2017年高考文科数学天津卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 18 页） 数学试卷 第 2 页（共 18 页） 绝密启用前天津市 2017 年普通高等学校招生考试 数学(文史类)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分,考试时间 120 分钟.第卷参考公式：如果事件 A,B 互斥,那么. P ABP AP B棱柱的体积公式.其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高.VSh球的体积公式.其中 R 表示球的半径.34 3VR一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,，则= ( )1,2,6A2,4B = 1,2,4C()C

2、ABA.B.C.D. 21,2,3 4，1,2 4 6，1,2,3 4 6，2.设,则“”是“”的 ( )xR20x11xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( )A.B.4 53 5C.D.2 51 54.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为 19,则输出的值为 ( )A.0B.1C.2D.35.已知双曲线的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,2222=1(0,)xyabab0是

3、边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为OAF( )A.B.22 =1412xy22 =1124xyC.D.2 2=1 3xy2 2=13yx 6.已知奇函数在 R 上是增函数.若,则( )f x0.8 221=(log), = (log 4.1), = (2)5afb fc fa,b,c 的大小关系为 ( )A.B.abcbacC.D.cbacab毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 18 页） 数学试卷 第 4 页（共 18 页）7.设函数,其中.若, =2sin()Rf xxx,0，5()=28f11()=0

4、8f且的最小正周期大于，则 ( )( )f x2A.B.2=, =312211=, =312C.D.111=, =32417=, =3248.已知函数设,若关于 x 的不等式在上恒成立,则2,1, 2,1.( )=xxxxxf x aRx( )a2f x a 的取值范围是 ( )A.B.2,22 3 2，C.D.2,2 32 3 2 3，第卷二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.已知,i 为虚数单位,若为实数,则 a 的值为 .Ri 2i 10.已知,设函数的图象在点处的切线为 l，则 l 在 y 轴上R( )=lnf xxx(1,(1)f的截距为 .11.已知一个

5、正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的 体积为 .12.设抛物线的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正2=4yx半轴相切于点 A.若,则圆的方程为 .120FAC13.若,则的最小值为 ., a bR0ab4441ab ab14.在中,.若,(),且，ABC60A 3AB 2AC =2BDBCuuu ruu u r AEACABuu u ruuu ruu u r R=4AD AEuuu r uu u r则的值为 .三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分

6、13 分)在中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知,ABCsin=4 sinaAbB.222= 5()acabc(I)求的值；cos A(II)求的值.sin(2)BA数学试卷 第 5 页（共 18 页） 数学试卷 第 6 页（共 18 页） 16.(本小题满分 13 分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、 乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播放 时间不

7、少于 30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别 用 x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I)用 x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥中,PABCDADPDC 平面ADBCPDPB=1AD,.3BC 4CD 2PD (I)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；(II)求证：；PDPBC 平面(III)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分 13 分)已知为等差数列,前 n 项和为,是

8、首项为 2 的等比数列,且公比 na* n(N )Sn nb大于 0,.2312bb3412baa114=11Sb()求和的通项公式； na nb()求数列的前 n 项和.2nna b*(N )n-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 18 页） 数学试卷 第 8 页（共 18 页）19.(本小题满分 14 分)设，.已知函数,.,Ra ba132( )=63 (4)bf xxxa ax( )=( )xg xe f x()求的单调区间；( )f x()已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，= ( )y g x=xy e00(,)xy

9、(i)求证：在处的导数等于 0；( )f x0=x x(ii)若关于 x 的不等式在区间上恒成立,求 b 的取值范围.( )xg xe001,1xx20.(本小题满分 14 分)已知椭圆的左焦点为,右顶点为 A,点 E 的坐标为2222=10xyabab(,0)Fc,的面积为.(0, ) cEFA22b(I)求椭圆的离心率；(II)设点 Q 在线段 AE 上,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴3=2FQc上,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c.PMQN(i)求直线 FP 的斜率；(ii)求椭圆的方程.2017 年普通高等学校招生全

10、国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第卷一、选择题1 【答案】B【解析】由题意知，.1,2,4,6AB 1,2,4ABC 数学试卷 第 9 页（共 18 页） 数学试卷 第 10 页（共 18 页） 2 【答案】B【解析】由，得，故“x 110x2022xx202xx”是“”的必要而不充分条件，故选 B.2x0x 113 【答案】C【解析】从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10 种不同取法：（红，黄） ， （红，蓝）， （红，绿） ，（红，紫） ， （黄，蓝） ， （黄，绿） ， （黄，紫） ， （蓝，绿） ， （蓝，紫） ， （绿，紫）而取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有（

