关于不等式的证明及推广.pdf

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1、百度文库 - 让每个人平等地提升自我关于不等式的证明及推广摘摘 要要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等数学中，可以利用的方法更加灵活技巧。我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。由此我们可以看到，不等式的的

2、求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍。本篇论文一共分为三章，其中第三章和第四章为正文部分。第三章分两小节，第一节介绍了 23 种初等代数中不等式的证明方法。 而第二节则介绍了 6 种高等代数中不等式的证明方法。第四章介绍了一些著名不等式的证明、推广和应用。关键词关键词：不等式证明方法I百度文库 - 让

3、每个人平等地提升自我AbstractAbstractIn elementary algebra and advanced algebra,The inequality proof all holds the pivotalposition. In the elementary algebra introduced many concrete but has quite had mystical powersactiveness and skill the proof method, For example the structure proof method, the comparisonte

4、st, puts item by item shrinks research technique and so on the law; But in highermathematics,We may a use method more nimble skill. We may use the model west the tan oak theinequality conclusion to prove the similar inequality; Eliminates this also to be possible to use thederivative, Differential t

5、heorem of mean, Taylor formula; integra intermediate value theorem Andso on the related knowledge proves the inequality;Union convex function nature,The convexfunction law also may prove a kind of inequality; In is deciding in situation,Also may use thediscriminant law; After grasped the definite in

6、tegral to change into the multiple integral thecontent, Regarding some kind of inequality,Also may change into the definite integral themultiple integral, Again proved asks inequality. May see from this us to, Inequality solution proofmethod not only, But in elementary mathematics inequality, All ma

7、y use the higher mathematicsthe knowledge to solve, answer is ,The higher mathematics has the important guiding sense to theelementary mathematics teaching and the study, Not only must grasp in the elementarymathematics each inequality proof method,Must grasp in the higher mathematics the inequality

8、proof method, This article induced and summarized some solution proof inequalities methods andthe skill,Has highlighted the inequality basic thought and the essential method, Is advantageousfor understands each part of inner links well, Grasps the inequality from the overall the thinkingmethod; Atte

9、ntion to some famous inequalities proofs.This paper altogether divides into three chapters, third chapter and fourth chapter is the mainchapter minutes two sections, First section introduceds in 23 kind of elementary algebras theinequality proof method. But second then introduced in 6 kind of advanc

10、ed algebras theinequality proofchapter introduced some famous inequalities proofs, the promotion and theapplication.Key word:Key word:Inequalityproof methodII百度文库 - 让每个人平等地提升自我目目 录录摘要摘要 AbstractAbstract 第一章第一章 引言（绪论）引言（绪论） 1第二章第二章 文献综述文献综述 第三章第三章 不等式的证明方法不等式的证明方法 初等代数中不等式的证明 3.1.1 比较法3.1.2 分析法 3.1.3

11、 反证法3.1.4 数学归纳法 3.1.5 换元法 3.1.6 放缩法 3.1.7 调整法 3.1.8 构造法 3.1.9 利用已知的不等式证明 3.1.10 利用一元二次方程的判别式证明 3.1.11 用几何特性或区域讨论 3.1.12 利用坐标和解析性证明 3.1.13 利用复数证明 3.1.14 参数法 3.1.15 利用概率证明 3.1.16 利用向量证明 3.1.17 面积法 3.1.18 化整法 III百度文库 - 让每个人平等地提升自我3.1.19 步差法 3.1.20 通项公式法 3.1.21 转化成数列法 3.1.22 增量法 3.1.23 裂项法 高等代数中不等式的证明 3

12、.2.1 由函数的上、下限证明3.2.2 由柯西不等式证明 3.2.3 由 Taylor公式及余项证明3.2.4 由积分的性质证明 3.2.5 由中值定理证明3.2.6 利用求函数的最值证明第四章第四章 几个著名不等式的证明、推广及其应用几个著名不等式的证明、推广及其应用关于绝对值不等式 4.1.1 三角形不等式 4.1.2 三角形不等式的推广 4.1.3 三角形不等式的应用 平均值不等式4.2.1 算术平均数与几何平均数 4.2.2 几个平均数的关系 4.2.3 平均值不等式的应用 贝努利不等式排序不等式柯西不等式4.5.1 柯西不等式的定理和初等证明 4.5.2 柯西不等式的推广 IV百度

