《建筑力学》_4杆件的内力计算.ppt

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1、单元4 杆件的内力计算,1.掌握截面法，并能够绘制轴向拉压杆的轴力图；2.掌握平面弯曲梁的内力计算，并能熟练运用简捷法绘制梁的内力图；3.了解最大内力数值及所在截面位置的确定方法。,本单元内容,4.1.1轴向拉压杆横截面上的内力,轴向拉压杆在受力与变形方面的共同特点是：杆件是直杆，作用于杆件各横截面上的外力的合力与轴线重合，整个杆件在外力作用下处于平衡状态，杆件变形主要是沿轴线方向的伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。 由轴向拉压杆的受力特点可知，轴向拉压杆横截面上的内力一定与杆轴重合，我们把这种与轴线重合的内力称为轴力，用符号N表示。在国际单位制中，轴力的单位是牛顿（N）或千牛顿

2、（kN）。轴力的正负号规定：当轴力背离截面时，杆件受拉而伸长，轴力N取正号；当轴力指向截面时，杆件受压而缩短，轴力N取负号，即拉正压负。,4.1.1轴向拉压杆横截面上的内力,【例4-1】 杆件受力如图4.3（a）所示，试计算11截面上的轴力。,图4.3,解：（1） 用11截面将杆截为左右两部分，并取截面左侧杆段为研究对象；（2） 假设轴力N1为拉力，绘制研究对象的受力图如图4.3（b）所示； （3） 列平衡方程，计算出未知轴力：,（拉）,，,，,【例4-2】 杆件的受力如图4.4（a）所示，试求11、22、33截面上的轴力。,图4.4,解： （1） 求11截面的轴力N1：假想用截面11将 AD

3、杆截开，取左侧杆段为研究对象，其受力图如图4.4(b)所示。,，,，,（2） 求22截面的轴力 ：,取22截面左侧杆段为研究对象，其受力图如图4.4(c)所示。,，,，,（压）,（3） 求33截面的轴力,取33截面左侧杆段为研究对象，其受力图如图4.4(d)所示。,，,，,4.1.1轴向拉压杆横截面上的内力,（拉）,（拉）,4.1.2轴力图,反映轴力随横截面位置而变化的图形，称为轴力图。绘制轴力图的步骤： 绘x轴以平行杆轴线方向为x轴，表示横截面的位置； 绘N轴以垂直杆轴线方向为N轴，表示轴力的数值； 绘轴力按一定比例将正的轴力绘于x轴上侧，负的轴力绘于x轴下侧。,【例4-3】 一等直杆的受力

4、情况如图4.5（a）所示，试绘制其轴力图。,图4.5,解：（1）计算各段杆的轴力AB杆段的轴力： （拉） BC杆段的轴力 ： （压）（2）绘制轴力图。 在平行杆轴线方向绘x轴，垂直杆轴线方向绘N轴； 将杆件各段轴力按一定比例标于坐标轴上，连以直线便得到轴力图如图4.5（b）所示。,4.1.2轴力图,从图上可看出：最大轴力发生在AB杆段，其值， 此段是最易被拉断的危险杆段。,4.2剪切与扭转,4.2.1剪切与挤压,4.2.1.1 剪切与挤压的概念,剪切变形的受力特征是：作用在构件上的两个力，一定是大小相等、方向相反，作用线相距很近且垂直于杆轴。剪切变形的特点是：介于两横向力之间的各截面沿外力作用

5、方向发生相对错动。发生相对错动的截面称为剪切面。当拉力F足够大时，作用于螺栓上的两个力（横向力）将栓杆沿剪切面剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。如图4.6（a）所示，为一螺栓连接两块钢板的简图。钢板在拉力F的作用下，使螺栓的左上侧和右下侧受压，如图4.6（b）所示。这时，螺栓的上下两部分将沿着外力的方向发生水平方向的相互错动，产生剪切变形，如图4.6（c）所示。,图4.6,4.2.1剪切与挤压,4.2.1.1 剪切与挤压的概念,如图4.7（a）所示的是铆钉连接的简图。作用在钢板上的拉力，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉。这种两物体接触面相互压紧而产生的局部受压现象称为挤压。而两物体的接触面相互挤

6、压而产生的局部变形，称为挤压变形。接触面上的压力称为挤压力，用符号Fbs表示。承受挤压力的表面称为挤压面。当钢板与铆钉间的挤压力超过一定限度时，在挤压面的局部区域将发生明显的塑性变形，如使钢板上的圆孔变成椭圆形孔、孔径增大，或使铆钉局部压扁，如图4.7（b）、（c）所示。这些变形都会导致连接松动，影响构件的正常使用，这就是挤压破坏。,图4.7,4.2.1剪切与挤压,4.2.1.2 剪切与挤压的内力,剪切面上与剪切面平行的内力称为剪力，用符号V表示；挤压面上的挤压力用Fbs表示。剪力、挤压力的单位均为牛顿（N）或千牛顿（kN）。【例4-4】 两块钢板的连接采用铆钉连接，如图4.8（a）所示，铆钉