11、红，黄） ， （红，蓝） ， （红，绿） ， （红，紫） ，共 4种，故所求概率.42 105P 4 【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为 19,18,6,2.故输出 N 的值为 2.5 【答案】D【解析】由是边长为 2 的等边三角形可知，又OAF2c tan603b a，联立可得，双曲线的方程为.222cab1a 3b 2 213yx 6 【答案】C【解析】由是奇函数可得，( )f x221(log)(log 5)5aff ，且函数是增函数，.0.8 222log 5log 4.1log 422( )f xcba7 【答案】A【解析】由，的最小正周期，可得5()28f11()0

12、8f( )f x2T，.再由及得1153 8844T3T 22=335()28f=128 【答案】A【解析】作出的图象如图所示，的图象经过点时，可知.当( )f x=|2xya(0,2)=2a 的图象与的图象相切时，由，得，由2xya2yxx2 2xaxx2240xax，并结合图象可得.要使恒成立，当时，需满足，=02a ( ) |2xf xa0a 2a 即，当时，需满足，所以.20a a02a 22a 第卷二、填空题9.【答案】2【解析】因为为实数，所以，即.i(i)(2i)21 (2)i=2i(2i)(2i)5aaaa +2=0a=2a 10 【答案】1【解析】因为，所以，又，所以切线 l

13、 的方程为1( )fxax(1)1fa(1)fa，令，得.(1)(1)yaax=0x=1y数学试卷 第 11 页（共 18 页） 数学试卷 第 12 页（共 18 页）11 【答案】92【解析】设正方体的棱长为 a，则，得，设该正方体外接球的半径为 R，则2618a 3a ，得，所以该球的体积为.233Ra3 2R 334439( )3322R 12 【答案】22(1)(3) =1xy【解析】由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为则,又( 1, )Ca(0)a(0, )Aa，所以，由题意得与的夹角为，得(1,0)F( 1,0)AC uuu r (1,)AFauuu r ACuuu r AFuu

14、u r120，解得，所以圆的方程为.211cos120211a 3a 22(1)(3)1xy13 【答案】4【解析】，由基本不等式得，44334141=abab abbaab，当且仅当，同时333341411244abababbaabbaabab334ab ba14abab成立时等号成立.14 【答案】3 11【解析】因为，所以2BDDCuuu ruuu r，因为，2212()3333ADABBDABBCABACABABACuuu ruu u ruuu ruu u ruu u ruu u ruuu ruu u ruu u ruuu rAEACABuu u ruuu ruu u r所以，因221

15、21212(+) ()()333333AD AEABACACABABACAB AC uuu r uu u ruu u ruuu ruuu ruu u ruu u ruuu ruu u r uuu r为，60A 3AB 2AC ，解得.12121894( ) 3 2324333323AD AE uuu r uu u r3=11三、解答题15.【答案】()5 5()2 5 5【解析】()由，及，得.由sin=4 sinaAbB=sinsinab AB2ab，及余弦定理，得.222= 5()acabc2225 55cos=25acbcaAbcac ()由()，可得，代入，得.由()知，2 5sin5

16、Asin4 sinaAbBsin5sin45aABbA为钝角，所以.于是，22 5cos= 1 sin=5BB4sin2 =2sincos=5BBB，故23cos2 =12sin=5BB.4532 52 5sin 2=sin2coscos2 sin=()=55555BABABA 16.【答案】()见解析()电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.【解析】()由已知，x，y满足的数学关系式为即7060600,5530,2 ,0,0,xyxyxyxy 7660620,0,0,xyxyxyxy ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：数学试卷 第

17、13 页（共 18 页） 数学试卷 第 14 页（共 18 页） ()设总收入人次为 z 万，则目标函数为.=60 +25zxy考虑，将它变形为，这是斜率为，随 z 变化的一族平行6025zxy12 525zyx 12 5直线.为直线在 y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值最大.又因为 x，y 满足约25z 25z束条件，所以由图 2 可知，当直线经过可行域上的点 M 时，即 z 最大.6025zxy解方程组，得点 M 的坐标为.7660 20xy xy ， ，(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.17 【答案】()5 5() 因为，直线，

18、所以，又因为，所ADPDC 平面PDPDC 平面ADPDBCAD以，又，所以.PDBCPDPBPDPBC 平面()5 5【解析】()如图，由已知，故或其补角即为异面ADBCDAP直线 AP 与 BC 所成的角.因为，所以.ADPDC 平面ADPD在中，由已知，得，故RtPDA225APADPD.5cos5ADDAPAP所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为.5 5()因为，直线，所以，又因为，所ADPDC 平面PDPDC 平面ADPDBCAD以，又，所以.PDBCPDPBPDPBC 平面()过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角