13、文库 - 让每个人平等地提升自我闵可夫斯基不等式 赫尔德不等式契比雪夫不等式 琴生不等式艾尔多斯莫迪尔不等式 结论结论致谢致谢参考文献参考文献附件附件V百度文库 - 让每个人平等地提升自我第一章第一章 引言引言首先,我们要从整个数学,特别是现代数学在21 世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。美国数学评论2000 年新的分类中,一级分类已达到63 个,主题分类已超过5 600多个,说明现代数学已形成庞大的科学体系,并且仍在不断向纵深发展。它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等) 和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等) 以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。

14、它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具,它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。 而不等式在数学中又处于独特的地位。美国数学评论在为匡继昌的常用不等式第2 版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性,无论怎么强调都不会过分。”在美国数学评论MR2000 中,除了MR26 中的9 个主题分类外,还有24 个主题分类分散在其他部分,其中MR39B62(泛函不式) 、39B72、49J20、40 ( 变分不等式) 、26E60(平均) 等都是MR2000 新增加的。这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。近年来高考虽然淡化了单纯的不等

15、式证明的证明题。但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现。常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力。是高考考查的一项重要内容。而要解决这一点的关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式。因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。换一句话说就是将高等数学里的一般结论应用到中学代数的不等式的证明中，以加深和帮助对中学数学里不等式证明内容的理解，从而更好地掌握不等式的证明这部分内容

16、。本论文虽然经过多次的修改，但由于水平有限，论文中的不足和考虑不周之处肯定还有很多，错误也是在所难免的。1百度文库 - 让每个人平等地提升自我第二章第二章 文献综述文献综述参考文献 1、 不等式证明的常用方法 ；许小华；数学通讯；2005 年第 22 期：不等式在数学中的地位十分重要, 证明不等式的方法和技巧也很多, 本文介绍一些常用方法及其在数学竞赛中的应用。其中证明方法有分析和综合法、数学归纳法、反证法、函数法、判别式法。参考文献 2、 不等式证明的两种巧法 ；陈初良；高中语数外； ：不等式证明既是高中数学的重点，也是高中数学的难点。而不等式的证明方法有很多,要掌握好不等式证明， 除了要认

17、真理解并能熟练运用不等式的基本性质外，还应当注意观察相关条件与数学其他知识点的联系， 充分利用有关知识解决不等式证明问题,所以本文介绍了两种技巧性较高的不等式证明方法：化归函数法、放缩法。本文对这两种方法的介绍非常的精彩。参考文献 3、 不等式证题中调整法的应用 ；周再禹；兰州教育学院报；2005 年第 4 期：本文展示了不等式证明的一种独特的方法：调整法。本文首先介绍了调整法的原理：fx定义在a,b（可开可闭或半开半闭，有限或无限）上（1） 若对Px1,x2, y1, y2 a,b ,x1 x2 y1 y2有fx1 fx2 fy1 fy2，y1 y2 x1 x2则对Px1,x2,fx1 fx

18、2nx1 x2,xn a,b，有 fxn x x f12n xn式中等号当且仅当 xn时成立。（2） 设x a,b，fx为正值函数，若对Px1,x2, y1, y2 a,b，x1 x2 y1 y2有fx1fx2 fy1fy2，y1 y2 x1x2则对Px1,x2,xn a,b有nfx1fx2 x x fxn f12n xn式中等号当且仅当x1 x2 xn时成立。在调整原理（1） 、 （2）中，当条件不等式“调向”时，结论也调向。然后再应用其原理解题。参考文献 4、 几种证明不等式的妙法 ；董琳；创新篇.发散思维训练；2005 年第 9 期：2百度文库 - 让每个人平等地提升自我为了拓宽视野，本

19、文通过实例，介绍了几种切实可行的方法：放缩法证不等式、反证法、函数法、最值法。其中最值法的数学思想是：如果直接证明难以获证，不妨借用转化思想，即“如果 A 是 B 成立的充要条件，那么 B 也是 A 成立的充要条件” ，即只需证明axxx1b对于x1,恒成立的充要条件是不等式a 1b成立。参考文献 5、 柯西施瓦兹不等式的应用 ；刘兴祥，罗云庵，王海娟；延安大学学报（自然科学版） ；2005 年第 4 期：高等数学除了可以使学生站在更高的观点上思考问题，同时又可以帮助学生处理初等数学的问题，以达到初等数学与高等数学之间的衔接，所以本文利用柯西施瓦兹不等式且巧妙地构造向量与解决了部分分式不等式的