7、的材料和直径都相同，试求铆钉所受的剪力。,图4.8,4.2.1剪切与挤压,4.2.1.2 剪切与挤压的内力,4.2.2圆轴扭转时的内力,4.2.2.1 扭转的概念,扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。扭转变形的特点：杆件各横截面绕杆轴线发生相对转动。 房屋中的雨蓬梁如图4.10所示。雨蓬板的自重及板上活荷载构成了使雨蓬梁绕梁轴产生转动的外力偶。与此同时，在雨蓬梁的两端产生了来自墙体的阻抗力偶作用，构成另一外力偶。雨蓬梁在垂直于梁轴的两外力偶的共同作用下，梁各横截面将绕梁轴产生相对转动，从而使雨蓬梁发生扭转变形。,图4.10,4.2.2圆轴扭转时的内力,

8、4.2.2.2 圆轴扭转的内力,（1） 扭矩作用面与杆件横截面重合的内力矩称为扭矩，用符号T表示。扭矩的单位是牛顿米（Nm）或千牛顿米（kNm）。扭矩的正负号规定：用右手的四指表示扭矩T的转向，若大拇指的指向离开截面，则扭矩为正，如图4.12（a）；反之，则扭矩为负，如图4.12（b）所示。这种确定扭矩正负号的方法，称为右手螺旋法则。,图4.12,4.2.2圆轴扭转时的内力,（2） 扭矩图反映圆轴各横截面上扭矩的变化规律的图形称为扭矩图。常用与圆轴轴线平行的x轴表示横截面的位置，与圆轴轴线垂直的T轴表示相应横截面上的扭矩，正扭矩绘于x轴上方，负扭矩绘于x轴下方，并按一定的比例绘制。,4.2.2

9、.2 圆轴扭转的内力,4.2.2圆轴扭转时的内力,【例4-5】 图4.13（a）所示一传动轴，主动轮B上的外力偶矩为Nm，从动轮A和C上的外力偶矩分别为Nm和Nm。请绘制该轴的扭矩图。,解： （1） 用截面法计算各轴段的扭矩。AB段：用假想截面在轴AB段截开，取轴的左边部分为研究对象，截面上的扭矩TAB按正向假设，受力图如图4.13（b）所示。 , NmBC段：取轴的右部分为研究对象，受力图如图4.13（c）所示。 , Nm（2） 绘制扭矩图。如图4.13（d）所示。,图4.13,4.2.2.2 圆轴扭转的内力,4.3平面弯曲梁,4.3.1 平面弯曲梁的内力,4.3.1.1平面弯曲梁的概念,当

10、杆件上承受作用在杆件纵向对称平面内的荷载时，梁将在此平面内产生弯曲变形，这种弯曲称为平面弯曲，此梁称为平面弯曲梁，如图4.16所示。,图4.16,4.3.1 平面弯曲梁的内力,4.3.1.2梁的基本形式,单跨静定梁按支承情况，分为三种基本形式： 简支梁：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁，如图4.17所示。 外伸梁：一端或两端伸出支座的简支梁，如图4.18所示。 悬臂梁：一端为固定端支座，另一端为自由端的梁，如图4.19所示。,图4.17,图4.18,图4.19,4.3.1 平面弯曲梁的内力,4.3.1.2梁的基本形式,（1） 剪力与弯矩的概念一般情况下，梁横截面上存在两种内力： 与杆件

11、横截面相切的内力称为剪力，用V表示；剪力单位是牛顿（N)或千牛顿(KN) 。 作用面与杆件纵向对称面重合的内力偶矩称为弯矩，用M表示；弯矩单位是牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。,图4.20,4.3.1 平面弯曲梁的内力,（2） 剪力和弯矩的正负号规定剪力的正负号规定：使研究对象顺时针方向转动的剪力为正剪力，反之为负剪力，如图4.21（a）所示。 弯矩的正负号规定：使研究对象产生上部受压、下部受拉的弯矩为正弯矩，反之为负弯矩，如图4.21（b)所示。,图4.21,4.3.1.2梁的基本形式,4.3.2梁上指定截面的内力计算,4.3.2.1 用截面法计算梁上指定截面的内力,用截面法计算梁上指定

