《23数学归纳法（1）》课件.ppt

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1、2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法问题提出问题提出 1. 1.归纳推理的基本特征是什么？归纳推理的基本特征是什么？由个别事实概括出一般结论由个别事实概括出一般结论. . 2. 2.综合法，分析法和反证法的基本思综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？想分别是什么？综合法：综合法：由已知推可知，逐步推出未知由已知推可知，逐步推出未知. . 分析法：分析法：由未知探需知，逐步推向已知由未知探需知，逐步推向已知. . 反证法：反证法：假设结论不成立，推出矛盾得假设结论不成立，推出矛盾得 证明证明. . 3. 3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定

2、正确，即使正确也但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性需要经过严格的证明才能肯定其真实性. . 综合法，分析法和反证法虽可证明某些综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的法，使之成为无与伦比的“黄金搭档黄金搭档”. .学科网探究（一）：探究（一）：数学归纳法的感性认识数学归纳法的感性认识 思考思考1 1：某人想排队进展览馆参观，不知某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；自己能否进得去，于是

3、问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去只要你前一个人能进去，你就能进去. .那那么此人能进去参观吗？若每个排队的人么此人能进去参观吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？都能进去参观，需要什么条件？（1 1）第一个人进去；）第一个人进去； （2 2）若前一个人进去，则后一个人也能）若前一个人进去，则后一个人也能 进去进去. . 学科网思考思考2 2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？米诺骨牌游戏的原理是什么？（1 1）推倒第一块骨牌；）推倒第一块骨牌； （2 2）

4、前一块骨牌倒下时）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌能碰倒后一块骨牌. .思考思考3 3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？么？ （1 1）始祖姓王；）始祖姓王； （2 2）子随父姓）子随父姓. . （第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓代姓T T，则第，则第k+1k+1代也姓代也姓T T）学科网思考思考4 4：已知数列已知数列aan n 满足满足: : （nnN*），那么该数列），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中

5、的每一项，还什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？需增加什么条件？ 11nnnaaa+=+由第由第k k项可推出第项可推出第k k1 1项项. . 给出第给出第1 1项；项；（1 1）（2 2）探究（二）：探究（二）：数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理 111kak+=+思考思考1 1：已知数列已知数列aan n 满足满足（nnN*），假设当），假设当n nk k时，时， ，则当则当n nk k1 1时，时，a ak k1 1等于什么？等于什么？若假设若假设 ，则，则a ak k1 1等于什么？等于什么？11nnnaaa+=+1kak=221kak=-1221kak+=+思考

6、思考2 2：若给出若给出a a1 11 1，则数列，则数列aan n 的通的通项公式是什么？若给出项公式是什么？若给出a a1 12 2，则数列，则数列aan n 的通项公式是什么？如何理解你的的通项公式是什么？如何理解你的结论？结论？ 1nan=221nan=-思考思考3 3：已知数列已知数列 an n 满足满足a1 11 1，an+1n+12 2an n3 3，利用上述思想如何证明数列，利用上述思想如何证明数列 an n 的通项公式是的通项公式是an n2 2n+1n+1-3-3？学科网思考思考4 4：利用上述思想如何证明：对任利用上述思想如何证明：对任意意nnN*都有等式都有等式2 24

7、 46 62n2nn(nn(n1)1)成立？成立？ 思考思考5 5：上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整一般地，用数学归纳法证明一个与正整数数n n有关的命题，其证明步骤如何？有关的命题，其证明步骤如何？（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0NN*) )时时命题成立；命题成立；（2 2）假设当）假设当n nk(knk(kn0 0，kNkN*) )时命题时命题成立，证明当成立，证明当n nk k1 1时命题也成立时命题也成立. . 思考思考6 6：数学归纳法由两个步骤组成，其数学归纳法由两个步骤组成，其中第

8、一步是中第一步是归纳奠基归纳奠基，第二步是，第二步是归纳递归纳递推推，完成这两个步骤的证明，实质上解，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？决了什么问题？逐一验证命题对从逐一验证命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .理论迁移理论迁移 例例1 1 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 222(1)(21)126n nnn+=L(nN(nN*). ). 学科网 例例2 2 已知数列：已知数列：试猜想其前试猜想其前n n项和项和S Sn n的表达式，并数学归的表达式，并数学归纳法证明纳法证明. .1111,14 47 710(32)(31)nn创+LL31

9、nnSn=+小结作业小结作业 1.1.数学归纳法的实质是建立一个无穷数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从递推机制，从而间接地验证了命题对从n0n0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立，它能证明都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明有些命题用数学归纳法也难以证明. .数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）

10、时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”注注 意：意：1、一定要用到归纳假设；、一定要用到归纳假设；2、看清从、看清从k到到k1中间的变化。中间的变化。学科网 2. 2.归纳推理能发现结论，数学归纳归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能

11、作用有强大的功能作用. .但在数学归纳法的实但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识确和认识. .(1)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证明取起，证明时应根据具体情况而定时应根据具体情况而定.练习练习1:欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第的第一个取值应是多少一个取值应是多少?答答:对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题证明中需要注意的问题练习练习2:用数学归纳法证明用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设此题在第二步的证

12、明过程中在假设n=k时时,3kk2成立成立的基础上的基础上,当当n=k+1时时, 要说明此式大于零要说明此式大于零,则必须则必须k2.故故在证明的第一步中在证明的第一步中,初始值应取初始值应取1和和2两个值两个值.2) 1() 12(3) 12(33) 1(32222221kkkkkkkkkk(2)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系间的逻辑递推关系,造成推理无效造成推理无效. 练习练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学

13、归纳法证明命题 的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么 (1).当当n=1时时,左边左边= , 右边右边= (2).假设假设n=k时命题成立时命题成立 即即那么那么n=k+1时时, 左边左边 =右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211 (kkkkk1111 22 3(1)1kkkk(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命

14、题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什命题是什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应弄清应增加的项增加的项.1 1. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf) 1( kf1) 1( 31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfC练习：练习：重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。)2)(

15、1(6112) 1()2(3) 1(21 nnnnnnnn)(kf12) 1()2(3) 1(21 kkkkk) 1( kf)(kf分析分析: :找到找到“递推关系递推关系”就等于把握住解决问题的就等于把握住解决问题的“灵魂灵魂”。有几项？有几项？ 是什么是什么, ,它比它比多出了多少，是首要问题。多出了多少，是首要问题。例例3对于对于nN*用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+kl证明：设证明：设f(n)=l(1)当当n1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立

16、，等式成立12) 1()2(3) 1(21 nnnnn (2)设当设当nk,时等式成立，即时等式成立，即) 2)(1(61)(kkkkf则则n=k+1时，时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk由（由（1）（）（2）可知）可知当当nN*时等式都成立。时等式都成立。归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法的科学性：基础正确

17、；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷由有限到无穷 数学归纳法的基本思想：数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用运用“有限有限”的手段来解决的手段来解决“无限无

18、限”的问题的问题数学归纳法的核心数学归纳法的核心: 在验证命题在验证命题n=n0正确的基础上正确的基础上,证明命题具有传递性证明命题具有传递性,而第二而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。到无限的飞跃。课课堂堂小小结结用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少） “假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并并 用上假设。用上假设。可明确为：可明确为：