20、证明及求极值问题。参考文献 6、利用微分学证明不等式 ； 刘海燕； 牡丹江教育学院学报； 2005 年第 3 期：不等式的证明是数学的重要内容之一,也是高等数学的重要工具。它题型广泛,技巧多变,思路灵活,涉及的知识面也较广。常用的证法有比较法、综合法、分析法、重要不等式法,在证明与自然有关的不等式时还有数学归纳法。函数的单调极值问题其本身都与不等式密切相联,而微分学中值定理和Taylor 公式又使我们能够通过对导数或余项的估计来确定变量间的大小关系,因此常常是证明不等式的得力工具,相对于函数极值概念的局部性,函数的最值则是一种整体的概念,即是在一固定的区间内有意义的概念,这是和极值概念绝然不同

21、的所在。 那么我们如何通过运用导数与微分这样的反映局部性质的概念来研究最值呢?显然我们只能给出一个最值的必要条件,就是一个最值首先必须是一个极值。这也就是说最值是包含在极值之中的,至于通过极值来找到最值,最终还是必须依靠对可能有的不同极值进行比较。 如果极值的数目是有限的,并且不是很多,那么就比较容易得到最值;如果极值是无穷多的,或者是数目极大的,就面临得到最值的困难。 因此实际上通过导数的方法来求最值,并没有最终解决问题,而只是在一定的条件下可以得到解决。所以本文讨论了如何利用微分学证明不等式。参考文献 7、 排序定理的推广及应用 ； 于鸿丽； 西安文理学院学报(自然科学版)； 2005年第

22、 3 期：排序定理在不等式的证明中有着广泛应用。 适当改变该定理的条件,可得到两个有用的结论,通过构造有序数列,可较为简洁地解决一些实际问题,为进一步研究不等式相关问题提供了理论依据。 其中排序定理为： 设a1 a23 an，b1 b2 bn；i1,i2,in百度文库 - 让每个人平等地提升自我与j1, j2,jn是1,2,n的任意两个排列，则ai1bj1 ainbjn a1b1anbnai1bj1ainbjn a1bnanb1参考文献 8、 微分在不等式证明中的应用 ；魏全顺；湖南第一师范学报；2006 年第 1期：利用函数的微分证明不等式的思想方法, 在诸多数学分析论著中有所提及, 是微分

23、的一个重要应用。 其主要方法有: 利用函数的单调性证明不等式; 利用函数的凸凹性证明不等式; 利用Lagrange 微分中值定理或泰勒公式证明不等式; 利用求函数极值的方法证明不等式。本文就以上的几种方法讨论了微分在不等式证明中的应用。参考文献 9、 以数列为载体的不等式证明的放缩技巧 ；孟利忠；数列与不等式是函数内容的后续知识板块，与函数一样，也都是历年高考的热点。由于在知识网络交汇点设计试题这一命题思想的不断成熟， 以数列为载体的不等式证明问题备受高考青睐。以数列为载体的不等式证法虽灵活多变，但极富有挑战性，只要我们善于思考、适时调整、不畏险阻、锲而不舍，其实成功并不遥远，这正体现了高考为

24、选拔优秀人才所精心布置的一个公平舞台。所以证明这类题通常要有一些较为“高超”的放缩技巧，本文介绍的基本途径有以下四种：放缩成递约数列乘积、放缩成相消数列和式、放缩成等差数列和式、放缩成等比数列和式。参考文献 10、 用高等数学证明不等式的若干种方法 ；叶殷，何志树；西昌师范高等专科学校学报；2004 年第 4 期：在讲授高等数学过程中，如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的现象，是高等院校在数学教学中需要探讨解决的问题之一。许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题。如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算

25、，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系。例如：不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用。但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，本文利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出几种证法：利用函数的单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用函数的极值证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用函数的凸性证明不等式、利用积分不等式证明不等式、利用定积分的定义证明不等式。参考文献 11、 运用概率方法证明某些数学不等式 ；翁耀明；数学的实践与认识； 2

