结构力学教材_11结构的稳定计算.ppt

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1、第11章结构的稳定计算,基本要求 了解结构的三种平衡状态及两类稳定问题，了解稳定计算的核心内容是计算临界荷载。掌握用静力法和能量法确定压杆临界荷载的基本原理，并能应用于计算理想压杆第一类稳定问题的临界力。,重点 准确地理解稳定问题的基本概念，应用静力法和能量法确定压杆的临界荷载。,难点 稳定问题的实质；临界状态的静力特征和能量特征；可化为弹性支座问题中弹簧刚度的计算；稳定方程的建立和求解。,11.1概述,为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。也就是说，杆件除了应有足够的横截面积，使所产生的最大应力不超过强度要求外；杆件还不能过分细长，以致变形过大，不满足

2、使用上对刚度的要求；特别是在受压杆件中，变形会引起压力作用位置的偏移，形成附加弯矩，又因而引起附加弯曲变形，两者互相促进的结果，也可能导致某截面强度不足而破坏。在结构的常规强度和刚度分析中，通常假定结构在受力前后力学模型不会发生改变，无需考虑结构受力过程中位形（即位移和变形）对计算模型的影响。对于大部分结构体系而言，这样的计算结果足够满足工程设计的需要。,在某些受力体系中，因受力变形（或外界挠动）导致结构可能处于某一与原始位形不同的受力状态，受力过程中体系的局部或整体的平衡状态与初始受力状态相比发生了变化。平衡状态的变化可能是质变，即参与平衡的力的性质发生了改变，如图 (a)所示；也可能是量变

3、，即平衡状态不变，但各个力之间的数量大小发生了改变，如图 (b)所示。如果基于位形改变后的强度分析结果令结构处于明显不安全的状态，就需要在常规强度分析的同时进行稳定性分析。,(a),(b),11.1.1几个基本概念,所谓失稳，指的是随着荷载增大到一定数值时，体系原始平衡状态形式丧失其稳定性的过程。从稳定分析的角度出发，体系的平衡状态可以在该受力状态上任意施加微小外界干挠（即令体系发生任意可能的微小位形），根据体系响应的不同分为3种不同的类型。1) 稳定平衡状态 若对体系的某一受力平衡状态施加任意的微小干挠，干挠消失后体系能够回复到原有的平衡状态，则此时体系处于稳定平衡状态。2) 不稳定平衡状态

4、 若对体系的某一受力平衡状态施加任意的微小干挠，体系即丧失维持原始平衡状态的能力，则体系处于不稳定平衡状态。3) 临界状态 若对体系的某一受力平衡状态施加任意的微小干挠，干挠撤除后体系仍将在干挠引起的新平衡状态上平衡，这是一种由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中间状态。则原来的平衡状态称为临界状态。,临界状态亦称为随遇平衡状态（或中性平衡状态），此状态中使杆件处于临界状态的外力称为临界荷载，以表示。它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件产生不稳定平衡的最小荷载。,结构稳定分析过程中位形的计算，均以变形后的位形为计算依据，属于几何非线性范畴（叠加原理不再适用），有小挠度和大挠度两种理论，其中小

5、挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的曲率采用精确表达式；大挠度理论更为准确，但计算复杂，而小挠度理论可以用比较简单的办法得到能满足工程需要的基本正确的结论。,11.1.2两类稳定问题,1) 第一类失稳分支点失稳（质变失稳）,(b),(a),体系处于稳定平衡状态，压杆单纯受压，不发生弯曲变形（侧向挠度D=0）。体系仅有惟一平衡形式，对应于直线位形的原始平衡状态，是稳定的，即使因其它原因发生了微小干挠，但干挠撤除后体系仍会恢复直线形式的原始平衡状态。如图11.2(b)所示的原始平衡路径（OAB表示）。,体系将具有两种不同的平衡形式：一是直线形式的原始平衡状态，是不稳定的，对应于图11.2(

