复变函数试卷及答案.pdf

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1、复变函数试卷及答案【篇一：复变函数考试试题与答案各种总结】xtxt一、一、 判断题（判断题（2020 分）：分）： 1. 1. 若若 f(z)f(z) 在在 z0z0 的某个邻域内可导，则函数的某个邻域内可导，则函数 f(z)f(z) 在在 z0z0 解析解析. ( )2. ( )2.有界有界整函数必在整个复平面为常数整函数必在整个复平面为常数. ( )3. ( )3.若若 zn zn收敛，则收敛，则 re znim zn re znim zn与与都收敛都收敛. ( ). ( ) 4. 4. 若若 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内解析，且内解析，且 f(z)?0 f(z)?0 ，则，

2、则 f(z)?cf(z)?c （常数）（常数）.( ).( ) 5. 5. 若函数若函数 f(z)f(z) 在在 z0z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数级数.( )6.( )6.若若 z0z0 是是 f(z)f(z) 的的 m m 阶零点，则阶零点，则 z0z0 是是 1/f(z)1/f(z) 的的 m m 阶极点阶极点. ( )7. ( )7.若若 z?z0 z?z0 limf(z) limf(z)存在且有限，则存在且有限，则 z0z0 是函数是函数 f(z)f(z) 的可去奇点的可去奇点. ( ). ( ) 8. 8. 若函数若函

3、数 f(z)f(z) 在是区域在是区域 d d 内的单叶函数，则内的单叶函数，则 f(z)?0(?z?d). ( )9.f(z)?0(?z?d). ( )9.若若 f(z)f(z)在区域在区域 d d 内解析内解析, ,则对则对 d d 内任一简单闭曲线内任一简单闭曲线 c c ? ? c c f(z)dz?0. f(z)dz?0. ( ) ( ) 10. 10. 若函数若函数 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内的某个圆内恒等于常数，则内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)f(z) 在区域在区域 d d内恒等于常数内恒等于常数. . （）（） 二二. . 填空题（填空题（2020 分）分

4、） dz dz ?_. ?_. （n n 为自然数）为自然数） 1 1、 ?|z?z0|?1(z?z)n ?|z?z0|?1(z?z)n 22sinz?cosz? _. 2. 22sinz?cosz? _. 2. 3. 3. 函数函数 sinzsinz的周期为的周期为_._. f(z)? f(z)? 4. 4. 设设 ? ? 1 1 z2?1 z2?1，则，则 f(z)f(z) 的孤立奇点有的孤立奇点有_._. n n ?nz ?nz n?0 n?0的收敛半径为的收敛半径为_._. 6. 6. 若函数若函数 f(z)f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是在整个平面上处处解析，则称它是_._.

5、 7. 7. 若若 n?n? limzn? limzn? z1?z2?.?zn z1?z2?.?zn ? ? n?n n?n ，则，则_._. lim lim ez ez res(n,0)? res(n,0)? z8._ z8._，其中，其中 n n 为自然数为自然数. .sinz9.sinz9.的孤立奇点为的孤立奇点为_ ._ . z z limf(z)?_zf(z) limf(z)?_zf(z)的极点，则的极点，则 z?z0z?z0 10. 10. 若若 0 0 是是. .三三. . 计算题（计算题（4040 分）：分）： 1. 1.设设 1 1 f(z)? f(z)? (z?1)(z?2

6、) (z?1)(z?2) ，求，求 f(z)f(z) 在在 d?z:0?|z|?1d?z:0?|z|?1 内的罗朗展式内的罗朗展式. . 1 1 dz.?|z|?1cosz2. dz.?|z|?1cosz2. 3?2?7?1 3?2?7?1 f(z)?d? f(z)?d? c?z3. c?z3. 设，其中设，其中 c?z:|z|?3c?z:|z|?3 ，试求，试求 f(1?i).f(1?i). w? w? 4. 4.求复数求复数 z?1 z?1 z?1 z?1的实部与虚部的实部与虚部. .四四. .证明题证明题.(20.(20分分) 1.) 1. 函数为常数函数为常数. 2. 2. 试证试证:

7、 f(z)?: f(z)? f(z) f(z) 在区域在区域 d d 内解析内解析. .证明：如果证明：如果|f(z)|f(z)|在在 d d 内为常数，那么它在内为常数，那么它在 d d 内内在割去线段在割去线段 0?rez?10?rez?1 的的 z z 平面内能分出两个单值解析分支平面内能分出两个单值解析分支, ,并求出支割线并求出支割线 0?rez?10?rez?1 上岸取正值的那支在上岸取正值的那支在 z?1z?1 的值的值. .复变函数考试试题（一）参考答案复变函数考试试题（一）参考答案一一 判断题判断题 ?2?in?11. ? ?2?in?11. ?；2. 12. 1 ；3. 2

8、k?3. 2k? ，(k?z)(k?z)；4. z?i4. z?i ； 5. 1 5. 1 0n?1? 0n?1? 6. 6.整函数；整函数；7. ?7. ? ；8.8.三计算题三计算题. . 1. 1.解解 因为因为 0?z?1,0?z?1, 所以所以 0?z?10?z?1 ? ? 1?zn111n 1?zn111n ?z?(). f(z)? ?z?(). f(z)? 2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0 2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0 2 2 1 1； 9. 0 9. 0； 10. ?. 10. ?. (n?1)! (n?1)!2.2.解解 因为因为

9、z? z? resf(z)?lim resf(z)?lim z? z? ? ? 2 2 ? ? 2 2 z? z? ? ? 2 2 ?lim1?1, coszz?sinzz? ?lim1?1, coszz?sinzz? ? ? 2 2 resf(z)?lim resf(z)?lim z? z? ? ? 2 2 z? z? ?2 ?2 ?lim1?1. coszz?sinz ?lim1?1. coszz?sinz所以所以 1 1 sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re?z?z? sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re?z?z? 2 2 2 2 2

10、2 3. 3.解解 令令?(?)?3?7?1,?(?)?3?7?1, 则它在则它在 z z 平面解析平面解析, ,由柯西公式有在由柯西公式有在 z?3z?3 内内, , f(z)? f(z)? ?(?) ?(?) ?c?z?2?i?(z). ?c?z?2?i?(z).所以所以 f?(1?i)?2?i?(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4.f?(1?i)?2?i?(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4.解解 令令z?a?bi,z?a?bi, 则则 w? w? z?122a(?1?bi)2a(?1)b2 z?122a(?1?bi)2a(?1

11、)b2 . 2?1?1?122222 . 2?1?1?122222 z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b , . )?1?im()? , . )?1?im()? z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2 z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故故 re( re(四四. .证明题证明题. . 1. 1.证明证明 设在设在 d d 内内 f(z)?c.f(z)?c. 令令 f(z)?u?iv,f(z)?u?iv,则则 f(z)?u2?v2?c2.f(z

12、)?u2?v2?c2. 2 2 ?uux?vvx?0 ?uux?vvx?0两边分别对两边分别对 x,yx,y求偏导数求偏导数, ,得得? ? ?uuy?vvy?0 ?uuy?vvy?0 (1)(2) (1)(2)因为函数在因为函数在 d d 内解析内解析, ,所以所以 ux?vy,uy?vx.ux?vy,uy?vx. 代入代入 (2) (2) 则上述方程组则上述方程组变为变为 ?uux?vvx?022 ?uux?vvx?022 . .消去消去 uxux 得得, (u?v)vx?0. ?, (u?v)vx?0. ? ?vux?uvx?0 ?vux?uvx?0 1) 1)若若 u?v?0,u?v?

13、0, 则则 f(z)?0 f(z)?0 为常数为常数. . 2) 2)若若 vx?0,vx?0, 由方程由方程 (1) (2) (1) (2) 及及 c.?r. c.?r. 方程有方程有 ux?0, uy?0, vy?0.ux?0, uy?0, vy?0.所以所以u?c1,v?c2. (c1,c2u?c1,v?c2. (c1,c2为常数为常数).). 2 2 2 2所以所以 f(z)?c1?ic2f(z)?c1?ic2为常数为常数. 2. 2.证明证明 f(z)?f(z)?的支点为的支点为 z?0,1.z?0,1.于是割去线段于是割去线段 0?rez?10?rez?1 的的 z z 平面内变点