26、0054百度文库 - 让每个人平等地提升自我年第 11 期：不等式的证明方法很多, 可以用初等数学的方法证明, 也可以用微积分的方法证明. 技巧也很灵活, 不少问题还不止用一种方法而需要用几种方法综合使用才能解决.而本文在证明某些不等式时, 抓住不等式的特点, 利用函数的凹凸性, 再结合概率中数学期望的不等式性质, 恰当地构造一个概率分布密度。本文涉及到的不等式有：詹森(Jensen) 不等式、李亚普若夫不等式。参考文献 12、 用向量证明代数不等式的新探索 ；张国棣；中学数学月刊； 2006 年第 3期：任何知识体系都不是孤立的, 它们相互联系相互渗透, 而不同体系的“知识交汇”更能有效地培

27、养学生的综合思维能力. 向量是中学阶段的重要内容, 目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”, 对用向量证明代数不等式重视不够, 缺少系统的研究. 一般认为用向量证明不等式就是用向量模的性质来思考问题，事实并非如此，所以本文对用向量证明代数不等式的方法，进行一些新的探索： （1）利用向量的几何特征构建不等式关系，因为利用向量的加法、减法所构成平行四边形的几何特征来思考问题，可使证明过程更直观、简捷。 （2）用向量有效转化代数不等式，因为用向量搭起代数不等式证明与其他知识体系的桥梁，可实现代数不等式的有效转化，降低思维难度。 （3）利用向量的数量积公式, 构建不等关系证题。因

28、为根据向量的数量积公式ab a b cos找出不等关系：ab a b或ab a b或当a与b同向时，ab a b；当a与b异向时，ab a b；当a与b共线时，ab a b后， 再利用这些性质来证明不等式, 既增加了向量应用的多样性,也将老问题赋予新的生命, 既是证明方法上的创新, 也可以使证明过程更加简捷、 清晰.一般地, 当题目中的“项”较少时, 比较常见的是构造二维、三维向量。参考文献 13、 用增量法证明不等式 ；任伟芳；高中数学教与学；2006 年：本文利用了以下几种方法来证明不等式：（3） 利用命题“若ab，则a b：一般地，当给出a0”b的关系式时，可以将a表示为a b，其中0为

29、增量。这样的代换称为和增量代换，它给出了不等式a,b的等量关系，从而应用恒等变形的手段进行某些不等式的运算，达到降低运算量、顺利解决问题的目的。若题设中出现关系式a5bc，则对用和式增量代换法具有导向性。百度文库 - 让每个人平等地提升自我（4） 利用命题“若ab0，则a b：当给出ab0的关系式时，可1”以将a表示为a b增量代换。1或b a01的形式，这样的代换称为积式参考文献 14、 含绝对值的不等式的证明策略 ；李记东；高中数学教与学；2006 年：含绝对值的不等式的证明是学习的难点，本文介绍了以下几种方法：（1） 配凑常数。此法先通过取特殊值，配凑常数，消去参变量，再运用绝对值不等式

30、进行放缩。（2） 消去参数。此法先将参数分离，然后利用其本身的取值范围及绝对值不等式的性质将其消去，从而转化为普通的不等式问题。（3） 代换特殊值。此法利用特殊值并借助待定系数法代换特殊值，沟通已知和未知两个函数之间的联系，从而达到证题的目的。（4） 代换系数。此法用已知函数的特殊值表示待证函数表达式的系数，再利用绝对值不等式的性质证明。参考文献 115、 解析不等式的若干问题 ；胡克；武汉大学出版社；2003 年：本书内容共分为五章，具体如下：第一章介绍基础关系式和 Holder 不等式的发展中有关的经典不等式。第二章建立了两个新的不等式，以弥补应用 Holder 不等式之不足，并使得许多重

31、要的不等式得以改进。第三章阐述了某些重要不等式的性质， 解决了长达 30 年之久的 Opial华罗庚积分不等式问题。第四章是各种 Hilbert 类型不等式的改进和推广，显示了第二章所建的两个不等式的作用。第五章介绍了凸函数的经典结果及近年来有关的新成果。6百度文库 - 让每个人平等地提升自我第三章第三章 证明不等式的方法证明不等式的方法不等式的证明方法相当有灵活性和技巧性，例如我们可以通过比较法、综合法、分析法、配方法、构造性证明方法、分解法、换元法、逐项比较法、放缩法等方法研究不等式；而在高等数学中，我们可以利用的方法更加具有灵活技巧。在学习了数学分析的基础上，我们可以利用典型的柯西不等式

