重点中学高三数学优质课件精选——《平面解析几何》.ppt

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1、,平面解析几何,执教教师：XXX,第十单元 平面解析几何,第一节 直线与方程,基础梳理,1. 直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当直线 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角.当直线 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为00,b0),则直线 的方程为 过点P(3,2), ,且a3.从而 ,故有当且仅当 ,即a=6时,等号成立. ,此时 .故直线 的方程为 ,即2x+3y-12=0.,方法二：依题意知，直线 的斜率存在.设直线 的方程为y-2=k(x-3)(k0, -(a+1)=0, 或 a-20 a-20，a-1.综上

2、可知，a的取值范围是a-1.方法二：将 的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR).它表示过 :x+y+2=0与 :x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由图象可知 的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线 不经过第二象限.,第二节 直线的位置关系,基础梳理,1. 两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有特别地，当直线 的斜率都不存在时， 与 的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线 的斜率存在，分别设为 ,则一般地，若直线 ( 不全为0)，直线 ( 不全为0)，则 且,与 重合 且,2. 三种距离（1）两点间的距离平

3、面上的两点 间的距离公式特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=(2)点到直线的距离点 到直线 :Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离两条平行线Ax+By+ =0与Ax+By+ =0间的距离,典例分析,题型一 两条直线位置关系的判定和应用,【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+ -1=0.(1)试判断 与 是否平行；（2）当 时，求a的值.,分析 可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.,解 （1）方法一：当a=

4、1时， :x+2y+6=0, :x=0, 不平行于 ;当a=0时， :y=-3, :x-y-1=0, 不平行于 ;当a1且a0时，两直线可化为 解得a=-1,综上可知,当a=-1时, ,否则 与 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-12=0,由 0,得a( -1)-160, a(a-1)-12=0， -a-2=0， a=-1 a( -1)-160 a( -1)6,故当a=-1时， ，否则 与 不平行.,（2）方法一：当a=1时, :x+2y+6=0, :x=0, 与 不垂直，故a=1不成立.当a1时，由方法二：由 ,得a+2(a-1)=0,学后反思 (1)直线 : ,直线 ,“ ”的前提条

5、件是 , 的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：,当 , 中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时， 与 不平行；当 , 的斜率都不存在（ 与 不重合）时, ;当 , 均有斜率且 时， .为避免分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.（2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有 ，如果利用 可避免分类讨论.,举一反三,1. 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直

6、；当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直.所以a=1或a=0即为所求.,解析 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行；当a-20且a0时，由 ,得a=-1或a=3.若a=-1,则 成立,故a=-1（舍去）,则a=3.,2. 已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.,题型二 距离问题,【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.,分析 设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.,解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1),即

7、kx-y+k+2=0.原点到直线的距离等于 ,d=解得k=-1或k=-7,即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.,学后反思 （1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论.（2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.,举一反三,3. 与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是.,答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0,解析 所求直线 与直线 :2x+3y+5=0平行，可设 ：2x+3y+C=0,由 与 距离为 ，得 ,解得C=18或C=-8,所求直线 的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.,题型三 交点及直线系问题,【例3

8、】求经过直线 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直线 :3x-5y+6=0的直线 的方程.,分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.,3x+2y-1=0,解 方法一：由 得 , 的交点P(-1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 的斜率k=- , :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由 ,可设 :5x+3y+C=0. , 的交点可以求得为P(-1,2).5(-1)+32+C=0,C=-1, :5x+3y-1=0.,方法三： 过 , 的交点，故设 :3x+2y-1+(5x+2y+1)=0，即

9、（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0， ,解得= ,代入上式整理得 :5x+3y-1=0.,学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点.,举一反三,4. 已知两直线 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过 , 的交点且与点A的距离等于1的直线 .,解析 方法一： , 的交点为（-2，1）.若直线 斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.

10、所求直线 与点A(-1,-2)的距离为1, ,得k=- ,代入,得所求直线 的方程为4x+3y+5=0.若直线 斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否符合所求直线 的条件.点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1，直线x=-2，即x+2=0也符合直线 的要求，故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,方法二： , 的交点为（-2，1），过 , 交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0， 由 ,得=0.代入方程，得x+2=0.又直线系方程中不包含 ,应检验 是否也符合所求 的条件.点（-1，-2

11、）到 的距离为 也符合要求，故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,题型四 对称问题,【例4】(12分)光线沿直线 :x-2y+5=0射入，遇直线 :3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.,分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 对称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于 的对称点，再由两点式写出方程.,3x-2y+7=0, x=-1,解 方法一：由 得 x-2y+5=0, y=2,即反射点M的坐标为(-1,2).2又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线 的对称点为由PP ,可知 . 4而PP的中点Q的坐标为,又Q点在 上，

