is used to solve linear equations of theproblem of determinant, the concise, graceful expression is symbolic of a model.Cramers rule islinear algebra A on solving linear equations theorem. It is suitable for variables and equations isequal to the number of linear equations, is a

4、 Swiss mathematician Cramer (1704-1752) on 1750, inhis linear algebra analysis introduction published in.Key words:Key words: Cramers rule; linear equations; proof; application引言引言克拉默法则（Cramers Rule ），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。对此通常有第 1 页 (共 1

5、9 页)两种方法，即消元法和克拉默法则（Cramers Rule ）。在中古代， 九章算术的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到 1826 年才被高斯（Carl Friedrich Gauss,1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于 1750 年，在他的线性代数分析导言中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。但是，关于它的发展史料散见与西方的一些文章，缺乏系统性的研究

6、和分析，尤其在我国，其有关研究几近空白。本文章将从克莱姆法则的史料分析开始，旨在分析克莱姆法则在方程组求解当中的应用。1 1克拉默法则的历史研究与意义克拉默法则的历史研究与意义Cramers Rule 并不是克拉默（Gabriel Cramer,17041752）本人最先使用的，他只是第一个公开发表这一法则的人。史料记载,英国数学家马克劳林（ColinMaclaurin，16981746）比克拉默发现该法则的时间还要早两年。如果向前追溯的话，德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,16461716）早在1678年的一份手稿中也给出了所谓的克拉默法则。1.11.1

7、莱布尼兹的工作莱布尼兹的工作莱布尼兹期望用指标符号，用数字作为双指标，表示方程的系数；用单个数字作为单指标，表示方程的未知量。他所采用的这些符号，由于当时没有公开发表，所以很少有人知道。在 1678 年的那份手稿中，他把含有 4 个未知量（用 2，3，4，5 表示未知量）的线性方程组表示为：12，2+13，3+14，4+15，5-A=0，22，2+233+24，4+25，5-B=0.32，2+33，3+34，4+35，5-C=0，第 2 页 (共 19 页)42，2+43，3+44，4+45，5-D=0。而且，明确地以一个分数的形式表达了每一个未知数的值，也就是在这份手稿中，他给出了所谓的 C

8、ramers Rule。与此同时，也明确地给出了一般规则的表达形式，比克拉默本人 1750 年发表出来的时间要早 70 多年。但是，莱布尼兹所做的这些工作都是后来被人们发现的，所以它们对马克劳林、克拉默各自独立提出来的规则并没有什么大的影响。对线性方程组的求解方法的发展也不可能产生很大影响。不过，应该指出，莱布尼兹的工作与他的研究方法和数学思想是密切相关的。1.21.2马克劳林的工作马克劳林的工作马克劳林，自幼聪慧勤奋，11 岁便步入大学校门，17 岁就以有关引力研究的论文获硕士学位，19 岁受聘为阿伯丁马里沙尔学院数学教授，21 岁当选为英国皇家学会会员。1722 年赴法国巴黎从事研究工作，

9、1724 年以物体碰撞论文获巴黎科学院奖金。次年回国，任爱丁堡大学数学教授。他的主要贡献是继承和发展了牛顿的流数理论。在代数方面的成绩也是不容忽视的，尤其是在1748 年他的遗嘱代数论著 （A Treatise of Algebra）中，最先开创了用行列式的方法来求解含 2 个、3 个和 4 个未知量的联立线性方程组。ax by caf dc例如，在中，可求出，y ；在含 3 个未知量的联立方程ae dbdx ey fax by cz maep ahn dhn dbp ghn gem。dx ey fz n中，可解得z aek ahf dhc dbk gbf gecgx hy kz p他解释说，

10、对前一种情况，y的分母是由x, y的系数的乘积构成的，但这些系数分别来自于不同的方程， 且属于不同的未知量。y的分子则是由不含y的系数的所有可能的乘积，但乘积的因子分别来自于不同的方程，且不属于同一未知量。对后一种情况，他指出，z的分母是由x, y,z的系数的所有可能的乘积组成的，而组成这些乘积的因子分别来自于不同的方程， 且属于不同的未知量。z的分子则是由不包含z的系数在内的x, y的系数和常数项的乘积的组合，而这些乘积的因子来自于第 3 页 (共 19 页)不同的方程，且不属于同一未知量。当然，对于含 4 个未知量的 4 个方程来说，也可以按上面所说的同一模式进行求解。在求解过程中，他也意