6、b)所示的平衡路径I（用BC表示）；二是弯曲形式的新的平衡状态，对应于图11.2(b)所示平衡路径II（对大挠度理论，用直线BD1表示；对于小挠度理论，曲线BD1退化为直线BD）。,有必要指出，解析分析的精确结果表明，按照大挠度理论计算对提高结构承载能力的贡献是很小的。因此，在实际土建工程中，一般都不考虑大挠度的影响，而按小挠度理论计算。,B点是路径与的分支点。该分支点处，二平衡路径同时并存，出现平衡形式的二重性（体系既可以在原始直线形式下保持平衡，也可以在新的微弯形式下保持平衡）。原始平衡路径I通过该分支点后，将由稳定平衡转变为不稳定平衡。因此，这种形式的失稳称为分支点失稳，对应的荷载称为第

7、一类失稳的临界荷载，对应的状态即为临界状态。,(a) 受静水压力的圆弧拱单纯受压(b) 框架各柱单纯受压 (c) 梁平面弯曲转为压弯组合变形转为压弯组合变形转为斜弯曲和扭转组合变形,理想体系的失稳形式是分支点失稳。其特征是：丧失稳定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因此，为质变失稳（属屈曲问题）。,2) 第二类失稳极值点失稳（量变失稳）,非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳定时，结构的平衡状态没有内力分布和平衡形式上质的变化，而只有二者量相对关系的渐变，即为量变失稳（属压溃问题）。 第一类稳定（分支点失稳）问题只是一种理想情况，实际结构或构件总是存在着一些初始缺陷。因而

8、，第一类稳定问题在实际工程中并不存在。尽管如此，由于解决具有极值点失稳的第二类稳定问题，通常要涉及到几何和材料上的非线性关系，要取得精确的解析解较为困难，至今也只能解决一些比较简单的问题；而对于具有分支点失稳的第一类稳定问题，使用解析解则相对方便，理论也比较成熟，因而很多问题目前在工程计算中仍然按照第一类稳定求解临界荷载，对于初始缺陷的影响，则采用安全系数加以考虑。,11.1.3稳定分析的自由度,体系稳定分析的自由度：分析结构稳定问题时，确定体系所有的可能位移状态所需的独立几何参数（位移参数）的数目即为稳定分析中的自由度,(a) 单自由度体系 (b) 两个自由度体系(c) 无限自由度体系,11

9、.2 确定临界荷载的静力法,11.2.1 静力法及其计算步骤,临界状态的静力特征是：平衡形式具有二重性。因此静力法的要点即为：在原始平衡路径I之外，寻找新的平衡路径II，并确定两条路径交叉的分支点，从而求出临界荷载。,静力法计算临界荷载，可按以下步骤进行：(1) 假设临界状态时体系的新的平衡形式（以下简称失稳形式）。(2) 根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程。(3) 根据平衡形式具有二重性的静力特征（位移有零解时，对应于体系原始平衡状态；位移有非零解时，对应于新的平衡状态），建立特征方程，即稳定方程。(4) 解稳定方程，求特征根，即特征荷载值。(5) 由最小的特征荷载值，确定临界荷载,11

10、.2.2 有限自由度体系的稳定计算,【例11.1】图示压杆为单自由度体系，试以静力法计算临界荷载。,体系原始位形(b) 假设失稳形式(c) 平衡路径和（对应原始平衡状态）（对应新的平衡状态）,【解】(1) 假设失稳形式(2) 建立临界状态的平衡方程：,弹簧反力,(3) 建立稳定方程,为了得到非零解，齐次方程的系数应为零，即,上式称为稳定方程。由此方程知，平衡路径为水平直线。,(4) 解稳定方程，求特征荷载值,(5) 确定临界荷载对于单自由度体系，该惟一的特征荷载值即为临界荷载,【例11.2】图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点B和C处为弹簧支承，其刚度系数均为k。体系在A、D两端有压

