带有自锁式关节的农业六足机器人能耗优化模型及验证.docx

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1、张 春，杨明金，陈 建 ，蒋 猛，马永昌，冀 杰 第 32 卷 第 18 期 农 业 工 程 学 报 Vol.32 No.18 2016 年 9 月 Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering Sep. 2016 73 带有自锁式关节的农业六足机器人能耗优化模型及验证 （西南大学工程技术学院，重庆 400715） 摘 要： 六足机器人具有成为丘陵山区未来重要农业装备的潜力，但高能耗是其实际应用的技术瓶颈。普通机器人关节 无自锁特性导致其在静立时也需耗能以克服重力，而如果让关节自锁以保证静立时不耗能，则运动能耗又

2、将大幅提高。 为此，该文以机器人在运动及静立过程中的综合能耗最少为目标，给出带部分自锁式关节的六足机器人设计方案，提出 其能耗优化模型：引入经试验验证的关节正反向驱动力矩传递效率差异来修正现有模型缺陷，基于地面力学修正现有约 束条件，针对自锁式关节不同配置给出对应的目标函数。以模型给出的能耗极小值为评定依据，对自锁式关节进行优化 配置。试验及仿真结果表明：所提出的能耗优化模型比现有模型更准确，能进一步降低运动能耗 40%以上；对特定构型 的六足机器人，不使用自锁式关节时静立功耗超过 38 W，所有关节均可自锁时运动能耗比前者高 3 倍以上；在应用该文 优化模型和最优关节配置方案后，既可保证静立

3、能耗为 0，又可保证运动能耗与不使用自锁式关节时基本相当：完成 30 下坡、平路、 30上坡行走时，运动能耗仅分别高出 14.2%、 16.3%、 45.5%。该文提出的能耗优化模型可为带有自锁式关 节的农业六足机器人设计和能耗优化提供理论支持。 关键词： 机器人；优化；模型；能耗优化模型；自锁式关节；丘陵山区；农业装备 doi： 10.11975/j.issn.1002-6819.2016.18.010 中图分类号： TP242 文献标志码： A 文章编号： 1002-6819(2016)-18-0073-11 张 春，杨明金，陈 建，蒋 猛，马永昌，冀 杰 . 带有自锁式关节的农业六足机器

4、人能耗优化模型及验证 J. 农业 工程学报， 2016， 32(18)： 73 83. doi： 10.11975/j.issn.1002-6819.2016.18.010 http:/www.tcsae.org Zhang Chun, Yang Mingjin, Chen Jian, Jiang Meng, Ma Yongchang, Ji Jie. Energy consumption optimization model of agricultural hexapod robot with self-locking jointsJ. Transactions of the Chinese

5、 Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(18): 73 83. (in Chinese with English abstract) doi： 10.11975/j.issn.1002-6819.2016.18.010 http:/www.tcsae.org 0 引 言 六足 机器人能适应崎岖地形，当以电机驱动时 ，其 关节机构紧凑小巧且可利用太阳能接续能量，有望成为 丘陵山区搭载打孔 、 施肥 、剪 枝和采摘等作业工具的移 动动力平台 。但 是，在丘陵山区对机器人进行能量补给 会遇到多

6、种困难，因此能量自给自足是使机器人具有实 用性的重要前提；要实现能量自给自足，最大限度减少 机器人能量消耗是必须考虑的问题 。 然 而，普通六足机 器人关节无自锁特性，静立时将产生与关节支撑力矩平 方项有关的电机热损耗 1；在进行上述作业或跟踪太阳方 位充电时，经常需要机器人以某一姿态较长时间保持静 立，这意味着一部分能量将被消耗 。 一些关节锁定装置 可避免此能耗，但装置本身又会带来额外能耗 、 机构臃 肿、锁定角度离散等其它问题 2-5。如果使机器人关节具 有自锁特性，则当关节电机不通电时，各关节会因自锁 收稿日期： 2016-04-19 修订日期： 2016-08-08 基金项目：重庆市

7、应用技术研究开发项目（重点项目） CSTC2013YYKFB70002）； 重庆市应用技术研究开发项目（ CSTC2013YYKFA0123）；教育部中央高校 基本科研业务费项目（ XDJK2014C030） 作者简介：张 春，男，重庆人，主要从事农业机器人领域研究。重庆 重庆市 北碚区西南大学工程技术学院， 400715。 Email： 通信作者：陈 建，男，重庆人，教授，博士生导师，主要从事农业机械 化工程领域研究 。 重庆 重庆市北碚区西南大学工程技术学院， 400715。 Email： 。农业工程学会会员：陈 建（ E041200111S） 无法转动，从而自然保持静立又不耗能；但自锁

