江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试数学命题： 徐州一中高三数学组、 兴化中学高三数学组、 淮阴中学高三数学组审核： 盐城中学高三数学组、 南京十三中高三数学组、 泗阳中学高三数学组2021.4注意事项：1答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题： 本题共8小题， 每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目

2、要求的。1. 已知向量集合M =a|a=(1,2)+(3,4),R， N =a|a=(-2,-2)+(4,5),R， 则M N =A. (1,2)B. (-2,-2)C. (1,2),(-2,-2)D. 2. 十六进制是一种逢16进1的计数制我国曾在重量单位上使用过十六进制， 比如成语 “半斤八两” ，即十六两为一斤在现代， 计算机中也常用到十六进制， 其采用数字 0 9 和字母 A F 共 16 个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如， 用十六进制表示： E +D=1B， 则AB =A.

3、6EB. 72C. 5FD. BD3.正三棱柱P-ABC 的高为2， 侧棱与底面ABC 成45角， 则点A到侧面PBC 的距离为A.3B. 2 3C.3 55D.6 554.用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法根据能斯特分配定律， 一次萃取后， 溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位： mol/L)之比为常数K， 并称K 为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数现用一定体积的有机溶剂进行 n次萃取， 每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010+K倍， 溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为1.0mol/L， 该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为 20， 则至少

4、经过几次萃取， 溶质在水溶液中的物质的量浓度低于1.010-5mol/L？(假设萃取过程中水溶液的体积不变参考数据： ln31.099， ln102.303)A. 9次B. 10次C. 11次D. 12次5. (1+3x)6(1+14x )10展开式中的常数项为A. 1B. 46C. 4245D. 42466. 学校组织开展劳动实践， 高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、 消防队等场所劳动服务经D6联考数学试题第1页 （共8页）统计， 该15名学生的劳动服务时长平均为20小时， 标准差为s后来经核实， 发现统计的甲、 乙两名同学的劳动服务时长有误甲同学的劳动服务时长实际为20小时， 被误

5、统计为15小时； 乙同学的劳动服务时长实际为 18 小时， 被误统计为 23 小时更正后重新计算， 得到标准差为 s1， 则 s 与 s1的大小关系为A. s=s1B. ss1D. 无法判断7. 已知向量a ae e， |e e|=1， 且对任意tR， |a a-te e|a a-e e|恒成立， 则A. a ae eB. a a(a a-e e)C. e e(a a-e e)D. (a a+e e)(a a-e e)8.在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A是抛物线 y2= 2px(p0)上的一点， 以抛物线的焦点 F 为圆心， 以FA 为半径的圆交抛物线的准线于 B， C 两点， ABC

6、的面积为1283 ， 记 BFC = ， 若 2sin2 -sin2=3cos-sin， 则p的值为A. 4B. 8C. 4 2D. 8 2二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5分， 部分选对的得2分， 有选错的得0分。9.已知， 是两个不同的平面， m， n是两条不同的直线， 下列说法正确的是A.“经过两条平行直线， 有且仅有一个平面” 是空间图形的基本事实(公理)之一B.“若/， m， 则m/” 是平面与平面平行的性质定理C.“若m/n， m， n， 则m/” 是直线与平面平行的判定定理D. 若/， m/， m/n

7、， n， 则n/10. 若x0， y0， 且x+y=xy， 则A. x+y4B. xy2C. x+2y+xy5+2 6D.2xx-1 +4yy-1 6+4 211. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1， F2， 离心率为e1， 上顶点为P， 且PF1F2的面积为b2双曲线C2与椭圆C1的焦点相同， 且C2的离心率为e2， M 为C1与C2的一个公共点， 若F1MF2=3， 则A.e2e1=3B. e1e2=34C. e21+e22=2D. e22-e21=5812. 设函数 f(x)=x3+axln2e2x+blnx， 下列说法正确的是A. 若a=b=0， f(