11、识到了分子。分母中的符号问题，遗憾的是没能进一步给出一个明确的法则来确定符号。虽然，书中的记法繁琐，符号变化的规则又比较模糊，但是它确实就是我们今天所使用的Cramers Rule。1.31.3克拉默的克拉默的Cramers RuleCramers Rule克拉默为瑞士数学家，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1727 年进行为期两年的旅行访学。其间，结识了约翰伯努利、欧拉等一些大数学家。1734 年成为几何学教授，1750 年又成为哲学教授。先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。其主要著作是线性代数分析导言 （Introduction lanal

12、ysedes lignescourbesalgbriques，1750） 。在这本书中，他给出了由线性方程组的系数来确定方程组解的表达式，既我们现在所谓的CramersRule他是这样描述的：设有n个未知数z, y,x,v,&c，构成如下方程组：A1 Z1z Y1y X1x V1v &c.A2 Z2z Y2y X2x V2v &c.A3 Z3z Y3y X3x V3v &c.A4 Z4z Y4y X4x V4v &c.&c.其中，字母A1，A2，A3，A4等一般不表示A的幂，而是代表第 1 个、第 2 个、第 3个方程左边的已知数。同样地，Z1，Z2，Z3,代表第 1 个、第 2 个、第 3个

13、方程中z的系数。如果采用这种符号，对于只含有一个未知量z的一个A1方程时，将得到z 1。对含有两个未知量z和y的两个方程时，将有：ZA1Y2 A2Y1Z1A2 Z2A1z 12y 1221Z Y Z YZ Y Z2Y1。，对含有 3 个未知量x, y,z的 3 个方程时，则得：第 4 页 (共 19 页)A1Y2X3 A1Y3X2 A2Y1X3 A2Y3X1 A3Y1X2 A3Y2X1z 123Z Y X Z1Y3X2 Z2Y1X3 Z2Y3X1 Z3Y1X2 Z3Y2X1；Z1A2X3 Z1A3X2 Z2A1X3 Z2A3X1 Z3A1X2 Z3A2X1y 123Z Y X Z1Y3X2 Z

14、2Y1X3 Z2Y3X1 Z3Y1X2 Z3Y2X1；Z1Y2A3 Z1Y3A2 Z2Y1A3 Z2Y3A1 Z3Y1A2 Z3Y2A1x 123Z Y X Z1Y3X2 Z2Y1X3 Z2Y3X1 Z3Y1X2 Z3Y2X1。通过考察这些公式，克拉默给出了一个一般性的规则，即方程的个数和未知量的个数都是n时，我们可以通过分母相同的n个分数来求的每一个未知量的值。虽然对于分子、分母的表达以及符号的确定，克莱姆本人都有一套可遵循的规则，应用起来得心应手，但是克莱姆本人没有给出这个规则一个严密的逻辑证明，而是后来柯西在 1815 年首次给出了克拉默法则的一个严密的证明过程。1.41.4克拉默法则克

15、拉默法则命名的争议命名的争议美国数学史家波耶（Carl B. Boyer）根据一封马克劳林写给皇家学会哲学会刊的信推测马克劳林“知道”这一法则的时间可追溯到 1729 年，在 1729 年的这封信里，他声称自己正在写代数论著这本书。虽然马克劳林在信里没有提及任何关于克拉默法则的文字，但是一件为公开发表的手稿证实了CarlB.Boyer的猜测。其内容与1748 年版本中的克拉默法则的形式完全一致。因此可以说，在克拉默法则发表 20 年以前，马克劳林就在教他的学生学习克拉默法则了。但是为什么又把克拉默法则归属于克拉默了呢？除了他是第一个发表的以外，还有其他原因。一是克拉默优越的符号解释了为什么马克