8、式关节 传动效率的理论值很低，甚至小于 50%6-7，其产生的关 节传动装置摩擦损耗将导致运动能耗大幅增加 。 为了使 机器人在静立及运动过程中的综合能耗最少，本文提出 带有部分自锁式关节的六足机器人设计方案及其能耗优 化模型。 通过 对自锁式关节的使用数量和使用位置进行 合理 配置，可以使机器人刚好能在任意姿态保持静立而不耗 能 。 为从多种配置中选择对运动能耗影响最小的方案， 使用运动能耗极小值作为评定依据 。 求极小值需要用到 机器人能耗优化模型，现有模型 8-12存在缺陷且未考虑自 锁式关节的影响，本文在现有模型基础上提出带自锁式 关节的机器人能耗优化模型：引入经试验验证的关节正 反向

9、传动时的力矩传递效率差异来修正现有模型缺陷， 基于地面力学修正约束条件，针对自锁式关节的不同配 置给出对应的目标函数 。 本文提出的能耗优化模型随自 锁式关节配置方案不同而改变，但呈现出明显的系列特 征，能准确给出带自锁式关节的机器人关节力矩最优解 和运动能耗极小值，从而在多种配置中找到最优方案， 可为农业六足机器人的设计和优化提供理论支持。 1 机器人构型及步态轨迹参数 求解 六足机器人能耗优化问题一般是在确定的 步态 轨迹参数下进行的，否则将面对一个 NP-hard 问题 13， Body radius/m 0.3 Gait cycle T/s 6 Foot lifting height/

10、m 0.1 Body thickness/m 0.2 Duty factor 5/6 foot/(ms-1) 0 30 0.125 Initial acceleration of foot/(ms-2) 0.1 Stride size S/m 大腿长度 speed v/(ms-1) 0.025 foot/(ms-1) 0 Thigh length/m 0.3 大腿质量 foot/(ms-2) -0.1 Thigh mass/kg 2 Lower leg length/m 0.3 Lower leg mass/kg 2 74 农业工程学报（ http:/www.tcsae.org） 2016 年

11、 因此先确定机器人构型方案及运动参数，再建立能耗优 化模型 。 机器人在丘陵山区从事农业作业时，应具有较 大的工作空 间、 静态稳定性和承载能力，以避免过多移 动或发生倾覆；运动模式最好 “ 各向同 性 ” ，以避免转 弯移动；与哺乳动物类腿构型相比，昆虫类腿构型工作 空间和静态稳定 性更优 9,14； 6 条腿采用中心对称布置， 既可比 4 条腿有更好的静态稳定性，也可满足 “ 各向同 性 ” 要求；机器人模型如图 1 所示。类似机器人还有大 阪大学的 ASTERISK、 俄罗斯的 NMIIIA、 NASA 的 ATHLETE、米兰理工大学的 NOROS 机器人等 15-17。机 器人各腿均

12、有 3 个主动自由度，由 3 个旋转关节组成， 如图 2 所示。 根关 节转轴垂直于本体底盘，髋关节与根关节 转轴 垂直相交（可获得更大的单腿工作空间）且与膝关节平 行； 3 关节依次将本体、大腿和小腿连在一起，分别由直 流电机通过多级齿轮或自锁蜗轮蜗杆减速驱动 。 机器人 主要物理参数见表 1。 为合 理选定步态及轨迹规划参数，不失一般性 地把 山地行走过程简化为在土壤斜坡平面上以摆动波浪步态 行走 。 波浪步态被证明是稳定性和承载能力最优的周期 步态 18，而摆动波浪步态又是其中最节能的 15。设定步 行时本体底板与地表平行，初始姿态各小腿与大腿及地 表均垂直，相邻大腿间夹角均为 60。如

13、图 1，机器人以 匀速 v 沿实线箭头方向行走，步态周期的同一时段 (1s)内 仅 1 条腿摆动，摆腿顺序为 L1-R1-L2-R2-L3-R3，摆动腿 的足端轨迹由时间 t 的 6 次多项式确定 19。步态及轨迹参 数意义分别见文献 9和 19，取值见表 1。 表 1 机器人主要参数 Table 1 Main parameters of robot 物理参数 Physical parameters 取值 Values 步态参数 Gait parameters 取值 摆动腿轨迹参数 取值 Values Trajectory parameters Values 本体半径 本体厚度 步态周期 占地