8、x)是奇函数B. 若a=1， b=0， f(x)在(32,+)单调递减C. 若a=0， b=-1， f(x)在(1,+)有且仅有一个零点D. 若a0， b0，f(x1)+ f(x2)x1+x2f(x1)- f(x2)x1-x2(x1x21)D6联考数学试题第2页 （共8页）三、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。13. 国际象棋中骑士(Knight)的移动规则是沿着32格或23格的对角移动若骑士限制在图中的34 = 12 格内按规则移动， 存在唯一一种给方格标数字的方式， 使得骑士从左上角标 1 的方格内出发， 依次不重复经过2， 3， 4， ， 到达右下角标12的方格内， 那

9、么图中 X 处所标的数应为 _1X31214. 写出一个使得+2+3=0成立的非零复数=_15. 已知数列an为正项数列， a1=1， Sn为an的前n项和， 且满足1+S2n=an+1+Sn， 则分别以1， Sn，an+1为三边边长的三角形有一内角为定值 _， an的通项公式为 _(本题第一空2分， 第二空3分)16. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB =13， AD=5， AA1=12， 过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分现同时将两个球分别放入这两部分几何体内， 则在平面 变化的过程中， 这两个球的半径之和的最大值为_四、 解答题： 本题共6小题， 共70分。解答应

10、写出文字说明、 证明过程或演算步骤。17. (10分)设an是集合2t+2s|0st,且s,tZ中所有的数从小到大排列成的数列， 即a1=3， a2=5， a3=6， a4=9， a5=10， a6=12， 将an各项按照上小下大、 左小右大的原则写成如下的三角形数表35 69 1012(1)写出该三角形数表的第四行、 第五行各数(不必说明理由)， 并求a100；(2)设bn是该三角形数表第n行的n个数之和所构成的数列， 求bn的前n项和SnD6联考数学试题第3页 （共8页）18. (12分)如图， 在水平桌面上放置一块边长为 1 的正方形薄木板 ABCD先以木板的 AD 边为轴， 将木板向上

11、缓慢转动， 得到平面 AB1C1D， 此时 B1AB的大小为 (0 2)再以木板的 AB1边为轴， 将木板向上缓慢转动， 得到平面AB1C2D1， 此时C2B1C1的大小也为(1)求整个转动过程木板扫过的体积；(2)求平面AB1C2D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值D6联考数学试题第4页 （共8页）19. (12分)在ABC 中， 角A， B， C 所对的边分别为a， b， c， (3-cosA)tanB2=sinA， ABC 的周长为8(1)求b；(2)求ABC 面积的最大值D6联考数学试题第5页 （共8页）20. (12分)郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状， 造型优美， 空中俯瞰犹如

12、盛开的梅花绽放在中原大地， 是现代建筑与艺术的完美结合双曲抛物面又称马鞍面， 其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似双曲线在物理学中具有很多应用， 比如波的干涉图样为双曲线、 反射式天文望远镜利用了其光学性质等等(1)已知A， B 是在直线l两侧且到直线l距离不相等的两点， P 为直线l上一点试探究当点P 的位置满足什么条件时， |PA-PB|取最大值；(2)若光线在平滑曲线上发生反射时， 入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称证明： 由双曲线一个焦点射出的光线， 在双曲线上发生反射后， 反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点D6联考数学试题第6

13、页 （共8页）21. (12分)已知函数 f(x)=ln2(x+1)-x2x+1 (1)求 f(x)的单调区间；(2)若不等式(1+1n)n+ae对任意nN*恒成立， 求a的取值范围D6联考数学试题第7页 （共8页）22. (12分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试， 通常采用的测试方法如下： 拿出n(nN*且n4)瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝， 要求其按品质优劣为它们排序； 经过一段时间， 等其记忆淡忘之后， 再让其品尝这n瓶酒， 并重新按品质优劣为它们排序这称为一轮测试， 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现分别以 a1， a2， a3， ， an表示第一次排序时被排