14、就平面内变点就不可能单绕不可能单绕 0 0 或或 1 1 转一周转一周, ,故能分出两个单值解析分支故能分出两个单值解析分支. .由于当由于当 z z 从支割线上岸一点出发从支割线上岸一点出发, , 连续变动到连续变动到 z?0,1z?0,1 时时, ,只有只有 z z 的幅的幅角增加角增加?.?.所以所以 f(z)? f(z)? 的幅角共增加的幅角共增加 ? ? . .由已知所取分支在支割线上岸取正值由已知所取分支在支割线上岸取正值, ,于是可认为该分于是可认为该分 2 2 ?i?2 ?i?2支在上岸之幅角为支在上岸之幅角为 0,0,因而此分支在因而此分支在 z?1z?1 的幅角为的幅角为,

15、 ,故故 f(?1)?.f(?1)?. 2 2复变函数考试试题（二）复变函数考试试题（二）一一. .判断题判断题. . （2020 分）分） 1. 1.若函数若函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在在 d d 内连续，则内连续，则 u(x,y)u(x,y) 与与 v(x,y)v(x,y) 都在都在 d d内连续内连续. ( ). ( ) 2. cos z 2. cos z 与与 sin zsin z在复平面内有界在复平面内有界.( ) 3.( ) 3. 若函数若函数 f(z)f(z) 在在 z0z0 解析，则解析，则f(z)f(z) 在在 z0z0

16、 连续连续. ( ) 4. ( ) 4.有界整函数必为常数有界整函数必为常数. ( )5. ( )5. 如如 z0z0 是函数是函数 f(z)f(z) 的的本性奇点，则本性奇点，则 limf(z)limf(z) 一定不存在一定不存在. ( ). ( ) z?z0 z?z0 6. 6.若函数若函数 f(z)f(z) 在在 z0z0 可导，则可导，则 f(z)f(z) 在在 z0z0 解析解析. ( )7. ( )7.若若 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内内解析解析, ,则对则对 d d 内任一简单闭曲线内任一简单闭曲线 c?f(z)dz?0.c?f(z)dz?0. c c ( ) (

17、) 8. 8.若数列若数列znzn收敛，则收敛，则reznrezn与与imznimzn都收敛都收敛. ( ) 9. ( ) 9.若若 f(z)f(z) 在区域在区域d d 内解析，则内解析，则|f(z)|f(z)|也在也在 d d 内解析内解析. ( ). ( ) 111 111 10. 10.存在一个在零点解析的函数存在一个在零点解析的函数 f(z)f(z) 使使 f()?0f()?0且且 f()?,n?1,2,.f()?,n?1,2,. n?12n2n n?12n2n ( ) ( )二二. . 填空题填空题. (20. (20 分分) ) 1. 1.设设 z?iz?i，则，则|z|?_,a

18、rgz?_,?_|z|?_,argz?_,?_ z?1?i z?1?i 2. 2. 设设 f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?cf(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c ，则，则limf(z)?_.limf(z)?_. 3. 3. dz dz ?|z?z0|?1(z?z0)n?_. ?|z?z0|?1(z?z0)n?_.（n n 为自然数）为自然数）4.4. 幂级数幂级数?nzn?nzn 的收敛半径为的收敛半径为_ ._ . n?0 n?0 ? ? 5. 5.若若 z0z0 是是 f(z)f(z) 的的 m m 阶零点且

19、阶零点且 m0m0 ，则，则 z0z0 是是 f(z)f(z) 的的_ 零点零点. 6. 6.函数函数 ezez 的周期为的周期为_._. 7. 7.方程方程 2z5?z3?3z?8?02z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为在单位圆内的零点个数为_. 8._. 8. 设设f(z)?f(z)? 1 1，则，则 f(z)f(z) 的孤立奇点有的孤立奇点有_. 2_. 2 1?z 1?z 9. 9.函数函数 f(z)?|z|f(z)?|z|的不解析点之集为的不解析点之集为_._. z?1 z?1 10. res(,1)?_. 4 10. res(,1)?_. 4 z z三三. .计算题计算