14、系数 足端离地最远距离 足端起始点速度 Initial speed of 1.腿 L1(i=1) 2.腿 L2(i=2) 3.腿 L3(i=3) 4.腿 R3(i=4) 5.腿 R2(i=5) 6.腿 R1(i=6) 7.本体 8.作业工具 1.Leg-L1(i=1) 2.Leg-L2(i=2) 3.Leg-L3(i=3) 4.Leg-R3(i=4) 5.Leg-R2(i=5) 6.Leg-R1(i=6) 7.Body 8.Farm machinery 注： v 为机器人运动速度，其大小单位为 ms-1； w 为机器人所受合外力 /力 矩矢量，其力分量大小单位为 N，力矩分量大小单位为 Nm；

15、 GND-xgygzg 为地面坐标系； COG-xyz 为机器人本体固连坐标系； 3G 为腿 L3 足端固连 触地点坐标系； f3x、 f3y、 f3z 为 3G 下的足端支反力分量， N； i 为机器人腿编 号。下同。 Note: v represents the speed of robot, the unit of its magnitude is ms-1; w represents external forces and moments acting on robot, the units of the forces are N, and the units of the momen

16、ts are Nm; GND-xgygzg represents earth-fixed coordinate; COG-xyz represents body-fixed coordinate; 3G represents foot-fixed coordinate of leg-L3 which established only when the foot is in contact with ground; f3x, f3y, f3z represent components of foot-ground reaction forces in3G, N; i represents num

17、ber of robot legs. The same as below. 图 1 机器人模型及受力示意图 Fig.1 Robot model and force diagram 1.根关节 (j=1) 2.髋关节 (j=2) 3.膝关节 (j=3) 4.大腿 5.小腿 6.球铰 1.Root joint (j=1) 2.Hip joint(j=2) 3.Knee joint(j=3) 4.Thigh leg 5.Lower leg 6. Spherical hinge 注： j 为腿关节编号，下同。 Note: j represents number of joints of a robot

18、 leg, the same as below. 图 2 机器人腿结构 Fig.2 Leg mechanisms 本体质量（含作业 迈步步长 足端起始点加速度 工具） Body mass (tools included)/kg 步行速度 足端终到点速度 Walking Final speed of 足端终到点加速度 Final acceleration of 小腿长度 小腿质量 2 机器人能耗优化模型 机器人运动参数确定的情况下，只需对运动过程的每 一瞬时进行能耗优化，主要方法有脚力分配优化和力矩分 配优化。后者可以充分利用足地间的摩擦力减小整机能 耗，比前者优化效果更好 8-9。以下针对带有

19、自锁式关节的 机器人，基于力矩分配方法建立运动能耗优化模型。 2.1 能耗优化模型目标函数 2.1.1 自锁式关节力矩传递效率 能耗 优化模型应以机器人整机能耗为目标函数 ，而 机器人运动时各关节的传动装置摩擦损耗是整机能耗的 最重要来源之一 1。因此，必须正确评定机器人关节摩擦 损耗，才能建立准确的能耗优化模型 。 常见机器人关节 是以无自锁特性的齿轮减速传动的关节（以下称 “ 不自 锁关节 ” ），而以自锁蜗轮蜗杆减速传动的关节是典型 的自锁式机器人关节（以下称 “ 自锁关 节 ” ） 。 当关节 对外作正功，即关节转速与关节驱动力矩同向时（以下 称 “ 正向驱动 ” ）， 2 种关节的摩

20、擦损耗均可用机械效率 来反映 。 但是，当外界对关节作正功，即关节转速与驱 采用比阻 ( Probot (t)dt) /(M g S) 来评定机器人 ) 2 2 2 ij2 。 （ 7） ij 其中 (x) wp T2 tan tan(v ) Nw tan 。 （ 2） tan v 。 （ 3） t t wn T2 tan tan(v ) 第 18 期 张 春等：带有自锁式关节的农业六足机器人能耗优化模型及验证 75 动力矩反向时（以下称 “ 反向驱动 ” ），不能用机械效 率来反映自锁关节摩擦损耗，因为自锁关节反向驱动时 不存在机械效率 。 然而，无论关节处于何种驱动状态， 总伴随着电机驱动