19、等于 AB与平面 PBC 所成的角.因为，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以为直线 DF 和平面PDPBC 平面DFPPBC 所成的角.由于，故，由已知，得.又，ADBCDFAB1BFAD2CFBCBFADDC故，在中，可得，在中，可BCDCRtDCF222 5DFCDCFRtDPF得.5sin5PDDFPDF所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为5 518【答案】()，.32nan2nbn().234 216n nTn【解析】()设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由已知 na nb，得，而，所以.又因为，解得2312bb2 112b qq12b 260qq

20、0q，所以，.2q 2nbn由，可得.由，可得，联立，3412baa138da 11411Sb1516ad解得，由此可得.11a 3d 32nan所以，的通项公式为，的通项公式为. na32nan nb2nnb 数学试卷 第 15 页（共 18 页） 数学试卷 第 16 页（共 18 页）()设数列的前 n 项和为，由，有2nna bnT262nan，234 2 10 216 2622nnTn ，234124 210 216 26826 -22nn nTnn上述两式相减，得231124 26 26 26 262212 (1 2 )4(62) 21 2 (34)216nn nn nnTnnn 得

21、.234 216n nTn所以，数列的前 n 项和为.2nna b234 216nn19【答案】()（2）（）（）（1）递增区间为，1 23 4a，递减区间为.（2）（）在处的导数等于4a，a 4a， xf0x=x0.（）b 的取值范围是.7,122xy=11612【解析】()由，可得32( )63 (4)f xxxa axb.2( )3123 (4)3()(4)fxxxa axaxa令，解得，或，由，得.( )=0fxxa4xa| 1a 4aa当 x 变化时，的变化情况如下表：( )fx( )f xx()a，( ,4)aa(4,)a( )fx+-+( )f x所以，的单调递增区间为，单调递减

22、区间为( )f x()a，(4,)a( ,4)aa()(i)因为，由题意知( )( ( )( )xg xef xfx000 0(), ()xxg xeg xe所以，解得00000 00()( ()()xxxxf x eeef xfxe0 0()1()0f xfx所以，在处的导数等于 0.( )f x0xx(ii)因为，由，可得.( )xg xe0011xxx，0xe ( )1f x 又因为，故为的极大值点，由()知.0(x )1f 0()0fx0x( )f x0xa另一方面，由于，故，由()知在内单调递增，在|1|a 1 4aa( )f x(1, )aa内单调递减，故当时，在上恒成立，从而(

23、,1)a a 0xa( )( )1f xf a1,1aa在上恒成立.( )xg xe001,1xx由，得，.32( )63 (4)1f aaaa aab32261baa11a 令，所以，令，解得(舍去)，32( )261t xxx 1,1x 2( )612t xxx( )0t x 2x 或.0x 因为，因此，的值域为.( 1)7t (1)3t (0)1t( )t x 7,1所以，b 的取值范围是. 7,120【答案】（1）（2）（）（）1 23 422xy=11612数学试卷 第 17 页（共 18 页） 数学试卷 第 18 页（共 18 页） 【解析】()设椭圆的离心率为e.由已知，可得，又

24、由，可21()22bca c222bac得，即，又因为，解得.2220caca2210ee 01e1 2e 所以，椭圆的离心率为.1 2()(i)依题意，设直线 FP 的方程为，则直线 FP 的斜率为(0)xmyc m1 m由()知，可得直线 AE 的方程为，即，与直线 FP 的方程2ac12xy cc220xyc联立，可解得，即点 Q 的坐标为.(22) 2mcxm3 2cym(22)3(,)22mcc mm 由已知，有，整理得，所以，3|2cFQ 222(22)33 +()()222mccccmm2340mm4 3m 即直线 FP 的斜率为.3 4(ii)由，可得，故椭圆方程可以表示为.2

25、ac3bc2222143xy cc由(i)得直线 FP 的方程为，与椭圆方程联立，消去 y,整理3430xyc22233430143xycxy cc得，解得(舍去)，或.2276130xcxc13 7cx xc因此可得点,进而可得,所以3(c,)2cP2235|()()22ccFPcc.53| |22ccPQFPFQc由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为，所以，所以的面积为QNFP339| | tan248ccQNFQQFNFQN，同理的面积等于，由四边形的面积2127|232cFQ QN FPM275 32c PQNM四边形为，得，整理得，又由，得.3c22752733232ccc22cc0c2c 所以，椭圆的方程为.22 11612xy