20、题. (40. (40 分分) ) 3 3 sin(2z) sin(2z) 的幂级数展开式的幂级数展开式. 1. 1.求函数求函数 2. 2.在复平面上取上半虚轴作割线在复平面上取上半虚轴作割线. .试在所得的区域内取定函数试在所得的区域内取定函数 z z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点右沿的点 z z ?i ?i处的值处的值. . ?|z|dz ?|z|dz ，积分路径为（，积分路径为（1 1）单位圆（）单位圆（|z|?1|z|?1 ） ?ii ?ii 3. 3.计算积分：计算积分：i i的右半圆的右

21、半圆. . 4. 4.求求 sinz sinz z?2 z?2 (z?)2 (z?)2 2 2 dz dz . .四四. .证明题证明题. (20. (20 分分) ) 1. 1.设函数设函数 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内解析，试证：内解析，试证：f(z)f(z) 在在 d d 内为常数的充要条内为常数的充要条件是件是 f(z)f(z) 在在 d d 内解析内解析. . 2. 2.试用儒歇定理证明代数基本定理试用儒歇定理证明代数基本定理. .复变函数考试试题（二）参考答案复变函数考试试题（二）参考答案一一. .判断题判断题. .【篇二：复变函数试题与答案】 一、一、 选择题选择题

22、 1 1当当 z?1?iz?1?i 时，时，z100?z75?z50z100?z75?z50的值等于（的值等于（ ） 1?i 1?i（a a）i i（b b）?i?i（c c）1 1 （d d）?1?1 2 2设复数设复数 z z 满足满足 arc(z?2)?arc(z?2)? 3 3，arc(z?2)?5?arc(z?2)?5?，那么，那么 z?z?（ ） 6 6 1331?i 1331?i （d d）?i 2222?i 2222（a a）?1?3i?1?3i （b b）? ? 3 3复数复数 z?tan?i(3?iz?tan?i(3?i （c c）?)?) 的三角表示式是（的三角表示式是（

23、 ） 2 2 ?)?i?) ?)?i?) （b b）sec?sec? （a a）sec22?3?3?)?i?) 22sec22?3?3?)?i?) 22 ? ?（c c）?sec3?3?)?i?)?sec3?3?)?i?) （d d）?sec?)?i?) 2222?sec?)?i?) 2222 224 224若若 z z 为非零复数，则为非零复数，则 z?z?与与 2z2z 的关系是（的关系是（ ） 2222 2222（a a）z?2zz?2z（b b）z?2zz?2z 22 22（c c）z?2zz?2z（d d）不能比较大小）不能比较大小设设 x,yx,y为实数，则动点为实数，则动点(x,

24、y)z1?x?yi,z2?x?yi(x,y)z1?x?yi,z2?x?yi且有且有 z1?z2?12z1?z2?12 ，的轨迹是（的轨迹是（ ）（a a）圆）圆 （b b）椭圆）椭圆 （c c）双曲线（）双曲线（d d）抛物线）抛物线 一个向量顺时针一个向量顺时针旋转旋转?3?3，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为 1?3i 1?3i ，则原向量对应的复数是（，则原向量对应的复数是（ ）（a a）2 2（b b）1?i1?i （c c）3?i3?i （d d）3?i3?i 1 1使得使得 z2?zz2?z 成立的复数成立的复数 z z

25、 是（是（ ） 2 2（a a）不存在的（）不存在的（b b）唯一的）唯一的 （c c）纯虚数）纯虚数 （d d）实数）实数设设 z z 为复数，则方程为复数，则方程 z?2?iz?2?i 的解是（的解是（ ）（a a）?3333?i?3333?i （b b）?i?i（c c）?i?i（d d）?i 4444?i 4444满足不等式满足不等式 z?i?2z?i?2 的所有点的所有点 z z 构成的集合是（构成的集合是（ ） z?i z?i（a a）有界区域）有界区域 （b b）无界区域）无界区域 （c c）有界闭区域）有界闭区域 （d d）无界闭区）无界闭区域域 10 10方程方程 z?2?3

