122基本初等函数的公式及导数的运算法则.ppt

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1、基本初等函数的公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式 ; 0,. 1xfcxf则若 ;,. 21*nnnxxfNnxxf则若 ;cos,sin. 3xxfxxf则若 ;sin,cos. 4xxfxxf则若 ;ln,. 5aaxfaxfxx则若 ;e,e. 6xxxfxf则若 ;ln1,log. 7axxfxxfa则若 ;1,ln. 8xxfxxf则若例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t,其中 为t=0时的物价.假定某种商品的 =1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精

2、确到0.01)?解:p(t)=1.05tln1.05,p(10)=1.0510ln1.050.08(元/年).因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.0P0P思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?当p0=5时,p(t)=51.05t求p关于t导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.如何求?导数运算法则 ;. 1xgxfxgxf ;. 2xgxfxgxfxgxf 0. 32xgxgxgxfxgxfxgxf例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.解:y=

3、(x3-2x+3)(x3)(2x)(3)3x22,所以，函数y=x3-2x+3的导数是y=3x2-2.堂上练习求下列函数的导数： 140202124xxxy )3)(12(223xxxy例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 10080 100284 5xxxc求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.(1) 90%; (2) 98%. 1005284xxc210010052841005284xxx2100152841000 xx21005284x ,84.529010052849012c因

4、为 ,13219810052849822c因为所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢?令 u=x+2 (x-2),则y=lnu.y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x-2)复合得到.y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x)y=f(u)=f(g(x)=ln(x+2).许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到 对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么

5、称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f (g(x)且 yx=yuuxy对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积y=(2x+3)2y=u2u=2x+3复合y=sin(2x+5)y=sin uu=2x+5复合例4求下列函数的导数: 均为常数其中, sin3;e2 ;321105. 02xyyxyxxuxuyy 322xuu4128 x解:(1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有xuxuyy 105. 0 xeuue05. 0105. 0e05. 0 xxuxuyy sinxuucosxcos(2)函数 y=e-0.05x+1 可以看作函数 y=eu 和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有(3)函数 y=sin(x+) 可以看作函数 y=sinu 和u=x+的复合函数.根据复合函数求导法则有