21、力矩到负载力矩的传递损失，都可用 力矩传递效率表示，因此 用力矩传递效率来评定关节摩 擦损耗，并建立整机能耗模型。 图 3 为右旋自锁蜗轮蜗杆反向驱动受力图。 Ft2、 Fa2、 Fr2 依次为 P 点处法向力、作用在蜗杆上的周向、 轴向、径向外力和对应作用在蜗轮上的外力， N。式（ 1）、 （ 6）分别为典型蜗轮蜗杆关节正反向 驱动力 矩传递效率 公式，当关节自锁时 v 6-7，于是有 wp1，显然 n p。进一步地， 同一齿轮箱正反向驱动机械效率并不相同，即 nm pm 且通常 nm1/pm=1/p1p。图 4c 表示自锁关节反向驱动，此时电机和外力矩均对齿轮 箱作正功，这些能量都流入齿轮

22、箱并由摩擦损耗掉，自 锁蜗轮蜗杆关节力矩传递效率此时满足式（ 6）。 由式（ 2）（ 5）可得 。 （ 6） Nw T1 式中 wp、 wn 为蜗轮蜗杆正、反向驱动力矩传递效率； f 为摩擦因数； n、 、 v 分别为法向压力角、导程角和当 量摩擦角， ()； d1、 d2 为蜗杆蜗轮分度圆直径， m； T1、 T2 为蜗杆、蜗轮上的外力矩， Nm； Fn、 Ft1、 Fa1、 Fr1、 为对 比分析自锁关 节对机器人能耗的影响，先 假定 两相同构型机器人 和 ，其关节分别采用 “ 2 级齿轮 +1 级自锁蜗轮蜗杆 ” 传动和 6 级齿轮传动，机器人 关节 不自锁。同一机器人各关节设计相同，总

23、传动比均为 N =800 ；每一级齿轮传动比不超过 4，具体传动方案略。 根据文献 22，取单级齿轮正向驱动力矩传递效率（含轴 承效率）为 gp=gpm=0.96；反向传动机械效率 gnm=0.87， 相应力矩传递效率 gn=1/gnm=1/0.87。文献 22并未确定 Ra 1 1 2k N p n Ra 1 1 2k N p n B ) ， C ， D ， s 0 x 0 。 （ 10） min Probot ( ) Pij 。 （ 8） M gp bp tan M gp bn tan tan( v ) tan( v ) 2 2 2ij ij ijRa ij ij 0 ij ij 0 Pi

24、j ij ij 2 2 2 ij2 ij ij 0 ij ij p 2 2 2 ij ij ij 0 ij2 ij ij 0 2 2 6 ij 2 2 6 M M ir fi 76 农业工程学报（ http:/www.tcsae.org） 2016 年 普 通直齿轮正反向驱动机械效率明显不同的理论解释， 目前也较少发现其他研究涉及这一问题，因此计算时直 将式（ 8）写为矩阵形式可得机器人 能耗优化模型 目标函数 接使用其试验数据 。 综上，机器人能耗优化模型目标函 数如下，式中 Pij 见表 2。 min Probot ( ) A T sign(diag() diag( ) B T sign(

25、diag() diag( )2 C T sign(diag() diag( ) 。（ 9） D T sign(diag() diag( )2 式中， =(1163)T 为优化设计变量， A M 2 2 ( 2 2 ) ， 2 2 2 2 M 1 1 1 1 2p 2n 2p 2n (11 63 )T ； X=diag(x)表示依次以 x 各元素为对角线 1.电机 2.齿轮箱 3.负载 1.Motor 2.Gear box 3.Load 注： 为关节驱动力矩， Nm； Td 为电机输出力矩， Nm； pM 为电机对齿轮 箱输出功率， W； po 齿轮箱对负载输出功率， W； 为关节转角， rad

26、； N 为 元素建立对角阵 X， S=sign(X)表示对矩阵 X 各元素按式 （ 10）取值 1 x 0 1 x 0 关节总传动比；直线箭头代表能量流动方向，下同。 Note: is represents joint output torque, Nm; Td is represents motor output torque, Nm; pM represents power from motor to gearbox, W; po represents power from gearbox to load, W; represents joint angle, rad; N represe

27、nts total transmission ratio of joint; the straight arrow represents the direction of energy flow. The same as below. 图 4 关节力矩和能量传递示意图 Fig.4 Schematic diagram of joint torque and energy transmission min 同理得机器人 能耗优化模型目标函数 Probot ( ) A T sign(diag() diag( ) B T E18 tr(max(1/p ) diag() diag( ), 01818)

