2016年高考文科数学北京卷含答案.docx

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1、数学试卷第 1 页（共 6 页）数学试卷第 2 页（共 6 页）数学试卷第 3 页（共 6 页）绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（）|24xxA|5x xxB 或=ABA. B. 5|2xx|5x xx 或C. D. |2xx |5x xx 或2. 复数（）12i 2i

2、A.B. i1i C. D. i1i3.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A. 8B. 9C. 27D. 364. 下列函数中，在区间上为减函数的是（）1 1（，）A. B. 1 1yxcosyxC. D. ln1yx（）2xy5. 圆的圆心到直线的距离为（）2212xy（）3yxA. 1B. 2C. D. 22 26. 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）A. B. 1 52 5C. D. 8 259 257. 已知，.若点在线段 AB 上，则的最大值为（）2 5A （，）41B （，）P xy（，）2xyA. B. 31C. 7D. 8 8. 某学校运

3、动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳（单位：次）63a75606372701a b65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则（）A. 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B. 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C. 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D. 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第二部分（非选择题共 110

4、 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 已知向量 a，b，则 a 与 b 夹角的大小为_.13 （，）31 （，）10. 函数的最大值为_.21xf xxx （）=（）11. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.12.已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，2222100xyabab（，）20xy5 0（，）则_；_.=a=b13.在中，则_.ABC2=3A3acb c14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第

5、一天售出但第二天未售出的商品有_种；这三天售出的商品最少有_种.三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）已知是等差数列，是等比数列，且， na nb23b 39b 11ab144ab（）求的通项公式； na（）设，求数列的前 n 项和.nnncab nc-在-此-卷-上-答-题-无-效- -姓名_ 准考证号_数学试卷第 4 页（共 6 页）数学试卷第 5 页（共 6 页）数学试卷第 6 页（共 6 页）16.（本小题满分 13 分）已知函数的最小正周期为.=2sincoscos20f xxxx（）（）（）求的值；（）求的单调

6、递增区间.f x（）17.（本小题满分 13 分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人月水量中不超过立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（）如果为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为80%4 元/立方米，至少定为多少？（）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当时，估计该市居3民该月的人均水费.18. （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥中，平面，.PABCDPC ABCDAB DCDCAC（）求证：平面；DC PAC（）求证：平面平面；

7、PABPAC（）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明EABPBFPACEF理由.19. （本小题满分 14 分）已知椭圆：过点，两点.C22221xy ab2 0A （，）01B （，）（）求椭圆的方程及离心率；C（）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与PCPAyMPB轴交于点.求证：四边形的面积为定值.xNABNM20. （本小题满分 13 分）设函数.32=xxabxfxc（）（）求曲线在点处的切线方程；yxf （）0f(0， ( )（）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；4abf x（）c（）求证：是有三个不同零点的必要不充分条件.230abf x（）数学试

8、卷第 7 页（共 6 页）数学试卷第 8 页（共 6 页）数学试卷第 9 页（共 6 页）2016 年普通高等学校全国统一考试（北京卷） 数学（文）答案解析 第一部分一、选择题1.【答案】C【解析】由题意得，故选 C.(2,3)AB I【提示】对连续的数集间的运算，常利用数轴.【考点】集合的交集运算.2.【答案】A【解析】，故选 A.12i(12i)(2i)2i4i2i2i(2i)(2i5) 【提示】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.【考点】复数运算.3.【答

9、案】B【解析】分析程序框图可知，程序的功能等价于输出，故选 B.33129s 【提示】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制循环的条件） ，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.【考点】程序框图.4.【答案】D【解析】由在上单调递减可知 D 符合题意，故选 D.122x xyR【提示】函数单调性的判断常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.【考点】函

10、数单调性.5.【答案】C【解析】圆心坐标为（1，0） ，由点到直线的距离公式可知，故选| 103|22d C.【提示】运用点到直线的距离公式可求出.【考点】直线与圆的位置关系.6.【答案】B【解析】5 名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有（甲，乙） ， （甲，丙） ， （甲，丁） ， （甲，戊） ， （乙，丙） ， （乙，丁） ， （乙，戊） ， （丙，丁） ， （丙，戊） ， （丁，戊） ，共种.其中甲被选中的情况有（甲，乙） ， （甲，丙） ， （甲，丁） ， （甲，432110 戊） ，共 4 种，故甲被选中的概率为.42 105【提示】如果基本事件的个数比较少，可用