32、的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。由此我们可以看到，不等式的的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁，而且不等式的证明有蕴涵着解题的技巧和灵活。所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义，不但要掌握初等数学中的各种不等式证明方法，更要掌握高等数学中的不等式的证明方法。3 31 1初等代

33、数中不等式的证明初等代数中不等式的证明3 31 11 1比较法比较法比较法的数学思想是把不等式左边的代数式减去右边的代数式，根据已知条件，研究这个差在实数范围内为正还是负，从而确定其大小。nn1 x1n1x2 x1x2例题：设x1,x2R则x1n x2。证明：当x1,x2R则xn1n x2x1n1x2 x1x2n1nn1x1n x1n1x2x2 x1x2n1 x1n1x1x2 x2x2x1n1x1 x2x1n1 x2 0不等式在R内恒成立。3 31 12 2分析法和综合法分析法和综合法7百度文库 - 让每个人平等地提升自我所谓分析法， 就是假定结论是正确的， 然后利用恒等变形及不等式的性质逐步

34、推演，如果能够得到一个已知它成立的不等式，而且推演的每一步骤都是可逆的，则这个不等式成立。对于较复杂的不等式的证明，多用这种方法。所谓综合法，它的着眼于在条件，即从已知条件出发，根据不等式的性质，逐步推证所要求的结论。例题1：设a,bR，求证abab且当且仅当a b时等号成立。2abab成立，2证明： （1）分析法要证只要证ab 2 ab成立，只须证a b2 ab 0成立，a,bRab2 ab a b2 0最后不等式显然成立，而其中每步推证都是可逆的，abab，显然仅当a b时，等号成立。2（2）综合法a,bR,则 a, b R于 是 有a b2 0（ 仅 当a b时 等 号 成 立 ）， 即

35、a b2 ab 0。abab。23 31 13 3反证法反证法反证法的数学思想是从否定的结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而证明原来的结论是正确的。例题：设a,b,c和x, y,z均为不等于0的实数，若az 2by cx 0,acb20,则xz y2 0。y2b200证明：设xz y2acb2acxz0则xz0,则acb2y20即b2y2acxz8百度文库 - 让每个人平等地提升自我由az 2by cx 0,有az cx 2byaz cx 4b2y2即a2z2 2acxz c2x2 4b2y22az cx 4b2y2acxz20与az cx 0矛盾2xz y2 03 31 14 4数学归纳法

36、数学归纳法已知条件均是在整数集或自然数集中，所证式子项数或因式数为无穷多。证明的难点是在n k 1时，关键是要充分利用n k以及第一步的结果。例题：若n为大于1的自然数，试证：1证明：当n 2时，11211231nn。2，原不等式成立。11231kk （1）k 1（2）设当n k时， 不等式成立， 即1当n k 1时，要证1由（1）知11123112311kk 111kk 1k 1k 1k 1只要证 k 1k 1即k k 11k 1也即k2k变形为kk20此式显然成立。2式成立，于是原不等式成立。3 31 15 5换元法换元法换元法的基本思想，是通过对所证不等式添设辅助元素,使原来的未知量(或

37、变量)变换成新的未知量(或变量) ,从而更容易达到证明的目的。此种方法证明不等式一般采取以下步骤:1认真分析不等式,合理换元;2证明换元后的不等式;3得证后,得出原不等式9百度文库 - 让每个人平等地提升自我成立。换元法可分为两大类。1、代数换元例1求证：3333 3333233。证法分析由于根指数为3 ,若采取两边三次方的办法,中间运算较繁。根据不等式左边的特点,考虑公式a3b3aba2abb2不妨设a 3333, b 3333于是只要证ab324即可。0,b0并且a3b3 6,ab,又证明：设a 3333, b 3333可见aa2b22ab故aba2abb2不等式两边同乘以ab20得aba