26、i?2z?2?3i?2 所代表的曲线是（所代表的曲线是（ ）（a a）中心为）中心为 2?3i2?3i，半径为，半径为 2 2 的圆周的圆周 （b b）中心为）中心为?2?3i?2?3i，半径为，半径为的圆周的圆周（c c）中心为）中心为?2?3i?2?3i，半径为，半径为 2 2 的圆周的圆周 （d d）中心为）中心为 2?3i2?3i，半径为，半径为的圆周的圆周 11 11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（a a）z?1?2z?1?2 （b b）z?3?z?3?4 z?2z?3?z?3?4 z?2 z?a?1(a?1) z?a?1(a?1)

27、（d d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?azz?a?z?a?c?0(c?0) 1?az （c c） 12 12设设 f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i, ，则，则 f(z1?z2f(z1?z2 ）（a a）?4?4i?4?4i（b b）4?4i4?4i（c c）4?4i4?4i（d d）?4?4i?4?4i 13 13limim(z)?im(z0)limim(z)?im(z0) （ ） x?x0z?z0 x?x0z?z0（a a）等于）等于 i i （b b）等于）等于?i?i（c c）等于）等于 0 0（d d）不存在）不存在

28、14 14函数函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点在点 z0?x0?iy0z0?x0?iy0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是（ ）（a a）u(x,y)u(x,y) 在在(x0,y0)(x0,y0) 处连续（处连续（b b）v(x,y)v(x,y) 在在(x0,y0)(x0,y0) 处连续处连续（c c）u(x,y)u(x,y) 和和 v(x,y)v(x,y) 在在(x0,y0)(x0,y0) 处连续（处连续（d d）u(x,y)?v(x,y)u(x,y)?v(x,y) 在在(x0,y0)(x0,y0)处连续处连续 2 2z2?z?115

29、z2?z?115 设设 z?cz?c 且且 z?1z?1，则函数，则函数 f(z)?f(z)? 的最小值为（的最小值为（ ） z z（a a）?3?3 （b b）?2?2（c c）?1?1 （d d）1 1二、填空题二、填空题 1 1设设 z?(1?i)(2?i)(3?i)z?(1?i)(2?i)(3?i)，则，则 z? (3?i)(2?i)z? (3?i)(2?i) 2 2设设 z?(2?3i)(?2?i)z?(2?3i)(?2?i) ，则，则 argz?argz? 3 3设设 z?,arg(z?i)?3?z?,arg(z?i)?3? ，则，则 z? 4z? 4 (cos5?isin5?)2

30、 (cos5?isin5?)2 4 4复数的指数表示式为复数的指数表示式为 2(cos3?isin3?) 2(cos3?isin3?) 5 5以方程以方程 z?7?iz?7?i 的根的对应点为顶点的多边形的面积为的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等不等式式 z?2?z?2?5z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部所表示的区域是曲线的内部 6 6方程方程 2z?1?i?12z?1?i?1 所表示曲线的直角坐标方程为所表示曲线的直角坐标方程为 2?(1?i)z2?(1?i)z方程方程 z?1?2i?z?2?iz?1?2i?z?2?i 所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平所表示的曲线是连续点

31、和的线段的垂直平分线分线 对于映射对于映射? 2i22 2i22 ，圆周，圆周 x?(y?1)?1x?(y?1)?1 的像曲线为的像曲线为 z410 z410lim(1?z?2z)? z?1?ilim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数三、若复数 z z 满足满足 z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求，试求 z?2z?2 的取值范围的取值范围四、设四、设 a?0a?0 ，在复数集，在复数集 c c 中解方程中解方程 z2?2z?a.z2?2z?a.五、设复数五、设复数 z?iz?i，试证，试证 z z 是实数的充要条件为是实数的充要条件为

32、z?1z?1 或或 im(z)?0.im(z)?0.21?z21?z 3 3六、对于映射六、对于映射?11(z?)?11(z?)，求出圆周，求出圆周 z?4z?4 的像的像. 2z. 2z七、试证七、试证.z1?0(z2?0).z1?0(z2?0)的充要条件为的充要条件为 z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2 ； z2 z2 z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n) z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n)的充要条件为的充要条件为 z2 z2. . z1?z2?zn?z1?z2?zn. z1?z2?zn?z1?z2?zn.八、若八、若 limf(z)?a?0li