11、列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件 A 中的基本事件数，利用公式求出事件 A 的概率.如果( )mP An基本事件个数比较多，也可借助两个计数原理及排列、组合知识直接计算 m，n，再运用公式求概率.【考点】古典概型.7.【答案】C【解析】由题意得，线段 AB 的方程：，5 11(4)2924yxyx 24x，当时等号成立，即的最大值22( 29)494497xyxxx 4x 2xy为 7，故选 C.【提示】对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，将二元函数化为一元函数求值域.【考点】函数最值.8.【答案】B【解析】将确定的 30 秒跳绳成绩按从大到小

12、的顺序排列，分别是 3，6，7，10，1、5 并列，4，其中，3，6，7 号进入立定跳远的决赛，此时可确定 3，6，7 号进入 30 秒跳绳比赛决赛的名单，现还需 3 个编号为 18 的同学进入决赛，而 1、5 并列，2 与 8 的成绩仅相隔 1，故只能 1，5 进入 30 秒跳绳的决赛，故选 B.【提示】根据表格中数据分析排名的多种可能性，列举的关键是要有序（有规律） ，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.【考点】统计. 第二部分二、填空题9.【答案】 6【解析】两向量夹角为，又两个向量夹角范围是，所2 33cos,222a ba b a b A A0,以夹角为. 6【提示】由向量数

13、量积的定义（为的夹角）可知，数量积的值、cosa ba b AA Aab，模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.【考点】向量数量积与夹角公式.10.【答案】2【解析】，即最大值为 2.1( )11 121f xx 【提示】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.【考点】函数最值，数形结合.11.【答案】3 2【解析】四棱柱的高为 1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为.13(12) 122 3 2【提示】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.【考点】三视图.12.【答案】12数学试卷第 10 页（共

14、6 页）数学试卷第 11 页（共 6 页）数学试卷第 12 页（共 6 页）【解析】依题意有，结合，解得.52c b a 222cab12ab，【提示】利用所给条件得，然后解方程即可.5c 2ba222abc【考点】双曲线的基本概念.13.【答案】1【解析】由正弦定理知，所以，则，所以sin3sinCAa c2sin13sinC23 6C ，所以，即.2366B bc1b c【提示】由正弦定理列出关于 b、c 的方程，再将方程转化为以为变元的方程求解.b c【考点】正弦定理.14.【答案】1629【解析】设第一天售出的商品种类构成集合 A，第二天售出的商品种类构成集合 B，第三天售出的商品种类

15、构成集合 C，关系如图.第一天售出但第二天未售出的共 16 种.若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的 14 种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的 16 种商品中，此时共有种.1636429【提示】分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.【考点】统计分析.三、解答题15.【答案】 （）21(1,2,3nann )（）.231 2n n【解析】 （）等比数列的公比， nb32933bqb所以，.2 11bbq4327bb q设等差数列的公差为 d.na因为，111ab14427ab所以，即.1 1327d2d 所以2

16、1(1,2,3nann )（）由（）知，.21nan13nnb因此.1213nnnncabn 从而数列的前 n 项和 nc113(21)133nnSn (121)13 213nnn231 2n n【提示】 （）求出等比数列的公比，再求出的值，根据等差数列的通项公式 nb114aa，求解；（）根据等差数列和等比数列的前 n 项和公式求数列的前 n 项和. nc【考点】等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式.16.【答案】 （）1（）3, ()88kkkZ【解析】 （）因为( )2sincoscos2f xxxxsin2cos2xx，2sin 24x所以的最小正周期.( )f x2 2T依题意