11、力作用。试用静力法求其临界荷载。,(1)假设失稳形式如图所示。位移参数为y1和 y2.,【解】,（2）建立临界状态平衡方程分别取A-B1-C1部分和B1-C1-D部分为隔离体，则有,关于位移参数为y1和 y2的齐次线性方程组,(3)建立稳定方程,则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况, 不全为零，则对应于相应新的平衡形式,此方程就是稳定方程。,(4)解稳定方程，求特征荷载值,由此解得两个特征荷载值，即,(5)确定临界荷载值取二特征荷载值中最小者，得,【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位移参数的比值。,11.2.3 无限自由度体系的稳定计算,无限自由度体系稳定问题的步骤仍同前

12、述，但要注意其有两个特点：第一，位移参数为无穷多个；第二，临界状态平衡方程为微分方程，即,微分方程右端正负号的取值说明，如图所示。,【例11.3】用静力法计算图所示弹性理想压杆的临界荷载。,【解】(1) 假设失稳形式如图中实线所示。(2) 建立临界状态平衡方程按小挠度理论，压杆弹性曲线的近似微分方程为,由隔离体的平衡方程,代入上式，得,整理得,令 ，则,上式为关于位移参数y的非齐次线性常微分方程。,(3) 建立稳定方程,通解为,常数A、B和未知力FR/FP可由边界条件确定：,求得,求得,因为对应于弯曲的新的平衡形式的y(x)不恒等于零,系数行列式应等于零,展开，得到稳定方程:,(4) 解稳定方

13、程，求特征荷载值,精确解不易求得，可改用试算法或图解法进行数值解。,由最小特征值荷载，确定临界荷载：,【例11.4】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。,【解】 (1)假设失稳形式 如图中实线所示。,(2)建立临界状态平衡方程 底段的弹性曲线近似方程为,(2)建立临界状态平衡方程,(3)建立稳定方程,通解为,(3)建立稳定方程,，,稳定方程,(5)确定临界荷载,取各a值中的最小者，代入,，便可得到所求的临界荷载值。,11.3确定临界荷载的能量法,11.3.1 势能驻值原理,体系总势能EP定义为体系的应变能U与荷载势能UP之和。势能驻值原理的表述为：在弹性体系

14、的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使体系总势能的一阶变分为零，或者说使总势能为驻值。,由此得到的驻值条件等价于平衡条件。,要最终判别体系平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能函数作更进一步的分析。,第1步，根据自由度设定体系可能位形,第2步，在当前自由度的可能位形上，体系的应变能：,荷载势能为（以未变形状态为势能零点）：,第3步，体系的势能为：,第4步，本例为单自由度体系，势能的一阶变分等于零，即,即,上式与例11.1中得用静力法推导得出的式(b)完全相同。,第5步，势能函数与体系平衡状态之间的关系，如图所示。,(a) 稳定平衡状态(b) 随遇平衡状态(c) 不稳定平衡状态,可知，势能

15、函数取驻值时，势能二阶变分取值与体系3种平衡状态的关系为：,11.3.2 用能量法求有限自由度体系的临界荷载,【例11.5】试用能量法重解图示具有两个自由度体系的临界荷载。,【解】(1) 假设失稳形式，根据体系约束和位移自由度设定体系位形,(2) 建立势能函数 应变能：,荷载势能：,由总势能：,(3) 应用势能驻值条件,即,经整理，可得,上式就是前例11.2中导出的式(a)，能量法以下的计算步骤与静力法完全相同（这里从略），最后得,11.3.3 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,首先，确定体系应变能：,其次，求荷载势能：,可得,可得势能泛函,将势能驻值条件应用于无限自由度体系时，是一个泛函的