28、（ 11） 6 3 i1 j1 式中， E 为单位阵， 0 为零矩阵； Z=maxX,Y表示矩阵 Z 中各元素 zij 等于矩阵 X 和 Y 对应元素 xij 和 yij 中较大的一 个， tr(X)代表求阵 X 的迹。 表 2 机器人 I、 II 关节力矩传递效率及电机功耗表达式 Table 2 Joint torque transmission efficiency and motor power consumption expression of robot I, II 关节正向驱动 Joint forward drive 关节反向驱动 Joint reverse drive 关节正向驱

29、动 Joint forward drive 关节反向驱动 Joint reverse drive 总力矩传递效率 公式及取值 Expression and value of torque transmission efficiency 关节电机功耗表 达式 Expression of power consumption of joint motor p M gp wp bp n M gp wn bn 2 gp=0.96, bp=0.9, a gp=0.96, bn=0.62, M=0.77, =3.58, M=0.77, =3.58, v=4.8; p=0.274 v=4.8; n=1.30

30、p kM p N 0 b Ra n kM n N 2 p M gp 9,22 gp=0.96, M=0.77; p=0.60 P Ra 2 kM p N Ra kM n N2 n M gn gn=1/0.87, M=0.77; n=1.78 注： a. 蜗轮蜗杆传动各参数按试验设定和结果 (见 3.1 节 )取值；电机力矩效率 M 按 FAULHABER-2342 直流电机技术文件选取； b. ij 0 时，关节自锁不耗 能； ij 0, ij=0 一般不在静稳定步态中出现。机器人 I、 II 构型相同，但关节分别采用 “ 2 级齿轮 +1 级自锁蜗轮蜗杆 ” 传动和 6 级齿轮传动，机器人

31、II 关节 不自锁。 p、 n、 gp、 gn、 wp、 wn、 bp、 bn 两两依次为关节正反向驱动时的总力矩传递效率、单级齿轮力矩传递效率、蜗轮蜗杆力矩传递效率、安装轴承 力矩传递效率； M 为电机力矩效率； v 为当量摩擦角， ()； Ra 为电机电枢电阻， 。 Note: a. The parameter values of the worm are from the experimental setup and results(section 3.1);the motor torque efficiency M is from FAULHABER-2342 motor techni

32、cal documentation; b. When ij 0, no energy consumed because the joint is locked; the situation when ij 0, ij=0 is rare in the static gait. Robot I and II have the same configuration, while their joints using “two-stage gear + a self-locking worm” drive system and six-stage gear drive system, joints

33、of robot II are not self-locking. p, n, gp, gn, wp, wn, bp, bn in pairs represent torque transmission efficiency of a whole joint, one-stage gear system, self-locking worm gear and installed bearing in turn; M represents torque efficiency of motor; v represents equivalent friction angle, (); Ra repr

34、esents motor armature resistance, . 2.2 能耗优化模型约束条件 2.2.1 等式约束条件 机器 人足端与地面视为点接触，忽略足受地面 力矩 作用，本体固连坐标系及足端受力（以腿 L3 为例）如图 1。令 w=Fx Fy Fz Mx My MzT 为机器人所受包括惯性力 / 力矩在内的合外力 /力矩矢量，外力分量 Fx、 Fy、 Fz 的单 位为 N，外力矩分量 Mx、 y、 z 的单位为 N m ； =r1,rs 和 ip=p1,pt分别为支撑腿和摆动腿编号集，显然 s+t=6； xi yi ziT 为 i 腿足端在本体坐标系下位置矢量； =fix fiy

35、 fizT 为 i 腿足端在本体坐标系下支反力矢量，各分量单位为 N； 1 s p1 pt f 。 J f ,i i ， （ 13） J T 03 A 063t 03s3t rs Jrs T 03t3s E3t 03 p1 E3t 03t3s w A 063t 03s3t rs p1 Jrs T E3t 03t3s 0 zi yi ， Ri zi 式 中 ， A Rrs Rr1 fiGx iGy iGz tan )(1 e ) 0 f (r c f tan )(1 e ) (r2 c fiGz tf 2 ft3 2 fiGx fiGz C 2 fiGx fiGz C 2 fiGy fiGz C

36、 fiGx fiGy ft1 ft2 ft3 (r c fiGz tan )(1 e ) 。（ 16） 2 1 0 / C / 2 式中 Ui 1 ， qi C / 2 / 。若土壤性 C / 2 0 2 r1 j f j 第 18 期 张 春等：带有自锁式关节的农业六足机器人能耗优化模型及验证 77 fr frT , , frT T 和 f p f T , , f T T 03t 分 别 为 支 撑 腿和摆动腿支反力合矢量； i=i1 i2 i3T 为 i 腿关节驱动 力矩矢量， Ji 为 i(i ir)腿速度雅克比矩阵。静稳定步态 行走时，根据力平衡条件有（ 12）、（ 13）式成立，并