33、mf(z)?a?0 ，则存在，则存在?0?0 ，使得当，使得当 0?z?z0?0?z?z0? 时有时有f(z)?x?x01a. 2f(z)?x?x01a. 2九、设九、设 z?x?iyz?x?iy，试证，试证 x?yx?y 2?z?x?y. 2?z?x?y.十、设十、设 z?x?iyz?x?iy，试讨论下列函数的连续，试讨论下列函数的连续性：性： ?2xy,z?0?1.f(z)?x2?y2 ?0,z?0? ?2xy,z?0?1.f(z)?x2?y2 ?0,z?0? ?x3y?,z?02.f(z)?x2?y2. ?x3y?,z?02.f(z)?x2?y2. ?0,z?0? ?0,z?0?第二章解

34、析函数第二章解析函数一、选择题：一、选择题： 1 1函数函数 f(z)?3zf(z)?3z在点在点 z?0z?0 处是处是( )( )（a a）解析的（）解析的（b b）可导的）可导的（c c）不可导的）不可导的 （d d）既不解析也不可导）既不解析也不可导 2 2函数函数 f(z)f(z) 在点在点 z z 可导是可导是 f(z)f(z) 在点在点 z z 解析的解析的( )( ) 4 2 4 2（a a）充分不必要条件）充分不必要条件 （b b）必要不充分条件）必要不充分条件（c c）充分必要条件（）充分必要条件（d d）既非充分条件也非必要条件）既非充分条件也非必要条件 3 3下列命题中

35、，正确的是下列命题中，正确的是( )( )（a a）设）设 x,yx,y为实数，则为实数，则 cos(x?iy)?1cos(x?iy)?1（b b）若）若 z0z0 是函数是函数 f(z)f(z) 的奇点，则的奇点，则 f(z)f(z) 在点在点 z0z0 不可导不可导（c c）若）若 u,vu,v在区域在区域 d d 内满足柯西内满足柯西- -黎曼方程，则黎曼方程，则 f(z)?u?ivf(z)?u?iv在在 d d 内解内解析析（d d）若）若 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内解析，则在内解析，则在 d d 内也解析内也解析 4 4下列函数中，为解析函数的是下列函数中，为解析函数

36、的是( )( )（a a）x2?y2?2xyix2?y2?2xyi （b b）x2?xyix2?xyi（c c）2(x?1)y?i(y2?z?x22(x?1)y?i(y2?z?x2 0?2x) 0?2x)（d d）x3?iy3x3?iy3 5 5函数函数 f(z)?z2im(z)f(z)?z2im(z) 在处的导数在处的导数( )( )（a a）等于）等于 0 0 （b b）等于）等于 1 1 （c c）等于）等于?1?1（d d）不存在）不存在 6 6若函数若函数 f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2) 在复平面内处处解析

37、，那在复平面内处处解析，那么实常数么实常数 a?( )a?( )（a a）0 0（b b）1 1（c c）2 2（d d）?2?2 7 7如果如果 f?(z)f?(z) 在单位圆在单位圆 z?1z?1 内处处为零，且内处处为零，且 f(0)?1f(0)?1，那么在，那么在 z?1z?1内内 f(z)?( )f(z)?( )（a a）0 0（b b）1 1（c c）?1?1（d d）任意常数）任意常数 8 8设函数设函数 f(z)f(z) 在区域在区域 d d 内有定义，则下列命题中，正确的是内有定义，则下列命题中，正确的是（a a）若）若 f(z)f(z) 在在 d d 内是一常数，则内是一常

38、数，则 f(z)f(z) 在在 d d 内是一常数内是一常数（b b）若）若 re(f(z)re(f(z)在在 d d 内是一常数，则内是一常数，则 f(z)f(z) 在在 d d 内是一常数内是一常数（c c）若）若 f(z)f(z) 与与 f(z)f(z) 在在 d d 内解析，则内解析，则 f(z)f(z) 在在 d d 内是一常数内是一常数（d d）若）若 argf(z)argf(z) 在在 d d 内是一常数，则内是一常数，则 f(z)f(z) 在在 d d 内是一常数内是一常数 9 9设设 f(z)?x2?iy2f(z)?x2?iy2 ，则，则 f?(1?i)?( )f?(1?i)