16、劳林对这个法则的陈述被忽视的原因；另一方面，也许是由于欧拉（Leonhard Euler，17071783）在他的通俗代数课本中说克拉默法则是一个“非常漂亮的法则” ，这样一个非常高的评价。还有一个原因，可能是由于缪勒（ThomasMuir，18441934）在他著名的行列式理论 （TheTheory of Determinants in the Historical Order of Development）一书中忽视了马克劳林的贡献，把以下 3 个“新结果”归功于克拉默:1）给出了一个规则，即线性方程组的未知量的值都可以用一个分数的形式来表达，并且具有相同的分母。第 5 页 (共 19 页

17、)2）给出了确定符号的规则，即在分子、分母中的每一项都有一个明确的符号，也就是根据指数的重排数的奇偶性来确定每一项的正负号。 （对于同一项里的指数，如果一个数字接着另一个数字排列，而后面的这个数字比前面的那个数字小，那么这样的两个数字就构成了一个重排，一个指数里重排的总个数就是重排数。如Z3Y1X2的重排数是 2，因为 1 比 3 小，2 比 3 小；Z3Y2X1的重排数是 3，因为1 比 2 小，1 比 3 小，2 比 3 小）3）给出了从分母的表达式中获得分子表达式的这样一个规则。遗憾的是马克劳林没能给出 2）所说的正负号的确定法则。从方法上来看，两人得出这一法则的思路基本上都是从线性方程

18、组的求解入手，都是用线性方程组的系数来给出解的表达式，而且两人都没有用“行列式”这一名称，其实，行列式这一名词最早出现在 18 世纪初柯西的著作中，他还首先采用双重足标的记法把元素排成方阵，并系统化了克拉默法则以及它的证明。克拉默法则的产生和其他多数数学知识一样，是许多数学家共同努力的结果，马克劳林和克莱姆分别比较完整的得到了求解线性方程的这一法则，柯西严密地证明了这一法则，所以这一法则才会沿用至今。2 2克拉默法则克拉默法则 2.1 n 2.1 n 元线性方程组的有关概念元线性方程组的有关概念在介绍克莱姆法则之前，先介绍几个概念及定理。定义2.11一般线性方程组是指形式为a11x1a12x2

19、a1nxn b1a x a x a x b21 12222nn2 (1)amx1am2x2amnxn bm，xn代 表n个 未 知 量 ，m是 方 程 的 个 数 ，的 方 程 组 ， 其 中x1，x2，aij(i 1,2,m, j 1,2,n)称为方程组的系数，bj( j 1,2,m)称为常数项。方程第 6 页 (共 19 页)组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等。 系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是 xj的系数。若bj( j 1,2,m)不同时为 0，则方程组（1）称为非奇次线性方程组非奇次线性方程组。若bj( j 1,2,m)同时为 0，则该方程组称为

20、奇次线性方程组奇次线性方程组。定义2.21由nn个数排成的n行n列，即如下形式的：Dna11a21a12a1na22a2nan1an2ann称为n级行列式级行列式，其中数aij表示位于第i行第j列的元素。在n阶行列式中,n 2时,Dn a11A11a12A12a1nA1na1jA1j，这里，Aij (1)i jMij称为元素aij的j1n代数余子式代数余子式，Mij称为元素aij的余子式余子式。即a11ai1,1an1a1, j1a1, j1ai1, j1an, j1a1nMijai1, j1an, j1ai1,nannai1,1ai1, j1ai1, j1ai1,n它是由Dn划去aij所在的

21、行和列后剩下的元素按原来的位置排成的一个n1阶行列式，当n 2时，D2a11a21a12a22 a11a22a21a12。定义2.31有mn个数排成一个m行n列，并包以方括弧（或圆括弧）的数 a11a12a22a表21am1am2a1na2n称m行n列矩阵，简称mn矩阵矩阵。矩阵通常用大写字母amnA,B,表示，记作A aij mn，其中aij(i 1,2,m，j 1,2,n)陈为矩阵A的第i行第j列元素。第 7 页 (共 19 页) a11a211定义2.4矩阵A am1 a11a21称B (A|b)am1a12a22a1na2na12a22am2a1na2n称为线性方程组 （21） 的系数

