借助图形计算器探讨数列的通项公式及最值(新塘中学陈洲灼).pdf

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1、借助图形计算器初探递推数列性质借助图形计算器初探递推数列性质广州增城市新塘中学广州增城市新塘中学陈洲灼陈洲灼摘摘要：在高考中，数列是高中数学的主干知识板块之一，数列的通项公式是解决数列问要：在高考中，数列是高中数学的主干知识板块之一，数列的通项公式是解决数列问题的核心，图形计算器具有很强的直观性。本文主要借助图形计算器这工具研究递推数列题的核心，图形计算器具有很强的直观性。本文主要借助图形计算器这工具研究递推数列通项公式及性质问题，同时通过化归的数学思想，加深考生对目前常考的递推数列类型的通项公式及性质问题，同时通过化归的数学思想，加深考生对目前常考的递推数列类型的认识与理解，同时也作为学生数

2、学思维提高做奠基。认识与理解，同时也作为学生数学思维提高做奠基。关键词：图形计算器关键词：图形计算器直观直观递推数列递推数列 通项通项 单调单调数列的通项公式是数列的核心内容之一， 它如同函数中的解析式一样， 有了解析式便可研究其相关的性质。本问通过图形计算器研究高考常见的递推数列的通项公式、 单调性、最值等问题。下面谈谈相关的五种类型的初步处理方法。类型一研究：类型一研究：a an n 1 1 kakan n b b这种数列的递推关系式是我们经常见到的递推关系式，在课本的练习和高考中也经常出现。第第 1 1 种情况，当种情况，当k k 1 1时：时：例例 1 1：已知数列an满足a a1 1

3、 1 1, ,a an n 1 1 a an n 3 3 n n N N* *，求出前 5 项，并求出数列an 的通项公式。图形计算器的操作步骤：p8ew$w+3lyw1lNN1ldu图图 1-11-1图图 1-21-2图图 1-31-3通过计算器，我们可以很容易看到数列an的前 5 项的值分别为：1,4,7,10,13。从前 51项我们可以看到该数列是一个以1 为首项，公差为3 的等差数列，故a an n 3 3n n 2 2小结：递推关系式为a an n 1 1 kakan n b b的数列，当k k 1 1时，它是公差为 b 的等差数列。第第 2 2 种情况：当种情况：当k k 1 1时

4、，时，例例 2 2：已知数列an满足a11,an1 2an1(nN*).求数列an的通项公式；操作：Mp8录入如图 2-12-1 的递推关系，按y进入初始值的设置如图2-22-2，再du 可以查看表格的数值如图2-32-3。图图 2-12-1图图 2-22-2图图 2-32-3通过计算器我们很容易看到数列前几项的值，我们对每一项都加 1，可以得到这样一组数：2,4,8,16，它将是一组以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，故a an n 1 1 2 2 2 2n n 1 1，a an n 2 2n n 1 1 n n N N* *一般性研究：当k k 1 1时，我们通常使用的方法是构造法。设

5、a an n 1 1 p p k k( (a an n p p) )则a an n 1 1 kakan n kpkp p p，与原递推关系式比较系数有：kpkp p p b b p p b bk k 1 1数列 a an n b bb b a a 是首项为，公比为k k的等比数列， 1 1k k 1 1k k 1 1 2a an n b bb b n n 1 1b b n n 1 1b b a a1 1 k ka an n a a1 1 k k k k 1 1 k k 1 1 k k 1 1k k 1 1 从以上的推导过程可以拓展到参数k k、b b为复数时，递推公式a an n 1 1 ka

6、kan n b b中的结论仍然成立。类型二研究：类型二研究：a an n 1 1 kakan n f f ( (n n) )第第 1 1 种情况，当种情况，当k k 1 1时：时：a an n 1 1 a an n f f ( (n n) ) a an n 1 1 a an n f f ( (n n) )例 3：已知数列 a an n 满足a a1 1 2 2, ,a an n 1 1 a an n 1 1，求证：2 2 a an n 3 3n n( (n n 1 1) )操作步骤：操作步骤：p8$w+z1Nqjq+1klyN16l2ldu，可以得到如图 3-2 的各项值。图 3-1图 3-2

7、然后按u，可以观察该数列通项的点状图（图3-3），按Le，通过调整窗口的大小，可以得到如图 3-4图图 3-33-3图图 3-43-4由图象可以看出该数列通项的图象所有的点在 2 2, ,3 3 ，显然a an n 2 2, ,3 3 ，我们对形如a an n 1 1 a an n f f ( (n n) )的递推关系式的证明方法是使用累加法，证明如下：a an n 1 1 a an n 1 11 11 1 n n( (n n 1 1) )n nn n 1 11 11 11 11 11 1 ，a an n 1 1 a an n 2 2 a a2 2 a a1 1 1 1 n n 1 1n nn