38、ba abb2aba3b3即3aba+b3a3b3故abab对上式两边同时加上a3b3即a3b33abab即ab34a3b3 24233即原不等式成立。24所以a b2、三角换元:例题：设x, yR,且x2 y21，求证：x22xy y22。证明：设x2 y2 u2则由题设知u 1并可设x ucos, y usin。于是x22xy y2u2cos22cossinsin2 u2cos2sin22u2sin24 x22xy y2u22 2。可见,对于冗长而复杂的不等式用代数法换元,可以使问题变得明显,简单。对于含有根式或带有绝对值符号的不等式,可用三角法换元,同样可以将难化易。3 31 16 6放

39、缩法放缩法放缩法的基本数学思想是根据不等式的传递，把原不等式中的和式（或积式）的某些项（或某些因式） ，换以较大或较小的数，从而证明原不等式成立。10百度文库 - 让每个人平等地提升自我135例题：设n为自然数，求证：2462n12n1。2n1证明：设p 1352462n1，则2n132522p 2222462n122n21232522214216212n122n1221232521335572n12n12n1 p12n112n12n12n1。2n1135即2463 31 17 7调整法调整法调整法常用于处理有多个变量的不等式问题。它的具体做法是：先暂时固定某些变量，而考察个别变量的变化结果，

40、然后再确定整个问题的结果。例题：设A,B,C是ABC的三个内角，求证：sin Asin BsinC 证明：若A B C 60，显然有sin Asin BsinC 3 3。23 3命题成立。2若A,B不全相等，则必有一个角大于60，另一个角小于60，不妨设A B C,A60C,令A1 60 ,C1 AC 60 ,B1 B则A1,B1,C10,180，ACACcos22A1 B1C1180,且sin AsinC 2sinACAC 120sin A1sinC1 sin60 sinAC 60 2sincos22注意到A60 ,CAC 12060，有0 2AC29011百度文库 - 让每个人平等地提升自

41、我ACcos2AC 120cos从而sin AsinC2sin A1sinC1这就表明，在保持三个角的和不变一条件下，通过对A,C的局部调整，可以使相应的正弦和增大。经过第一次调整， 如果A1,B1,C1仍不全相等， 即B1,C1不全等于60， 不妨设B1再令A2 A1 60 ,B2 60 ,C2 B1C160 60 ,则A2,B2,C20,180，A2 B2C2180且sinB1sinC1sinBsin AC 6060C1， 2sin 60 cos2sin 60AC B602 sin B2sinC2sin A1sin B1sinC1sin A2sin B2sinC2这样，经过两次的调整，三个

42、角A,B,C都可调整为60。这时有sin Asin BsinCsin A1sin B1sinC1sin A2sin B2sinC2 3sin 60 3 323 31 18 8构造法构造法构造法的基本数学思想，是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，使原题得以证出。构造的辅助元素是多种多样的，常用的有构造图形，构造函数，构造方程，构造等价命题，构造反例等。例题：设x0，求证：ln1 x1xx2。21x2121 x 证明： 令fx ln1 x xx， 则fx。 显然， 当x1 x1 x21时，0时，fx0，这就表明fx在1,内为增函数。因此，当xfxf0。注意到f0 0，有f

43、x0。01ln1 x xx22ln1 x1xx2。23 31 19 9利用已知的不等式证明利用已知的不等式证明12百度文库 - 让每个人平等地提升自我已知等式或不等式的运用， 从学习过程和掌握知识的层次上看， 可以分为五个层次：套着用、凑着用、逆着用、变着用和横着用。每个公式均可作各种变化，为了能在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进行各种变形、产生各种不同形式的新公式，同时还应注意它在其它分科中的应用，开拓应用的范围。例题：求证1352n1nn。12ab4证明：由ab 2 aba,b 0得ab 12n132n32n332n111212n141232n34122n334122n114两边

44、分别相乘得到132n12 n2n两边开方便得证。说明：这个例题的证明完全是借助于基本不等式ab 2 ab的变形，同时利用了需证明不等式的左边任一乘积均能找到另一乘积项，两者之和为恒定常数。3 31 11010 利用一元二次方程的判别式利用一元二次方程的判别式二次不等式的证明，有时可转化为二次方程的判别式来解决。例题：求证asecbtga2b2a证明：设y asecbtg为锐角y a 1tg2btg且yb0,为锐角0有y+btg=a 1+tg2a2b2tg22btga2 y2 0为锐角，tgR 4b2y24a2 y2a2b2 013百度文库 - 让每个人平等地提升自我y a2b2或y a2b2故