22、矩阵系数矩阵，amnam2amnb1b2称为线性方程组（21）的增广矩阵增广矩阵。bm定义2.52矩阵的初等行变换初等行变换是指：（1）互换矩阵中任意两行的位置（互换变换） ；（2）将矩阵的某一行的所有元素都乘以一个非零常数k(倍乘变换);（3）将矩阵的某一行的所有元素都乘以一个非零常数k后加到另一行的对应元素上（倍加变换） 。定义2.62在mn矩阵A中，任取k行与k列（k m,k n） ，位于这些行列式交叉处处的k2个元素，保持它们原来的位置不变，组成一个k阶行列式，称为kk矩阵A的一个k阶行列式阶行列式（或k阶子式） 。mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。Cn定义2.73设在矩阵A中一个不等于

23、 0 的r阶子式D，且所有r1阶子式全等于 0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵矩阵A的秩的秩，记为R(A)。并规定零矩阵的秩等于 0。定义2.83满足下列 2 个条件的矩阵称为阶梯矩阵阶梯矩阵：（1）首非零元（即非零行的第 1 个不为零的元素）的列标随着行标的递增而严格增大；a11a12a1n（2）矩阵的零行位于矩阵的最下方（或无零行） 。aaa21222n,所谓A的转置矩阵转置矩阵就是指矩阵定义2.98设A a11a21am1aaam2mnam1aa22m2A12,显然，mn矩阵的转职是nm矩阵。a1na2nanm定理2.14（非齐次线性方程组解的存在性定理）对于非齐次线性方

24、程组第 8 页 (共 19 页)a11x1a12x2a1nxn b1a x a x a x b21 12222nn2amx1am2x2amnxn bm（1）若R(A) R(B) n，则方程组只有唯一解；（2）若R(A) R(B) n，则该非齐次线性方程组有无穷组解；（3）R(A) R(B)，则方程组无解。定理2.25（齐次线性方程组解的存在性定理）对于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn 0a x a x a x 021 12222nnamx1am2x2amnxn 0（1）若R(A) n，则该齐次线性方程组有唯一的零解；（2）若R(A) n，则该齐次线性方程组有无穷多组非零解。定理2.

25、36任何矩阵A aij mn都可以经过一系列初等行变换化为阶梯型矩阵，矩阵A的秩等于其相应阶梯型矩阵非零行的行数。2.22.2克拉默法则及其证明克拉默法则及其证明从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。2.2.1二元一次方程组克拉默法则a x a x b我们已经知道二元一次方程组11 11221， 在a11a22a12a21 0时有唯一a21x1a22x2b2b1a12a11b1ba22abbaa bb a a b解，即x11221222，x221121 1212a11a22a12a21a11a12a11a22a12a21a11a12a21a22a21a22分母为二元一次

26、方程组的系数保持原来位置构成的行列式，称为系数行列式，记为D。x1的分子为系数行列式第一列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为D1。x2的分子为系数行列第二列换为方程组等号右边的常数列构成的行第 9 页 (共 19 页)列式，记为D2。这三个行列式表示为D 样，在D 0时，方程组的解为x1莱姆（莱姆（CramerCramer）法）法则。 2.2.2n元线性方程组克拉默法则a11a12a21a22,D1b1b2a12a22，D2a11b1a21b2，这D1D,x22，这个结论称为二元一次方程组克二元一次方程组克DD定理2.46 (克拉默法则)设n元线性方程组为a11x1a12x2a1nx

27、n b1a x a x a x b21 12222nn2（2）an1x1an2x2annxn bn若系数行列式D 0，则方程组有唯一解，即DDDx11,x22,xnn（3）DDD其中，Di(i 1,2,n),是把系数行列式D的第i列元素换为方程组等号右边的常数列b1,b2,bn所得的n阶行列式，系数行列式D为a11a21D an1a12a22an2a1na2nann 2.2.3克拉默法则的几种简单证明方法证法 1不失一般性，仅就（2）在n 3时的情况证明，这时（2）可写成a11a21a31a12a22a32a13x1b1xba2322a33x3b3进一步可写成：a11a21a31a12a22a