37、可推得（ 14）式为等式约束条件 8-12。 面所受土壤剪应力合力， N；三者均沿平行于地表的足端 滑移方向。 A 063t fr w 03t3s E3t p 03t （ 12） T i i i i r r1 1 Aeq pt r1 。（ 14） J T 03 03t 03t3s E3t 03 pt Beq E3 E3 0 xi ， yi xi 0 i ir 为旋转矩阵； i 为动力学引起的 i 腿各关节负载力矩 矢量，由拉格朗日方法获得 20 。 2.2.2 不等式约束条件 机器 人步行时还应满足足地稳定 接触无滑移的 基本 要求，常表示为足端与水平硬质地表接触的摩擦不等式 约束条件 8,9

38、,23,24。对于丘陵山区常见的板结土壤地表，这 一约束条件不再适用。图 5 为 i 腿圆盘形足端作用于土壤 表面发生轻微下陷和滑移的受力示意图，以圆盘中心为 原点，垂直于地面为 z 方向建立与足固连的触地点坐标系 iG，设 fiG=fiGx fiGy fiGzT， (i ir)为 iG 下足端支反力，根 据地面力学应力分布方程 25-26对足地接触面进行应力积 分得 fiGz r2 (kc / r k )hn ， （ 15） 2 2 2 j / K ft2 ft3 式中 h 为下陷深度， cm； r 为圆盘半径， cm； n 为土壤变 形指数， kc 为土壤变形黏聚力模量， Ncm-n+1；

39、 k 为土壤 变形内摩擦力模量， Ncm-n； j 为足端剪切位移量， cm； K 为土壤剪切变形模量， cm； c 为土壤黏聚力， Ncm-2； 为土壤内摩擦角， ()。 ft1 为足底所受土壤剪应力合力， N； ft2 为足端侧面所受被动土压力合力， N； ft3 为足端侧 注： fiGz 为 iG 下足端支反力 z 分量， N； h 为足下陷深度， cm； df 为圆盘足 厚度， cm； 为足端剪切位移量， cm； 为足底所受地表法向平均应力， Ncm-2； 为足底所受地表剪应力， Ncm-2； ft2 为足端侧面所受被动土压力合力， N； ft3 为足端侧面所受土壤剪应力合力， N。

40、Note: fiGz represents z component of foot-ground reaction forces in iG, N; h represents stamping depth of foot, cm; df represents thickness of disc foot, cm； j represents shearing displacement of foot, cm； represents average normal stress acting on the bottom of foot, Ncm-2; represents shearing stre

41、ss acting on the bottom of foot， Ncm-2； t2 represents passive earth pressure acting on the side of foot, N; ft3 represents resultant force of shearing stress acting on the side of foot, N. 图 5 i 腿足端与土壤表面作用示意图 Fig.5 Force diagram of leg-i foot contact with soil surface 由于板结土壤的 kc 和 k 值一般较大，下陷深度 h 很 小

42、，因此可忽略 ft2 和 ft3，使得不等式约束更严格以确保 足地稳定接触更加可靠而不打滑。当 j2K 时剪切应力接 近饱和状态 25， 将不断扩大导致静立稳定性被破坏，因 此需保证 j 不大于许用值 jlim。此外还应保证足地间无虚 接触，于是有 2 2 2 jlim / K 。 jlim / K （ 17） 将式（ 17）进行线性化，得到如式（ 18）所示的内 四棱锥约束 23。 。 （ 18） 2 fiGy fiGz C 式中 =(1e-jlim/K)tan， C=(1e-jlim/K)r2c。令 iRB 为本体 坐标系到 iG 的旋转变换矩阵，则 i 腿不等式约束条件可 写为式（ 19）。 Ui i RB fi qi 0 。 （ 19） 0 / 2 1 0 1 / 2 C / 2 质相同，则结合式（ 13）可得不等式约束矩阵形式为式 （ 20）。优化计算中，选取 jlim=K，其余土壤及地面力学 参数选用了野草覆盖未耕地 (黏性土 )相关数据 26。 JrT RB 043 03 Ur1 03 03s3t 03s3t 0 JT p1 043 Urs 03 RB 3 E3t E3t 03t3s 03t3s E3t 03t3s J Ur1 r1 RB 043 03 03 w