12、联立 解得,即P点坐标为 .10反射光线过M(-1,2)和P根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.12,方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点 关于直线 的对称点P(x,y),则 3又PP的中点 在 上，, ,6由 .9代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0.12,学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题

13、的通法.,举一反三,5. 已知A(7,-4)关于直线 的对称点为B（-5，6），则直线 的方程是 ( )A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0C. 6x+5y-11=0 D. 5x-6y+1=0,解析 AB的中点（1，1）在直线 上,又 ,即所求直线的斜率k= ,所求直线 的方程为y-1= (x-1),即6x-5y-1=0.,答案 B,易错警示,【例】已知一直线 经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等，求此直线的方程.,错解 方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0， ,即k-1=k-7，解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0

14、.方法二：由已知 AB,又 :y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.,错解分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视了 可以过AB中点的情况.,正解 方法一：当 斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件.当斜率存在时，解法同错解中“方法一”.方法二：当 过AB中点时，直线方程为x=1.当 AB时，解法同错解中“方法二”.综上,直线 的方程为x=1或4x-y-2=0.,考点演练,10. (2009青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线交点为（3，3），则另两边的方程为和 .,解析 方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为（6-x

15、）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.,方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（3，3）的对称点.设 :x +y+ =0, :3x-y+ =0.两已知直线的交点坐 x+y+1=0, x=标满足 解得 3x-y+4=0, y=即 ,它关于（3，3）的对称点为将 代入 , ，解得 =-13, =-16.所以所求直线 :x+y-13=0, :3x-y-16=0.,答案 x+y-13=03x-y-16=0,11. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求

16、正方形的其他三边所在的直线方程.,解析 设与直线 :x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为 :x+3y+c=0. 2x-y+2=0，由 得正方形的中心坐标P(-1,0), x+y+1=0由点P到两直线 , 的距离相等，得 ,解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)， :x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与 垂直，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等， ，解得a=9或a=-3,正方形的其他两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.正方形的其他三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.,12. 光线

17、从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程.,解析 方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为（a,0）,由反射角等于入射角，得1=2,3=4,又 ,即BC所在直线方程为y= (x-a),所以C点坐标为又 ,解得a=- ,代入BC的方程,得5x-2y+7=0.,方法二：A关于x轴的对称点A(-3,-4),D关于y轴的对称点D(1,6),由光学知识知,A、B、C、D四点共线，且则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.,第三节 圆的方程,基础梳理,1. 圆的标准方程（1）方程 表示圆心为(a

18、,b),半径为 r 的圆的标准方程;（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .2. 圆的一般方程方程 +Dx+Ey+F=0可变形为（1）当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;,（2）当 =0时，方程表示一个点 ;(3)当 r，所以点P在圆外.,学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量

19、，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.,举一反三,1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析 圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y-3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)，即 , ，圆的方程为,题型二 与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为 ,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.,分析 (1)若方程表示圆，则 0,即(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.,解 若 表示圆，则应满足 ,即4-3 0, 又点A应在

20、圆外，则即 +a+90, 由得故a的取值范围是,学后反思 (1)一般地，方程表示圆隐含着条件 0.此点易被忽视.(2)若点 在圆 +Dx+Ey+F=0外，则,举一反三,2. 已知圆的方程 ,要使圆的半径不大于 且过定点A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.,解析 圆的方程可化为 .由已知 即解得 a-1或1a ,所以a的取值范围为( ,-11, ).,题型三 与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程 -4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求 的最大值和最小值.,分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,解 原方

21、程可化为 ,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆.(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时,解得k= ，如图1，所以 的最大值为 ,最小值为- .,(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .如图2，所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .(3) 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到的原点的距离为所以， 的最大值为 的最小值为,学后反

22、思 （1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处.（2）本例的解题关键在于抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化.（3）与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如= 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如 形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3. 已知圆C： ,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d= 的最大值、最小值及对应的P点坐标.,解析 设 则

23、欲求d的最值，只需求= 的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点 即为所求.设过O,C两点的直线交圆C于 两点，则此时此时,题型四 与圆有关的简单的轨迹问题,【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析 动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方程求得点M的轨迹方程.,解 设点M的坐标为(x,y),点因为M是线段AB的中点，且B（4，3），所以 所以 又点A在圆 上运动，,所以 . 把代入，得整理得 .所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆.,学后反思 （1）本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间的转化.（2）一般地，设点时，动点设为（x,y），相关点设为 ，并将(x,y)用 表示出来，代入 满足的关系式.,举一反三,4. 已知圆 上一定点A(2,0),P为圆上的动点.求线段AP中点的轨迹方程.,解析 设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.P点在圆 上，故线段AP中点的轨迹方程为,