28、32a13x1xa232a33x300b1b00200b30000（4）00又因为有：第 10 页 (共 19 页)a11a21a31a12a22a32a130000a120100aa2322a330010a32a13a23 (5)a33将（3） 、 （4）用矩阵加法得：a11a21a31a12a22a32a13x1xa232a33x300b1b10201b3a12a22a32a13a23 (6)a33对（6）式两端取行列式：Dx1 D1，因为D 0,故x1类似地可以得到：x2D2D,x33。证毕。DDa11a12a1,i1D1.Da1ixia2ixianixia1,i1a1na2,i1a2n

29、an,i1anna21证法 2欲证Dxi Di，Dian1a22a2,i1an2an,i1把上述行列式的第j列乘以xj, j 1,2,i1,i1,n，加到第i列上，这a11Dxia21an1a11a21 =an1a12a1,i1aai1ni1i1nn1iixa1,i1a1na2,i1a2nan,i1anna22a2,i1an2an,i1a12a1,i12iixniiab1xa1,i1a1na22a2,i1b2a2,i1a2nan2an,i1bnan,i1ann =Di所以Dxi Di，又因为D 0,则：x1DD1D,x22,xnn，DDD故，若方程组有解，则其解必为（3） 。另外，不难验证（3

30、）的确是方程组的解。故（3）是方程组的唯一解，得证。证法 3（1）唯一性第 11 页 (共 19 页)若（2）有解，且x1,x2,x3,xn为其任一解，则x110a12an2a12an200-1000a11x1D 0 x2an10a1nb1a11=annbnan1000a12a1n=D1an2ann10a12a1n=D2an2ann01a1nann10a11x2D 0 xn00an1a1nb1a11=annbnan11a1n00 xnD 00a11a1,n1an1an,n1b1a11a1,n1=annbnan1an,n1b1a11a1,n1 =(1)n3=(1)n3(1)n1Dn Dnbnan

31、1an,n1由于D 0,故x1（2）存在性考虑有两行相同的n1阶行列式b1b2bna11a11an1a12a12an2a1na1nannDD1D,x22,xnnDDD0 =b1Da11D1a12D2a1nDnDD1Da122a1nn b1DDDDDD同理可验算1,2,n也满足其余方程，故（3）是方程组（2）的解。DDD由于D 0，故a113 3 克拉默法则的推广克拉默法则的推广 3.1 3.1广义的克拉默法则广义的克拉默法则定义3.16设aijnn是数域F上的一个n阶行列式， 又B1,B2,Bn为F上的n第 12 页 (共 19 页)个mr矩阵，若将D中的某一行或某一列中的元素依次换为B1,B

32、2,Bn后所得到的“行列式”称为广义行列式。 （广义行列式是F上一个确定的mr矩阵）根据广义行列式的定义，利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的性质及展开定理，对于广义行列式也同样成立。定理7（广义克拉默法则） ： 设aij是F上的数，B1,B2,Bn均为F上的mr矩阵，又x1，x2， ，xn为未知的mr矩阵，则当矩阵方程组a11x1a12x2a1nxn B1a x a x a x B21 12222nn2 (1)an1x1an2x2annxn Bn的系数行列式D aij 0时，方程组（3-1）有唯一解：DDDx11,x22,xnn（2）DDD其中Dj为将D的第j列元素换成矩阵B1

33、,B2,Bn后所得到的广义行列式（j 1,2,n)证明（1）唯一性设方程组（1）有解，且x1，x2， ，xn为其任一解，于是（1）就变成为n个矩阵等式，根据广义行列式性质，有a11B1a1na11a21B2a2na21Dj=an1Bnannan1a11a1jxja1na11x1a12x2a1nxna1na21x1a22x2a2nxna2nan1x1an2x2annxnanna21a2 jxja2n Dxj =an1anjxjann由于D 0,故xj（2）存在性DjD( j 1,2,n)考虑有两行相同的n1阶广义行列式第 13 页 (共 19 页)B1B10 B2Bna11a11a21an1a1