39、?( ) 5 5【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt?z2ss=txt?z2 ?,z?0 ?,z?0 1 1 设设 f?z?zf?z?z ，则，则 f?z?f?z?的连续点集合为（的连续点集合为（ ）。）。 ?0,z?0? ?0,z?0?（a a）单连通区域）单连通区域 （b b）多连通区域）多连通区域 （c c）开集非区域）开集非区域 （d d）闭集非）闭集非闭区域闭区域 2 2 设设 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，那么，那么 u(x,y)u(x,y) 与与 v(x,y)v(x,y) 在点在点?x0,y0?x0,y0? 可微可微是

40、是 f?z?f?z?在点在点 z0?x0?iy0z0?x0?iy0 可微的（可微的（ ）。）。 ?a? ?a?充分但非必要条件充分但非必要条件 ?c? ?c?充分必要条件充分必要条件 3 3 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（ ）。）。 ?b? ?b?必要但非充分条件必要但非充分条件 ?d? ?d?既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件 ,?0?a? ,?0?a?如果无穷远点如果无穷远点? ?是是 f?z?f?z?的可去奇点的可去奇点, , 那么那么 res?f?z?res?f?z? dz, dz, 则则?f?f?在在 z?b?z?b? 若若 f?z?f?z?在区域内任一点在区

41、域内任一点 0 0 的邻域内展开成泰勒级的邻域内展开成泰勒级数数 c c幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.?ez?i.?ez?i (z)? (z)? 映射为单位圆映射为单位圆?1.?d?1.?d? 函数函数?z?z 将带形域将带形域 0?im0?im e?i e?i 4 4 设设 c c 是是 z?1?i?tz?1?i?t，t t从从 1 1 到到 2 2 的线段，则的线段，则 ?a? ?a?。 ?argzdz ?argzdz（ ） c c内解析内解析 d.d. ? ? 4 4 ?b? ?b? ? ? 4 4 i i ?c?1?i? ?c?1?i? 4 4

42、z?0 z?0 ? ? ?d?1?i ?d?1?i 5 5 设设 f?z?f?z?在在 0?z?10?z?1 内解析且内解析且 limzf?z?1limzf?z?1，那么，那么 resf?z?,0?resf?z?,0?（ ）。）。 ?a?2?i ?a?2?i ? ? ?b?2 ?b?2 i i c1?d c1?d 1 1二、填空题（二、填空题（1515 分，每空分，每空 3 3 分）分） 1 1ln?1?i?ln?1?i?的主值为。的主值为。 2 2函数函数 f(z)=zre?z?+im?z?f(z)=zre?z?+im?z? 仅在点仅在点 z=z= 处可导。处可导。 ? ? z?n?2? z

43、?n?2? 3 3罗朗级数的罗朗级数的?1?11?1?11?收敛域为收敛域为 。 z?33?n?1?n?1 z?33?n?1?n?1 11 11 4 4 映射映射 w?w? ，将圆域，将圆域 z?1?1z?1?1 映射为映射为 。5 5 ? ?。 zcoszz?1 zcoszz?1 n n ? ? n n n n三三(10(10分分) )求解析函数求解析函数 f(z)=u+ivf(z)=u+iv ，已知，已知 u?x?y?xy,f(i)?1?iu?x?y?xy,f(i)?1?i。四四(20(20分分) )求下列积分的值求下列积分的值 22 22应用数理统计应用数理统计 试题试题 第第 1 1页

44、页 共共 3 3页页 1 1 z?4 z?4 ?z?z?1? ?z?z?1? 2 2 ez ez 2 2 dz2 dz2? ? ? ? xsinx xsinx ?a?0? 2 ?a?0? 2 x?a x?a五五(15(15分分) )若函数若函数?z?z? 在点在点 z0z0 解析，试分析在下列情形：解析，试分析在下列情形：1 1z0z0为函数为函数 f?z?f?z?的的 m m 阶零点；阶零点； 2 2z0z0 为函数为函数 f?z?f?z?的的 m m 阶极点；求阶极点；求res?z?res?z? ? ? f?z? f?z? ,z0? ,z0? 。 fz? fz? ez ez六（六（1515