17、，解得.1（）由（）知.( )2sin 24f xx函数的单调递增区间为.sinyx2 ,2 ()22kkkZ由，得.2 22 242kxk388kxk所以的单调递增区间为.( )f x3, ()88kkkZ【提示】 （）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；( )f x（）根据函数的单调递增区间对应求解即可.sinyx【考点】两角和的正弦公式，周期公式，三角函数的单调性.17.【答案】 （）3（）10.5 元.【解析】 （）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，0.5 1 ，内的频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.(11.5，(1.5 2，(

18、22.5，(2.5 3，所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%.依题意，w 至少定为 3.（）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.158 0.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5 （元）【提示】 （）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；（）

19、由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值 对应频率即为人均水费估计值进行求解即可.【考点】频率分布直方图，频率，平均数的估计值.18.【答案】 （）因为，PCABCD 平面数学试卷第 13 页（共 6 页）数学试卷第 14 页（共 6 页）数学试卷第 15 页（共 6 页）所以.PCDC又因为，DCAC所以.DCPAC 平面（）因为，ABDCDCAC所以.ABAC因为，PCABCD 平面所以.PCAB所以.ABPAC 平面所以.PABPAC平面平面（）棱 PB 上存在点 F，使得.证明如下：PACEF平面取 PB 中点 F，连结

20、 EF，CE，CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以.EFPA又因为，PACEF 平面所以.PACEF平面【提示】 （）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明；（）取 PB 中点 F，连结 EF，则，根据线面平行的判定定理证明EFPA.PACEF平面【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理，空间想象能力，推理论证能力.19.【答案】 （）2 214xy3 2e （）设，则.0000()00()P xyxy,22 0044xy又，0(2 )A ，1(0 )B ，所以直线 PA 的方程为.00(2)2yyxx令，得，从而.0x 002 2Myyx002112MyBMyx 直

21、线 PB 的方程为.0011yyxx令，得，从而.0y 001Nxxy 00221NxANxy所以四边形 ABNM 的面积 1 2SANBMA00002121212xy yx22 000000000044484 2(22)xyx yxy x yxy000000002244 22x yxy x yxy2从而四边形 ABNM 的面积为定值.【解析】 （）由题意得，.2a 1b 所以椭圆 C 的方程为2 214xy又，223cab所以离心率.3 2cea【提示】 （）根据两顶点坐标可知 a，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（）四边形 ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别

22、求出对角线的值，求ANBM，乘积为定值即可.【考点】椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.20.【答案】 （）由，得32( )f xxaxbxc2( )32fxxaxb因为，(0)fc(0)fb所以曲线在点处的切线方程为.( )yf x(0,(0)fybxc（）当时，4ab32( )44f xxxxc所以.2( )384fxxx令，得，解得或.( )0fx23840xx2x 2 3x 与在区间上的情况如下：( )f x( )fx() ，x()2 ，222,32 32,3( )fx00( )f xc32 27c 所以，当且时，存在，0c 32027c 1( 4, 2)x 222,3x 32,03x 使

23、得.由的单调性知，当且仅当时，函数123()()()0f xf xxf( )f x320,27c有三个不同零点.32( )44f xxxxc（）当时，24120ab 2( )320fxxaxb()x ,此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点.( )f x() ,( )f x当时，只有一个零点，记作.24120ab 232fxxaxb0x当时，在区间上单调递增；0()xx ,( )0fx( )f x0()x,当时，在区间上单调递增.0(,)xx( )0fx( )f x0(,)x 所以不可能有三个不同零点.( )f x综上所述，若函数有三个不同零点，则必有.( )f x24120ab故

24、是有三个不同零点的必要条件.230ab( )f x当，时，只有两个不同零点，4ab0c 230ab32244()(2xxfxxx x所以不是有三个不同零点的充分条件.230ab( )f x因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.230ab( )f x数学试卷第 16 页（共 6 页）数学试卷第 17 页（共 6 页）数学试卷第 18 页（共 6 页）【提示】 （）求函数的导数，求切线方程；( )f x(0)fc(0)fb（）根据导函数判断函数的单调性，由函数有三个不同零点，求 c 的取值范( )f x( )f x围；（）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.【考点】利用导数研究曲线的切线，函数的零点.