12、截面内力的步骤：（1）计算支座反力；（2）在欲求内力处将梁截为两段，任取其中一段为研究对象；（3）绘制研究对象的受力图，截面上的剪力和弯矩均按正向假设；（4） 建立平衡方程，计算未知内力。,【例4-6】简支梁的受力情况如图4.22（a）所示，试计算11截面的剪力和弯矩。,图4.22,4.3.2梁上指定截面的内力计算,4.3.2.1 用截面法计算梁上指定截面的内力,校核：,解：（1） 计算支座反力。梁的受力图如图4.22（b）所示，用静力学平衡方程可计算出梁的支座反力为：,（）,（）,4.3.2梁上指定截面的内力计算,（2） 计算11截面的剪力和弯矩。用11截面将梁截为左右两段，取其左侧梁段为研

13、究对象，受力图如图4.22（c）所示。,由，得,若取右侧梁段为研究对象，受力图如图4.22（d）所示，可得到相同的计算结果。,4.3.2.1 用截面法计算梁上指定截面的内力,4.3.2梁上指定截面的内力计算,【例4-7】 外伸梁的受力情况如图4.23（a）所示，试计算11截面的内力。,图4.23,4.3.2.1 用截面法计算梁上指定截面的内力,4.3.2梁上指定截面的内力计算,（2） 计算11截面的剪力和弯矩。取11截面左段为研究对象，受力图如图4.23（c）所示。,4.3.2.1 用截面法计算梁上指定截面的内力,4.3.2梁上指定截面的内力计算,4.3.2.2 直接观察法计算指定截面的内力,

14、（1） 梁内任一截面上的剪力，等于该截面左侧或右侧所有竖向外力的代数和，即或式中各外力的正负号取值规则是：左上右下剪力为正。（2） 梁内任一截面上的弯矩，等于该截面左侧或右侧所有外力对该截面形心的力矩代数和，即或式中各外力矩（包括外力偶矩）的正负号取值规则是：左顺右逆弯矩为正。,4.3.2梁上指定截面的内力计算,【例4-8】悬臂梁的受力情况如图4.24所示，试计算11、22、33、44截面的内力。,解：（1）11截面：kN，kNm（2）22截面：kN，kNm（3）33截面：kN，kNm（4）44截面：kN，kNm,4.3.2.2 直接观察法计算指定截面的内力,图4.24,4.3.2梁上指定截面

15、的内力计算,梁上集中力作用处的左右两侧截面，剪力值发生突变，突变量的绝对值等于集中力的大小；梁上集中力偶作用处的左右两侧截面，弯矩值发生突变，突变量的绝对值等于集中力偶的力偶矩大小。,4.3.2.2 直接观察法计算指定截面的内力,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.1 绘制内力图的规定,反映梁上各截面的内力沿梁轴线的变化规律的图形称为梁的内力图，梁的内力图包括剪力图和弯矩图两种。绘制内力图的一般规定：（1） 与梁轴线平行的x轴表示梁截面位置，与梁轴线垂直的V或M轴表示相应截面的剪力或弯矩值，按一定比例绘图。（2） 绘制剪力图时，将正剪力绘于x轴上侧，负剪力绘于x轴下侧，并标明正负号。

16、（3） 绘制弯矩图时，将正弯矩绘于x轴下侧，负弯矩绘于x轴上侧，可不标注正负号。 把弯矩图绘于梁的受拉侧，便于判别钢筋混凝土梁中受拉钢筋的配置位置。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.2 内力方程法绘制内力图,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.2 内力方程法绘制内力图,【例4-9】简支梁的受力如图4.25（a）所示，试建立梁的内力方程，并绘制梁的内力图。,解：（1） 求支座反力 梁的受力图如图4.25（b）所示，由对称性可知：,（）,（3）绘制剪力图。 剪力方程为x的一次函数，其剪力图为一斜直线。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.2 内力方程法绘制内力图,

17、4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.3 简捷法绘制内力图,用内力方程绘制内力图是绘制内力图最基本的方法。如果梁上荷载变化复杂，梁分段就多，内力图的绘制就比较繁琐，而且容易出错。从上例我们不难发现，荷载剪力和弯矩之间存在一定的内在联系，具有一定的规律。利用这些规律来绘制内力图，可大大减少工作量。这种运用荷载剪力图和弯矩图之间的规律来绘制内力图的方法称为简捷法。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.3 简捷法绘制内力图,【例4-10】悬臂梁的受力如图4.26（a）所示，试用简捷法绘制梁的内力图。,图4.26,解：（1）求支座反力 梁的受力图如图4.26(b)所示。支座反力：，,