14、在1， 2， 3， ，n的n种酒在第二次排序时的序号， 并令 X = |1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|n-an|， 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述(1)证明： 无论n取何值， X 的可能取值都为非负偶数；(2)取n=4， 假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下， a1， a2， a3， a4等可能地为1， 2， 3， 4的各种排列， 且各轮测试相互独立求X 的分布列和数学期望；若某品酒师在相继进行的三轮测试中， 都有X 2， 则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能求出现这种现象的概率， 并据此解释该测试方法的合理性D6联考数学试题第8页 （共8页）江苏省六校联合2021届高三

15、第四次适应性考试数学试题评分参考一、 选择题： 本题共8小题， 每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。1B2A3D4C5D6C7C8B二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5分， 部分选对的得2分， 有选错的得0分。9CD10ACD11AC12BC三、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。13814-12+32i(或-12-32i)153(2分)an=34sin23(12)n-2(3分)1617-2 30四、 解答题： 本题共6小题， 共70分。解答应写出文字说明、

16、证明过程或演算步骤。17(10分)(1)第四行： 17 18 20 24，(1分)第五行： 33 34 36 40 48，(2分)在该三角形数表中第t行中有t个数， 其中第s+1个数为2t+2s，(4分)设a100=2t0+2s0， 则(1+t0-1)(t0-1)2100(1+t0)t02100-(1+t0-1)(t0-1)2=s0+1， 解得t0=14s0=8 ，从而a100=214+28=16640(6分)(2)bn=n2n+(20+21+22+2n-1)=n2n+1(1-2n)1-2=(n+1)2n-1， (8分)故Sn=221+322+423+(n+1)2n-n，2Sn=222+323

17、+424+(n+1)2n+1-2n，从而Sn=(n+1)2n+1-4-4(1-2n-1)1-2-n=n2n+1-n(10分)考生若有其它解法， 应给予充分尊重， 并参照本标准评分18(12分)(1)整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为， 半径为1的扇形， 高为1的直棱柱组成，(2分)故其体积V=2(2121)=(4分)(2)以A为坐标原点，DA 方向为x轴正方向，AB1 方向为y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(0,cos,-sin)，D(-1,0,0)，B1(0,1,0)，D1(-cos,0,sin)，数学试题评分参考第1页 （共4页）A

18、B =(0,cos,-sin)，AD =(-1,0,0)，AB1 =(0,1,0)，AD1 =(-cos,0,sin)，(6分)设n=(x,y,z)是平面ABCD的一个法向量， 则nAB =0nAD =0 ， 即ycos-zsin=0-x=0 ， 不妨令y=sin，可取n=(0,sin,cos)，(8分)同理平面AB1C2D1的一个法向量m=(sin,0,cos)，(10分)设平面AB1C2D1与平面ABCD所成锐二面角为，则cos= cos=cos2sin2+cos2 sin2+cos2=cos2，所以平面AB1C2D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为cos2(12分)考生若有其它解法，

19、 应给予充分尊重， 并参照本标准评分19(12分)(1)因为(3-cosA)tanB2=sinA， 所以(3-cosA)2sinB2cosB2=sinA2cos2B2，所以sinB(3-cosA)=sinA(1+cosB)，(2分)化简得3sinB =sinA+sinBcosA+sinAcosB =sinA+sin(A+B)，又因为A+B +C =， 故3sinB =sinA+sin-(A+B)=sinA+sinC，(4分)在ABC中， 由正弦定理得asinA =bsinB=csinC ， 故3b=a+c，从而a+b+c=4b=8， 即b=2(6分)(2)由于6=a+c2 ac， 所以ac9，