16、变分问题，计算过程复杂。下面介绍的李兹法，可有效地使问题得到简化。,从静力法和能量法的求解思路中，可以理解到体系的可能位形决定着对应的临界荷载。因此，在李兹法求解过程中，采用线性无关函数序列的线性组合来代替真实的微弯失稳的曲线函数。,无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。因而，只需要使用一般微分计算，最后用代数方程，即可求出无限自由度体系的临界荷载。,【例11.6】试用能量法近似求解图11.16所示简支弹性压杆的的临界荷载。,【解一】(1) 按表11.1，假定位形曲线为抛物线，即,相当于在式（11.5）中只取一项，容易看出，此曲线满足简支压杆的边界条件。由于曲线形状已定，只要给定a的

17、数值，就可以惟一确定位形，即是以单自由度体系（变量a）的二次曲线来近似表示原无限自由度体系。,(2) 计算势能函数,(3) 应用势能驻值条件,(4) 计算临界荷载,误差为+21.6%,精确解,【解二】(1) 假定位移曲线为横向均布荷载q作用下的挠曲线,同样是以单自由度体系（变量q）的二次曲线来近似表示原无限自由度体系 。,(2) 计算势能函数,(3) 应用势能驻值条件,(4) 计算临界荷载,精确解,误差为+0.1256%,【解三】(1) 假定位移曲线为正弦曲线,以单自由度体系（变量a）的正弦曲线来表示原无限自由度体系。,(2) 计算势能函数,(3) 应用势能驻值条件,(4) 计算临界荷载,与精

18、确解完全一致。,变形曲线的假设，是利用有限个自由度来近似描述无限自由度体系的位形曲线，这相当于减少了体系自由度的数目，在压杆中加入了某些附加约束，从而提高了压杆的刚度。简化后体系刚度被增加，必然造成计算所得的临界荷载会高于体系的真实临界荷载值，所以在上例前两种解法中得到的误差都是正偏差。从所设定的三个不同曲线求解过程中，可以知道： (1) 很显然，变形曲线拟合得越接近实际，所得临界荷载就越准确。如果假设的失稳曲线方程正好是真正的失稳曲线方程，则可求得对应临界荷载的精确解，如解法三所示。 (2) 在比较简单的情况下，可取某一横向荷载作用下的变形曲线作为丧失稳定后的变形曲线，由于此曲线满足结构的边

19、界条件，受力变形曲线与结构的失稳曲线也往往较为接近，一般可以得到较好的结果，如解法二所示。 (3) 在实际工程中，失稳的真实位形曲线是未知的，横向荷载作用的变形曲线不易确定，因此，解法一是最为实用的方法之一。尽管在上例中解法一得到的精度较低，但这是由于简化后自由度数目太少的原因造成的。如果能够取更多项次的函数去拟合位形曲线，则可迅速提高到足够的解答精度。,在使用式（11.5）多个函数拟合位形曲线时，可使用矩阵方法进行表达和计算。此时的体系势能可表示为,应用势能的驻值条件,可得,令,则式（11.6）的矩形形式为,或简写为,上式即为临界状态的能量方程,待定参数有非零解的条件是，其系数行列式应为零。

20、于是得稳定方程,其展开式是关于 的n次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载,【例11.7】试用李兹法重解图11.10(a)所示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界荷载。,【解】(1) 假设失稳形式 由表11.1，取变形曲线为两项形式：,(2) 计算稳定方程的系数,(3) 建立稳定方程,展开并化简，得,(4) 解稳定方程其中最小特征荷载即为所求临界荷载,精确值,误差为3.61%,11.4 直杆的稳定,11.4.1 刚性支承等截面直杆的稳定,11.4.2 弹性支承等截面直杆的稳定,如欲将刚架或排架结构简化成单根带弹性支承的压杆模型，一般来说，应同时满足以下两个条件：,一是除所选压杆外

21、，结构的其余杆件中无压杆(包括对称结构取一半之后，除所选压杆外，其余部分无压杆；或其余部分虽有压杆，但为两端铰结杆)。 二是组成各弹性支承的杆件互不重复，否则，各弹簧间相互影响，计算不方便，而且不能用相互独立的弹簧刚度来表示。,将结构转换为单根压杆后得到的计算模型，常见的3种基本形式如图所示。,(a)基本形式之一 (b)基本形式之二 (c)基本形式之三,1) 基本形式之一：一端固定、另一端弹性支座,第一，假定可能位形第二，建立临界状态平衡方程：任一截面的弯矩为,弹性曲线的微分方程为,第三，根据平衡形式具有二重性的静力特征，建立稳定方程,引入边界条件,当,时，,；当,时，,可得,系数行列式应等于