8、 n 2 2n n 1 12 23a an n a an n 1 1 对这n n 1 1个式子求和得到：a an n a a1 1 1 1 1 1n n又a a1 1 2 2，a an n 3 3 1 11 1* *显然，0 0 1 1 n n N N故2 2 a an n 3 3n nn n 第 2 种情况：若f f ( (n n) ) q qn n时，a an n 1 1 kakan n q qn n q q 0 0, ,1 1 例 4：在数列an中，已知a a1 1 2 2, ,（1）求数列an的通项公式；（2）试求满足条件10001000 a an n 1000010000的n n值操

9、作：p8按照前面的操作步骤，录入a an n 1 1 6 6a an n 3 3n n 1 1（图 4-1） ，在第 2 个递推数列中进行$zwN3ql录入新数列 a an n 1 1 6 6a an n 3 3n n 1 1n n N N* * a an n 1 1 （图 4-2），然后按y进行a a1 1值的设置，观察n n 3 3 5 51010, , ,3 33 32020, ,3 34040, ,3 380805 5显然是首项为，公比3 33 3图中数据可以知道数列 b bn n 的数据为为 2 的等比数列。图 4-1图 4-2图 4-3一般性研究： 对于递推关系为a an n 1

10、1 kakan n q q q q 0 0, ,1 1 的数列，的数列， 等式两边同时除以等式两边同时除以q qn nn n 1 1得得a an n 1 1k ka an n1 1a an nk k1 1， 令， 则， 数列 b bn n 可归为b bn n 1 1 kbkbn n b b b b b b b b n n 1 1n nn nn n 1 1n nn nq qq qq qq qq qq qq q4类型进行研究。对于第（2）问，我们可以观察到满足10001000 a an n 1000010000的n n值为 5。类型三研究：类型三研究：a an n 1 1 f f ( (n n)

11、)a an n例 5：已知数列 a an n 中，a an n 1 1 及最值。操作：Mp8进行递推关系的录入，得到如图5-1，按y进行初始值的设置，按uy观察该数列通项的连续图 5-2，很显然，该数列的通项公式单调性是单调递减的，最大值为2，随着 n 的增大，数列的项值越来越接近0，但没有最小值。n n 1 1a an n且a a1 1 2 2，求数列的通项公式，并判断其单调性n n 3 3图 5-1图 5-2一般性方法探究： （1）当f f ( (n n) )是一个常数时，该递推关系式就是等比数列；（2）当f f ( (n n) )不是一个常数函数，我们可以使用累积法进行推导。类型四研究：

12、类型四研究：a an n 1 1 k k a an nm m a an nan1an，12an例 6：已知数列 a an n 中，已知a11,（1）求证数列1是等差数列；（2）求数列an的通项公式；an（3）若对一切n N，等式a1b1a2b2a3b3anbn 2恒成立，求数列bn的通项公式。操作：p8进入录入状态，把原有数据删除，然后通过操作：wN1+2wnl$z1Nwl得到图 6-1，按y进行初始值的设置，按u可以观察到数列 b bn n 是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列（图 6-2），5图 6-1图 6-2图 6-3按iq，可以把两列数据进行储存，然后按p4进入数据表格处理，按r

13、w就可以把原来的数据调用到数据表格中，如图6-3，我们就可以对两列数据做进一步地处理了。一般性研究：对于形如a an n 1 1 k k a an n的递推关系式，方法一我们可以考虑函数倒数关m m a an n系有1 1a an n 1 1 m m a an n1 1m m1 1，则可以归为a an n 1 1 kakan n b b型进行处理。方法二我们 k k a an nk kk ka an n可以把递推关系式写为maman n 1 1 a an n 1 1 a an n k k a an n，然后两边同时除以a an n 1 1 a an n，就可以归为a an n 1 1 kaka

14、n n b b类型进行处理。类型五研究：二次齐次线性递推数列类型五研究：二次齐次线性递推数列例 7：数列 a an n 中，a a1 1 1 1, ,a a2 2 2 2，a an n 2 2 a an n 1 1 a an n，求该数列通项的周期。操作：p8e进行类型的选择（如图7-1） ，然后录入递推关系式，按y进行初始值的设置，设置完后按lu，就可以观察数据的情况（如图7-27-2），由数据很容易得到该数列通项的周期为 4。6图 7-1图 7-2总之，求递推数列通项公式及性质的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法， 本文主要利用图形计算器的直观性研究常见题型的递推数列， 为我们的学习与探究数列性质提供一个有利的工具， 我们将可以更好地把图形计算器与数列结合得更加紧密，使数列的知识与方法可以学得更活，为高考的解题服务，真正做到游刃有余。参考文献：1劳建祥.递推数列求通项大观J.数学教学,2010(3):41-422高慧明.数列通项的求法在高考中的展示.J.试题与研究,2012,203徐成瑞.几类一阶递推数列的通项公式的求法J.安顺学院学报,2012,107