45、asecbtga2b2成立。3 31 11111 用几何特性或区域讨论用几何特性或区域讨论利用几何定理或借助几何图形可以直观地、简便地表达和解决问题。例题：求证重要不等式sin xxtgx0 x2证明：圆 O 是半径为 1 的单位圆，OA 是圆 O 的任一半径，作AOC x,过 A 作OA 的垂直线交 OC 于 B，显然SOAC成立。证明二次不等式、绝对值不等式、无理不等式时，可如同把二次不等式的求解转化为二次函数图象的讨论一样，也可以应用更一般的二次曲线来证明更广泛的不等式问题，或者利用不等式所表示的平面区域，讨论绝对值的符号，达到证明的目的。S扇形OAVC1SOAB即sin x21x21t

46、gx故原不等式23 31 11212 利用坐标和解析性利用坐标和解析性通过直角坐标系建立平面上每个点与一对有序实数之间的一一对应关系，从而把曲线与方程联系起来的数的问题。例题：设a,b,c为三角形的三边，S 为面积，求证a2b2c2 4 3S证明：建立直角坐标系设A、B、C 三点坐标分别为Am,0,Bm,0,Cp,q，则三边的关系式为：a2pmq2 p2q2m22pmb2pmq2 p2q2m22pmc2 4m2a2b2c2 2p2 2q26m2而22SABCm0111m01mqmq mq22pq1222222a b c 4 3S 2p 2q 6m 4 3mq 2p 2 q3m22 0故不等式成

47、立。14百度文库 - 让每个人平等地提升自我3 31 11313 利用复数利用复数复数及其模的性质z1 z2 z1 z2可作为不等式证明的尝试。例题：求证x24x5 42x x2 17证明：x24x5 42x x2x221x123令z1x2i,z21 x3i则z1 z2 14i 17，z1x221, z2x1232而z1 z2 z1 z2，故原不等式成立。3 31 11414 参数法参数法取参数时，使各未知量的数字部分取A 与未知量个数的商分的和为零。1例题：若x y z 1,求证x2 y2 z2。3A，而参数中全部字母部n111例题：令x t1, y t2,z t3，其中t1,t2,t3为实

48、数，且t1t2t3 0则333111x2 y2 z2t1t2t333312121222t1t12t2t2t3t39393931222t1t2t3t12t2t3 033x2 y2 z211，当x y z 时取等号。332223 31 11515 利用概率证明利用概率证明4sin2x 2例题：已知x0,，求证212sinx4证 明 ： 设 两 独 立 事 件pA B pA pB pAB sin xcos xsin xcos x 115A和B ， 且pAsinx, pBcosx， 则，即2sin xcosx 1sin xcosx百度文库 - 让每个人平等地提升自我12sin2x 12sinx而x0,

49、242sin x 0,cos x 0则4sin2x 2。12sinx43 31 11616 利用向量证明利用向量证明 11 例题：若x, yR，求证x y 4xy证明：令a 211 11 x,y ,b ,，则a2b2 a2b2x yxyxyab 1122x,y ,11 4由a2b2abxy2 11 得x y 4xy3 31 11717 面积法面积法将某些不等式证明问题转化为面积的问题，能够更加明显、简单。例题：求证：如果0 x1x22，那么tgx2tgx1x2。x1分析：已知中已给出两个角x1,x2，则可将这两角放于特殊图形中。证明：作RTABC，使ABX 90 ,BAC X2在 BC 上取一

50、点 D，使DAB X1以 A 为圆心，以 AD 为半径作圆弧交 AC 为圆心，已 AD 为半径作圆弧交 AC 于F，交 AB 延长线于 E，则有tgX2BCSABCSABC SACDtgX1BDSABCSABC1SACDSABD1S扇AEDS扇ADE1X2 X1 AD2X X1X212故所证不等式成立。121X1X1X1 AD223 31 11818 化整法化整法16百度文库 - 让每个人平等地提升自我在一类分式不等式的证明中，若把分式分裂成整数（或整式）部分和分式部分，并使几个分式的整数部分 。这样不等式的证明就转化为剩余部分分式的大小比较，而后者比前者简单多了。例题：若a b 0，求证ab