22、零,第四，解稳定方程，求特征荷载值：,2) 基本形式之二：一端自由、另一端弹性抗转动支座,在临界状态下，任一截面的弯矩为,边界条件为：当,时，,和,当,时，,解此微分方程，在引入以上边界条件后，再根据位移有非零解的条件，可得到稳定方程：,3) 基本形式之三：一端铰支、另一端为弹性抗转动支座在临界状态下，任一截面的弯矩为,边界条件：,当,时，,和,时，,可得稳定方程,【例11.8】试将图示刚架简化成具有弹性支承端的压杆，并求其稳定方程,(a)原结构 (b) 具有弹性支承的压杆（基本形式之一）,弹簧刚度系数,得稳定方程,【例11.9】 试将图示刚架简化成具有弹性支承端的压杆，并求其稳定方程。,(a

23、) 原结构 (b) 对称位形模式 (c) 反对称位形模式(d) 带弹形支承的压杆,属基本形式之二,(1) 对称失稳时，其抗转动刚度系数为,得稳定方程,(2) 反对称失稳时，其转动刚度系数为,得稳定方程,由于对称失稳时的抗转动刚度系数较小，决定原结构临界荷载的稳定方程将由对称失稳时所确定，因此稳定方程可取为对称失稳模式下的,【例11.10】试求图示结构的稳定方程。,(a) 原结构 (b) 带弹性支承的压杆 (c)刚度系数的计算,稳定方程,11.4.3 组合压力作用下等截面直杆的稳定,1) 两个集中力作用下,临界状态平衡方程,上段：,下段：,整理得,可以求得通解为,引入6个边界条件,当,时(A点)

24、，,当,时(B点)，,当,时(C点)，,可得,行列式D = 0,得稳定方程,当给定,各比值后，代入上式即可得出临界荷载值。,2) 自重作用下,根据边界条件，可设定结构近似位形曲线为,在只考虑弯曲变形时，结构的应变能为,微段上重力的荷载势能为,全杆自重在结构变形中势能为,再应用驻值条件，即可求得临界荷载,精确解,误差为5.5%,11.4.4 变截面杆件的稳定,阶形柱的稳定问题,两杆段的微分方程为,即,可得通解为,边界条件为,当,时，,，由此得,当,时，,；当,时，,与此相应的稳定方程为,将上面的行列式展开，得,本章小结 （1）结构的失稳有两种形式：分支点失稳和极值点失稳。分支点失稳讨论的主要对象

25、，是“理想柱”（属理想体系），当荷载达到一定数值时，引起变形状态的质变而使结构失去稳定；极值点失稳讨论的主要对象是“工程柱”（属非理想体系），是指荷载达到一定数值时，变形持续增大而令结构失去稳定。（2）本章主要讨论的是小挠度理论下线弹性结构理想体系的稳定分析。分析方法根据临界状态下的静力特征和能量特征建立，即静力法和能量法。（3）临界状态的静力特征是平衡状态的二重性。静力法的基本方程是关于稳定自由度（即确定体系任意可能位形所需的独立坐标参数）的齐次方程，在有限自由度体系中为齐次代数方程，在无限自由度体系中齐次微分方程。根据齐次方程解答的二重性条件，可得到稳定的特征方程并据此解出特征荷载和临界荷载。（4）临界状态的能量特征是，当荷载为特征荷载时，体系势能为驻值，且位移有非零解。根据势能驻值原理可解出特征方程和特征荷载。能量法在计算时，可以通过设定体系的位形函数，从而把无限自由度体系简化为有限自由度体系计算，避免微分方程的求解。,