34、2a1na12a1na22a2n B1Da11D1a12D2a1nDnan2annDD1Da122a1nn B1,DDDDDD同理可验算：1,2,n也满足其余方程。得证。DDD由于D 0，故a113.23.2 克拉默法则的推广克拉默法则的推广由前面的克拉默法则可知其另一种记法：设A是一个n阶方阵，b是一个n维Dj, j 1,2,，n，向量。若A的行列式A 0，则线性方程组Ax b有唯一解xiD其中D A,Djb1A1jb2A2 jbnAnj,Aij是 A 中元素aij的代数余子式。或有x A1b其中A1是矩阵 A 的逆矩阵。定理3.28设 A 是mn实矩阵， 则线性方程组Ax 0与AAx 0同

35、解， 其中A是矩阵A的转置矩阵。证明设x0是 Ax=0 的解，则Ax0 0；所以AAx0 0，即x0也是AAx 0的解。反 之 ， 设y0是AAx 0的 解 ， 则AAy0 0； 所 以y0A Ay0 0, 即（Ay0） Ay0 0，由于Ay0Rn1，所以Ay0=0.即y0也是 Ax=0 的解。故线性方程组 Ax=0 与AAx 0同解。A是矩阵A的转置矩阵，推论8设A是mn实矩阵，则R(A) R(A) R(AA)其中R(A)是矩阵A的秩。定理3.38设A为mn实矩阵，b为m1列向量，则AAx Ab一定有解。证明R(AA) R(AA,AbR A(A,b) R(A) R(AA)所以，R(AA, A

36、b) R(AA)定理3.48实系数线性方程组Ax b，A为mn矩阵，m n，b为m1列第 14 页 (共 19 页)向量，若已知Ax b有唯一解，则AA可逆，且唯一解为x (AA)1Ab.定理3.58（克拉默法则的推广）设ARmn即A为一个mn型实矩阵，bRm1为m1型的实列向量， 如果矩阵A的秩R(A) n， 则下面两个线性方程组：Ax b,与AAx Ab均有唯一解，且同解，其解为：x (AA)1Ab4 4方程组求解中的应用方程组求解中的应用随着新课改的不断深入,中学数学中涉及高等数学的内容也在不断增加 ,高等数学知识在开阔学生的视野、提高学生的学习兴趣、指导学生解题等方面所发挥的作用也日益

37、突出，例如上海高考就已经将低阶的矩阵运算以及低阶行列式列入了高考必考知识点。而克拉默法则在高等代数中求解方程组的意义在于能够将解方程组问题“格式化” 。运用克拉默法则解方程组，学生可以避免利用消元法时在增广矩阵的初等变换中可能出现的一些问题,如对矩阵变换概念不清等。但是利用克拉默法则只要会求代数余子式以及行列式即可。下面我就低阶线性方程组在下列两种情形中克拉默法则的应用情况进行讨论。情形 1自由未知量的个数等于方程个数,即m n。情形 1.1系数矩阵行列式不等于零（D 0)3x y 1例 12x4y 24解D 3124 14 0。 所 以 原 方 程 组 有 解 ， 利 用 克 拉 默 法 则

38、1131DD,则x 1 2, y 2 5.D1 8,D2 70DD2442243x y 0例 22x4y 0解D 3124 14 0。 所 以 原 方 程 组 有 解 ， 利 用 克 拉 默 法 则第 15 页 (共 19 页)D10130DD 0,D2 0,则x 1 0, y 2 0.DD04203x2y6z 6例 33x5y9z 96x4y15z 632解D 3569 27 0, 所 以 原 方 程 组 有 解 , 利 用 克 拉 默 法 则6415626366326D1 959 108,D2 399 81,D3 359 5464156615646所以原方程组的解为x DD1D 4, y

39、2 3,z 3 2DDD2x3y3z 0例 43x y z 02x3y2z 0233解D 311 7 0,利用克拉默法则232033203230D1 011 0,D2 301 0,D3 310 0,032202230所以原方程组的解为x DD1D 0, y 2 0,z 3 0.DDD情形 1.2系数矩阵行列式等于零（D 0)利用秩来判断方程组是否有唯一零解或无穷解6x8y 9例 59x12y 7解D A 68 0,故不能使用克拉默法则，对其增广矩阵作初行等变换912689182427182427所以原方程B (A,b) 1824140013,由于R(A) R(B)，9127组无解。第 16 页

