Lingo软件在数学建模竞赛中的应用word精品文档9页.pdf

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1、Lingo 软件在数学建模竞赛中的应用收稿日期 2010-06-20基金项目 福建交通职业技术学院科技发展基金(Ky1001)。数学建模(Mathematical Modeling)是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构的过程1。1 非线性规划模型历年全国大学生数学建模竞赛都需解决最优生产计划、最优分配最优设计、最优决策、最佳管理等较为复杂的非线性规划问题,模型由决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成,其计算量较大,可用 Lingo 软件求解。2006“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛 C 题3第二小题,

2、设易拉罐是一个正圆柱体,什么是它的最优设计?经测量得圆柱的上底厚度为a=0.036 cm、下底厚度为 c=0.040 cm、圆柱侧壁厚度为 b=0.012 cm?？悸且桌?罐设计美观性、便于把握以及材料节省等因素,于是建立目标规划模型如下:目标函数:minW=b2Rh+(a+c)R2约束条件:V=R23552R/h=0.618r218.56,h8.71R0,h0,a=0.036,b=0.012利用 Lingo8.0 编程如下:Model:第 1 页min=b*2*3.14159*R*h+(a+c)*3.14159*R2;!以上是目标函数,以下为约束条件;3.14159* R2 * h355;2

3、*R/h=0.618;3.14159*R2=18.56;h=8.71;R0;h0;a=0.036;c=0.040;b=0.012;EndLingo 以语句 Model 开始,以语句 End 结束,这两个语句单独成一行。语句分为集合定义部分、数据初始化部分、目标函数、约束条件部分,这几个部分的先后次序无关紧要。min 开头的语句表示求目标函数最小值。“!”开头的语句是注释语句,Lingo 不作运行,每条中间语句必须以“;”号作为结尾。注意乘号不能省略,语句不计大小写。运行 SOVLE,得部分结果如下:Local optimal solution found at iteration:1151Ob

4、jective value:5.157389VariableValueReduced CostB0.1200000E-01 0.000000R 3.268480 0.000000H 10.57760 0.000000A0.3600000E-01 0.000000C0.4000000E-01 0.000000第 2 页R2 5.907836 0.000000即底面半径为 3.268480,圆柱体高为 10.57760 时,用料体积为5.157389,此为最优设计。第三题亦可按此方法迎刃而解。上例充分体现Lingo 其简单易学、方便快捷的优越性。2 曲线拟合模型曲线拟合在众多领域中得到了广泛的应用

5、,将曲线拟合问题转化为数学规划模型,并使用 Lingo 软件来求解,该方法简便快捷,是实现曲线拟合的一个有效方法。2004年全国大学生数学建模竞赛C题(酒后驾车)中给出某人短时间内喝下两瓶啤酒后,间隔一定时间得到数据。以下建立无约束的非线性规划模型2。 间隔一定时间 t 测量他的血液中酒精含量 y(毫克/百毫升),得到数据如表 1:表 1 2004 年全国大学生数学建模竞赛 C 题(酒后驾车)数据时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量 306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量 38352825

6、18151210774题目要求结合给定数据建立饮酒后血液中酒精浓度的数学模型。通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中酒精浓度与时间的关系为:y=a1(e-a2t-e-a3t)求均方误差Q(a1,a2,a3)=ni=1a1(e-a2t-e-a3t)-yi2第 3 页取极小值的待定系数,即为最小二乘解。下面用 Lingo 软件求解,具体算法如下:MODEL:SETS:BAC/R1.R23/:T,Y;ENDSETSDATA:T=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;Y=30,68,75,82,8

7、2,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4;ENDDATAMIN=SUM(BAC:(A1*( EXP(-A2*T)-EXP(-A3*T)-Y) 2);END以上程序中,SETS和ENDSETS之间的语句是对集合作定义,在此所定义的 BAC 是包含 23 个成员的集合,T 和 Y 是 BAC 的两个属性,分别表示时间 t和血液中酒精浓度 y,它们都是含有 23个成员的一维数组。 DATA 和ENDDATA之间的语句是对 T 和 Y 的进行赋值,其中SUM 和EXP 是 Lingo 提供的内部函数,SUM 的作用是对某个集合的所有成员求

8、某个表达式的和,该函数需要两个参数,第一个参数为集合名称,指定对该集合的所有成员求和,此处第一个参数是 BAC,它有 23 个成员,则求和运算对这 23 个成员进行。第二个参数是一个表达式,表示求和运算对该表达式进行,两个参数之间用第 4 页“:”号隔开。如果有约束条件,可放在目标函数之后,此处没有约束条件,故目标函数之后即以 END 结束整个程序。点击 SOLVE,运行结果如下:Local optimal solution found at iteration: 98Objective value: 225.3417VariableValueReduced CostA1114.43230.3

9、477201E-08A20.18550140.000000A32.0079440.5661852E-07即:A1=114.4323,A2=0.1855014,A3=2.007944,目标函数最小值为225.3417。LINGO 求多元函数极小值时内部所采用的算法效率高、速度快、精度高。用于非线性曲线拟合时,对拟合函数的形式无任何限制,无需初始值,能准确地得到回归系数的最小二乘解,计算精度高,程序简洁。3 最小费用流模型运筹学的交通运输问题中,往往要求在完成运输任务的前提下,寻求一个使总运输费用最省的运输方案,这就是最小费用流问题。如果只考虑单位货物的运输费用,那么这个问题就变成最短路问题。模型