18、（2）绘制剪力图 看荷载，从左向右绘制。A点： 。AB段：均布荷载作用， 剪力图为，。B点：支座反力作用，剪力图向上突变。绘制的剪力图如图4.26（c）所示。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,图4.26,4.3.3.3 简捷法绘制内力图,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.3 简捷法绘制内力图,【例4-11】简支梁受力如图4.27（a）所示，试用简捷法绘制内力图。,图4.27,，,（2）绘制剪力图。A点：支座反力作用，剪力图向上突变。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.3 简捷法绘制内力图,图4.27,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.4 叠加法绘制内力图,

19、当荷载引起的某效应（反力、内力、应力和变形等）与荷载呈线性关系时，n个荷载共同作用时所引起的某一效应等于各个荷载单独作用时所引起同一效应的代数和，这种关系称为叠加原理。根据叠加原理绘制梁的内力图的方法称为叠加法。叠加法的做法是：先将各个荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图分别绘出，然后再将它们的相应纵坐标值叠加起来，从而得到全部荷载作用下梁的剪力图和弯矩图。,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.4 叠加法绘制内力图,【例4-12】简支梁的受力如图4.28（a）所示，试用叠加法绘制内力图。解： 先分别绘制简支梁在F和q单独作用下的内力图，如图4.28（b）、（c）所示，然后再将它们各自内力

20、图中的相应纵坐标值叠加起来，得到简支梁在集中力F和均布荷载q共同作用下的内力图，如图4.28（a）所示。,图4.28,4.3.3平面弯曲梁的内力图绘制,4.3.3.4 叠加法绘制内力图,【例4-13】悬臂梁的受力如图4.29（a）所示，试用叠加法绘制内力图。解： 先分别绘制悬臂梁在F和q单独作用下的内力图，如图4.29（b）、（c）所示，然后再将它们各自内力图中的相应纵坐标值叠加起来，得到悬臂梁在集中力F和均布荷载q共同作用下的内力图，如图4.29（a）所示。,图4.29,知识拓展 区段叠加法画弯矩图,前面介绍的是对整梁使用叠加原理，下面介绍在梁上的局部区域使用叠加原理，这种绘制梁弯矩图的方法

21、称为区段叠加法。这种方法的解题要点是：将梁划分成若干个梁段、分段运用叠加原理绘制梁的弯矩图；其中分段运用叠加原理绘制梁的弯矩图就是把这段梁看成是与其同跨度同荷载的简支梁、将该段梁两端的弯矩作为外力偶加在简支梁上，然后用叠加法画出该简支梁的弯矩图，这就是这段梁的弯矩图。因此，区段叠加法又叫相应简支梁法。,知识拓展 区段叠加法画弯矩图,区段叠加法画弯矩图步骤：（1）计算梁的支座反力；（2）根据梁的受力情况对梁进行适当分段，使每段梁上所受的荷载都是简单荷载；这里所说的简单荷载包括下述四种情况：该段梁内没有任何荷载作用；该段梁内受有分布集度相同的满布均布荷载作用；该段梁内只受一个集中力作用；该段梁内只

22、受一个集中力偶作用；,知识拓展 区段叠加法画弯矩图,（3） 求控制截面的弯矩。选择外力不连续点（如集中力作用点、均布荷载的起点和终点、集中力偶作用点等）为控制截面，用截面法求出各控制截面的弯矩。（4） 分段画弯矩图。当两相邻控制截面间无荷载作用时，根据控制截面的弯矩值画出直线弯矩图，即为该区段弯矩图；当两相邻控制截面间有荷载作用时，画出直线弯矩图后再叠加简支梁承受均布荷载或集中荷载作用的弯矩图，即为该区段弯矩图形。,知识拓展 区段叠加法画弯矩图,【例4-14】简支梁的受力如图4.30（a）所示，试用区段叠加法绘制弯矩图。解：（1）求支座反力。梁的受力图如图4.30（b）所示。,，,图4.30,（2）求控制截面的弯矩。 取A、D、B截面为控制截面，将AB梁分为两段：AD段和DB段,求出各控制截面的弯矩值为,kNm,，,并标于坐标轴上，画出直线弯矩图。,知识拓展 区段叠加法画弯矩图,用直线依次连接A、C、D截面的弯矩值，得到AD段的弯矩图。 DB段上有均布荷载作用，其弯矩图应为在直线图形的基础上再叠加简支梁承受均布荷载作用的弯矩图。简支梁承受均布荷载作用，其跨中截面的弯矩值为,图4.30,用光滑曲线依次连接D点、DB段中点及B点截面的弯矩值，从而得到DB段的弯矩图。AB梁的弯矩图如图4.30（c）所示。,kNm,