40、 (共 19 页)6x8y 4例 69x12y 668解D A 0,故不能直接运用克拉默法则，对其增广矩阵作初等行912684182412182412变换：B (A,b) ,9126182412000由于R(A) R(B) 2,所以原方程有无穷多解。2x y3z 6例 73x2y z 15x3y4z 13213解D 321 0，故不能直接运用克拉默法则，对其增广矩阵作初等行5342136 112501763211变换：B (A,b) 534130006由于R(A) 2,R(B) 3,R(A) R(B)，故原方程组无解。2x3y3z 0例 83x y z 02x3y3z 023301220011

41、03110解B (A,b) 00023300由于R(A) R(B) 2 3，故原方程有无穷多解。情形 2自由未知量的个数与方程组的个数不相等，即(m n)此时不能直接运用克拉默法则解方程组，可利用增光矩阵的行变换解题,但是还可利用克拉默法则的推广解这个方程组。第 17 页 (共 19 页)2x1x1例 9x12x1 x23x22x24x2 x25x3 x37x37x3 x46x42x46x48 9 5 0 9解在 此 线 性 方 程 组Ax b中 ， 系 数 矩 阵A是54型 矩 阵 ， 且R(A,b) R(A) 4，所以方程组有唯一解，但由于系数矩阵不是方阵，故将该线性方程组的求解转化为求解

42、下面的线性方程组：AAx Ab 8 2151 x1012 21012 2911306132x1324141250212 =50177x35017701476x16260162604217095 10531整理得31424722 x1 43 x204247212449x3984977x45631解得：x13,x2 4,x3 1,x41若方程组存在无穷多组解，则只能根据方程组的增广矩阵的秩判断，不能用克拉默法则去求该方程组的解。4x3y3z 0例 10 x3y z 0410-04-3-303解B (A,b) 71-31001-09由于R(A) R(B) 3,所以原方程组有无穷多解。5 5结束语结束

43、语本文主要是以克拉默法则的历史研究到现代克拉默法则在方程组求解问题中的应用为主线研究克拉默法则。在学习克拉默法则之前,我们学习了各种求行列式第 18 页 (共 19 页)值的方法,而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题 ,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。如果线性方程组中未知量的个数与方程的个数相等且系数矩阵的行列式不为零时 ,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 ,若系数矩阵的行列式等于零或者方程的未知量的个数与方程的个数不相等,则不能直接运用克拉默法则,这时就需要对克拉默进行推广,进行推广之后的克拉默法则,无论方程的未知量的个数与方程的个数是否相等

44、 ,均可以将方程的解求出。而对于方程组的求解，我们要进行两方面的讨论： （1)方程组有唯一解时，我们可以利用克拉默法则求出其解，且快而明了；（2）当方程组的解不唯一或者不存在时，我们可以根据方程组的有解判别定理，通过比较方程组系数矩阵的秩、增广矩阵的秩与自由未知量的个数三者之间的关系得出原线性方程组的解的情况。参考文献：参考文献：1陈亦佳.高观点下方程组的求解J.玉溪师范学院学报,2011,24(4):49-54.2胡康秀、王兵贤.克拉默（Cramer）法则的推广及 Matlab 实现J.牡丹江教育学院学报，2008， （1） ：141-142.3张禾瑞.高等代数（第四版）M.北京：高等教育出版社，2004.4莫里斯克莱因.古今数学思想M.万伟勋，石生明，孙树本，等译.上海：上海科学技术出版社，2000.5王萼芳，石生明.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.6同济大学应用数学系.数学线性代数（第四版）M.北京：高等教育出版社，2003.7蔡海鸥.线性代数教学方法探索J.首都师范大学学报（自然科学版） ，2009（5）8杨子胥.高等代数M.北京：高等教育出版社，1990.第 19 页 (共 19 页)