10、的传统求解迭代次数太多,比较复杂,而 matlab、mathmatica 等软件语法复杂不易编程,Lingo8.0 其内部语言为解决该类问题的强有力武器。2000年全国大学生数学建模竞赛B题“钢管的订购和运输”是一道离散优化问题。如图 1,有 7 家钢管生产厂 Si(i=1,2,7),提供钢管到一条拟铺设钢管的天然气输送主管道上的 15 个站点 Aj(j=1,2,15)。? 止第 5 页芸赏 ?公路和铁路运至铺设地点,图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原有公路,或者建有施工公路),空心圆点表示火车站。钢管运到站点后由各站点沿管道向两边铺设直至合拢。该题要求

11、制定钢管订购和运输的优化计划,使总费用最小。图 1 天然气输送主管道图欲解决该问题首先需确定从 Si至Aj 的最优路径,从而确定出钢管从 i地运往 j 地的最小运费,即求解最小费用流问题。根据该题的需要,不妨设从 Si 至 Aj 的钢管经过铁路后,一旦走公路,则不会再通过铁路运输。下以S2 为例,计算 S2 至 Aj 的最优路径。图 1 中 Bk/Lk(k=16,2,32)中表示S2 至沿铁路至火车站 Bk 的费用为 Lk。问题转化为求以 Si 为起点、Aj 为终点的赋权图的最短路径问题。由 Dijkstra 算法,运用 Lingo8.0 编程如下:MODEL:SETS:CITIES/1.33

12、/:F;ROADS(CITIES,CITIES)/1,2 2,3 2,16 3,4 3,17 4,5 4,18 5,6 5,19 6,7 6,20 7,8 7,21 7,228,9 8,23 9,10 9,24 10,11 10,25 11,12 11,26 12,13 12,27 13,14 13,2814,15 14,29 14,30 15,31 15,32 16,33 17,33 18,33 19,33 20,33 21,3322,33 23,33 24,33 25,33 26,33 27,33 28,33 29,33 30,33 31,33 32,33/:DENDSETSDATA:第

13、6 页D=10.4 30.1 0.3 75.0 0.2 60.6 60 19.4 1 20.5 0.5 20.1 1.0 3.168.0 1.2 48.0 4.2 30.0 7.0 22.0 1.0 21.0 1.0 42.0 6.2 50.0 11.0 3.02.0 2.0 205.0 190.0 125.0 110.0 95.0 85.0 85.0 70.0 110.0 135.0 145.0155.0 165.0 180.0 175.0 190.0 190.0;ENDDATAF( SIZE( CITIES) = 0;FOR( CITIES(i)|i#LT# SIZE(CITIES):F(

14、i) =MIN( ROADS(i, j): D(i, j) + F(j);END以上 SETS 开始至 ENDSETS 结束的内容是定义所有的边。“CITIES/1.33/:F;”是用集合 CITIES 定义一维变量 F,其格式为:“setname/memberlist(or1.n)/:attribute,.”,一个集合只需要给出维数(memberlist,用 1.n 表示或其他文字符号表示或用集合表示),后接具有该维数的变量(attribute)。 以上 DATA 开始至 ENDDATA 结束的内容是赋以上各边以相应的权。Dijkstra 算法的循环语句为:“FOR( CITIES( i)|

15、 i #LT# SIZE( CITIES): F( i) = MIN( ROADS( i,j): D( i, j) + F( j) );”,其中逻辑运算符“#LT#”表示小于。运行此程序,得部分结果如下:Feasible solution found at iteration:0VariableValueF( 1)215.7000F( 2)205.3000第 7 页即可求得单位钢管从 S2 到 Aj 的最小运费 F(j)(j=1,15)如下:表 2 单位钢管从 S2 到 Aj 的最小运费F(j)单位钢管的运输费 F(j)单位钢管的运输费F(1)215.7000F(2)205.3000F(3)1

16、90.2000F(4)171.6000F(5)111.0000F(6)95.50000F(7)86.00000F(8)71.20000F(9)114.2000F(10)142.0000F(11)146.0000F(12)156.0000F(13)171.2000F(14)178.0000F(15)192.0000同理可求得 S1,S3,S4,S5,S7,S7 各点到目的点的最优单位运费。经定量分析可得较合理的方案为:S1,S2,S3 负责往铺设点 A1 至 A9 供应钢管,S4、S5、S6、S7 负责往 A8 至 A15 供应钢管。Lingo 软件内置建模语言以较少的语句、直观的方式描述较大规

17、模的数学规划模型。其中,SUM 、For 和IF 等语句的应用,极大地方便了数学模型的建立。此外,由曲线拟合模型可得,可以将原先不属于优化问题的模型,利用 Lingo 软件内部建模语言进行求解,较之传统的求解方法更简单。在实际应用领域,Lingo 其线性、 非线性和整数规划求解程序已经被全世界数千万的公司用来做最大化利润和最小化成本的分析。Lingo 能在产品分销、成分混合、生产与个人事务安排、存货管理、生产线性规划、运第 8 页输、财务金融、投资分配、资本预算、混合排程、库存管理、资源配置等问题的数学建模中发挥巨大作用。希望以上资料对你有所帮助，附励志名言 3 条： ：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。2、“我欲”是贫穷的标志。事能常足，心常惬，人到无求品自高。3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。第 9 页