20、 当且仅当a=c=3时等号成立，(7分)而SABC=12acsinB， 在ABC中， 由余弦定理得cosB =a2+c2-b22ac，(9分)故S2ABC=14a2c2sin2B =14a2c2(1-cos2B)=14a2c21-(a2+c2-b22ac)2=14a2c21-(a+c)2-2ac-b22ac)2=8ac-648，所以SABC2 2， 故ABC面积的最大值为2 2(12分)考生若有其它解法， 应给予充分尊重， 并参照本标准评分20(12分)(1)不妨设A点到直线l的距离比B点到直线l的距离大， 作A点关于直线l的对称点A当l为APB的平分线时，A，B，P三点共线，故PA-PB =

21、PA-PB =AB，当l不是APB的平分线时， 取这样的点P， 则A，B，P能构成一个三角形，数学试题评分参考第2页 （共4页）故PA-PB =PA-PB2a，对于双曲线外部的一点Q有|F1Q-F2Q|2a，(9分)(命题： 淮阴中学-朱振东 兴化中学-姚楷 徐州一中-赵嘉钰)又l3是双曲线在Q点处的切线， 故在l3上有且仅有一点Q使得F1Q-F2Q=2a，l3上其他点Q均有F1Q-F2Q2a，故Q是l3上唯一使得F1Q-F2Q取最大值的点，(11分)又F1，F2到直线l3距离不相等， 根据(1)中结论， 可知l3是F1QF2的角平分线，故反射光线l2过点F1， 命题得证(12分)考生若有其它

22、解法， 应给予充分尊重， 并参照本标准评分21(12分)(1)f(x)的定义域(-1, +)，f(x)=2ln(x+1)x+1-x2+2x(x+1)2=2(x+1)ln(x+1)-x2-2x(x+1)2，(1分)令g(x)=2(x+1)ln(x+1)-x2-2x，x(-1, +)，g(x)=2ln(x+1)-2x，(2分)令h(x)=2ln(x+1)-2x，x(-1, +)，h(x)=2x+1 -2， 当-1x0， 当x0时，h(x)-1时，g(x)0，所以g(x)在(-1, +)单调递减，(4分)于是当-1xg(0)=0， 当x0时，g(x)g(0)=0，所以当-1x0， 当x0时，f(x)

23、1， 故a1ln(1+1n)-n，(8分)数学试题评分参考第3页 （共4页）设(x)=1ln(x+1)-1x，x(0, 1，(x)=(x+1)ln2(x+1)-x2x2(x+1)ln2(x+1)=f(x)x2ln2(x+1)，又f(x)f(0)=0， 故当x(0, 1时，(x)0，(10分)所以(x)在(0, 1单调递减， 于是(x)(1)=1ln2 -1， 故a1ln2 -1，所以a的取值范围为(-,1ln2 -1(12分)考生若有其它解法， 应给予充分尊重， 并参照本标准评分22(12分)(1)首先有X = |1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|n-an|0，(1分)取绝对值不影响数

24、的奇偶性， 故X = |1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|n-an|与1-a1+2-a2+3-a3+n-an的奇偶性一致， 而1-a1+2-a2+3-a3+n-an=(1+2+3+n)-(a1+a2+a3+an)=0为偶数，故X的可能取值都为非负偶数(3分)(2)由(1)知当n=4时，X的可能取值为0，2，4，6，8，P(X =0)=1A44=124，P(X =2)=C13A44=18，P(X =4)=C14+C12+1A44=724，P(X =6)=C12C12+C12+C12+1A44=38，P(X =8)=C12+1+1A44=16，所以X的分布列为X02468P12418724

25、3816(8分)从而X的数学期望E(X)=0124+218+4724+638+816=5 (9分)记 “在相继进行的三轮测试中都有X2” 为事件A，“在某轮测试中有X2”为事件B， 则P(B)=P(X =0)+P(X =2)=124+18=16，(10分)又各轮测试相互独立，P(A)=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=161616=1216 ，(11分)因为P(A)表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而P(A)=1216 0.0046， 该可能性非常小， 所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测， 故这种测试方法合理(12分)考生若有其它解法， 应给予充分尊重， 并参照本标准评分数学试题评分参考第4页 （共4页）