45、 分）写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛分）写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。范围。 cosz cosz七（七（1010 分）求函数分）求函数 f?t?1?tu?t?3?t?sin2tf?t?1?tu?t?3?t?sin2t傅氏变换。傅氏变换。 三、三、单项选择题（单项选择题（1515 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） 1 1a a。2 2 b b。3 3 a a。4 4 c c。5 5c c。 四、填空题（四、填空题（1515 分，每空分，每空 3 3 分）分） 1 12 2 ? ? 4 4 i i 。2 2 ?i ?i。3 3 2?z?3?3 2?z?3

46、?3 。4 4 半平面半平面 re?w?re?w? 1 1 r r 。5 50 0。 2 2三三(10(10分分) )解解: :容易验证容易验证 u u 是全平面的调和函数。利用是全平面的调和函数。利用 c-rc-r条件，先条件，先求出求出 v v 的两个偏导数。的两个偏导数。 ?v?u?v?u?2y?x,?2x?y?x?y?y?x ?v?u?v?u?2y?x,?2x?y?x?y?y?x则则 v(x,y)?v(x,y)? ?x,y? ?x,y? ?0,0? ?0,0? ?2y?x?dx?2x?y?dy?c ?2y?x?dx?2x?y?dy?c y0 y0 ?x?dx?2x?y?dy?c11 ?

47、x?dx?2x?y?dy?c11 ?x2?2xy?y2?c ?x2?2xy?y2?c 22 22四四(20(20分分) )求下列积分的值求下列积分的值 1 12?3?e?i22?3?e?i2 这里这里 m=2m=2 ，n=1n=1 ，m-m-n=1n=1 ，r(z)r(z) 在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的 ? ? x x ? ?因此因此? ? ? ? ? ? xsinx1?x1?aix xsinx1?x1?aix dx?im(edx)?e.2222?x?a2x?a2 dx?im(edx)?e.2222?x?a2x?a2 zeex?aixiz

48、 zeex?aixiz z?iaz?iax2?a22 z?iaz?iax2?a22 iz?a iz?a五五(15(15分分) )应用数理统计应用数理统计 试题试题 第第 2 2页页 共共 3 3页页解解: :函数函数?z?z? 在点在点 z0z0 解析等价于在解析等价于在 z0z0 的一个邻域内的一个邻域内 ?z?z?z0?z?z0? ?z?z?z0?z?z0? ?n?z0? ?n?z0? n! n! ?z?z0? ?z?z0? n n ? ? m m (1)z0 (1)z0 为为 f?z?f?z?的的 m m 阶零点等价于在阶零点等价于在 z0z0 的一个邻域内的一个邻域内f?z?z?z0?

49、z?f?z?z?z0?z?其中其中?z?z? 在点在点 z0z0 解析解析,?z?0,?z?0,于是在于是在 z0z0 的去心的去心领域领域f?z?m?z?z?m?z0?z?n?1?m?z?z?z?f?z?m?z?z?m?z0?z?n?1?m?z?z?z?m?z?z?z?0?m?z?z?z?0? fzz?z0?zz?z0n!?z?n?1?f?z? fzz?z0?zz?z0n!?z?n?1?f?z?由此可由此可知知,res?z?,z0?m?z0?,res?z?,z0?m?z0? fz? fz?六六 ?2? ?2?与上面类似与上面类似 res?z?res?z? ? ? z2 z2 ? ? f?z?

50、 f?z? ,z0?m?z0?fz? ,z0?m?z0?fz? e? e?距原点最近的奇点距原点最近的奇点?,?,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径径,cosz2?11z2,cosz2?11z2即即 r=,r=, 收敛范围为收敛范围为 z?.z?.由由 e?1?z2?z4?z2n?z?,e?1?z2?z4?z2n?z?, 222!n! 222!n! 函数函数 ?1?z2n?z? ?1?z2n?z? 及幂级数的除法及幂级数的除法, , 可设可设 1111 cosz?1?z2?z4?2!4!2n! cosz?1?z2?z4?2!4!2n! ez? ez? ?