2018年高考理科数学全国卷3含答案.doc

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1、数学试卷 第 1 页（共 20 页） 数学试卷 第 2 页（共 20 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 理科数学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则 ( )1 0Ax x0,1,2B AB A.B.C.D.011,20,1,22. ( )()(1i 2i)A.B.C.D.3i 3i 3i3i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体

2、是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )ABCD4.若,则 ( )1sin3cos2A.B.C.D.8 97 97 98 95.的展开式中的系数为 ( )252()xx4xA.B.C.D.102040806.直线分别与轴,交于,两点,点 P 在圆上,则2=0xyxyAB22(2)=2xy面积的取值范围是 ( )ABPA.B.C.D2,6 4,8 2,3 2 2 2,3 27.函数的图象大致为 ( )422yxx ABCD8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立.设p为该群体的位成员中使用移动支付的人数

3、,则X102.4DX ()6(4)P XP X( p )A.B.C.D.0.70.60.40.39.的内角,的对边分别为,.若的面积为,则ABCABCabcABC2224abc( )C 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 20 页） 数学试卷 第 4 页（共 20 页）A.B.C.D. 2 3 4 610.设,是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面ABCD4ABC积为,则三棱锥体积的最大值为 ( )9 3DABCA.B.C.D.12 318 324 354 311.设,是双曲线：的左、右焦点,是坐标原点.过作1F2F

4、C22221(0,0)xyababO2F的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为 ( )CP1|6 |PFOPCA.B.C.D.523212.设,则 ( )0.2log0.3a 2log 0.3b A.B.0abab abab0C.D.0abab 0abab第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知向量,.若,则 .2)(1,a)2(2,b),(1c2()cab=14.曲线在点处的切线的斜率为,则 .)e(1xyax(0,1)2a 15 函数在的零点个数为 .( )cos(3)6f xx0,16.已知点和抛物线：,过的焦点且斜率为的

5、直线与交于,1()1,M C4yxCkCA两点.若,则 .B90AMBk 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题：共 60 分.17.(12 分)等比数列中,.na11a 534aa(1)求的通项公式；na(2)记为的前项和.若,求.nSnan63mS m18.(12 分) 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式.为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组40 人.第一组工人用第一种生产方式,第

6、二组工人用第二种生产方式.根据工人完成20 生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超40m过和不超过的工人数填入下面的列联表：mm超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？99%附：,2 2() (ab)(c d)(ac)(b d)n adbcK2()P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828数学试卷 第 5 页（共 20 页） 数学试卷 第 6 页（共 20

7、 页）19.(12 分)如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上2ABCDACDMACD异于,的点.CD(1)证明：平面平面；AMD BMC(2)当三棱锥体积最大时,求面与面MABCMAB所成二面角的正弦值.MCD20.(12 分)已知斜率为的直线 与椭圆：交于,两点,线段的中点为klC22 143xyABAB.(1,)()Mm m0(1)证明：；1 2k-(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明：, ,FCPC0FPFAFB FA FP 成等差数列,并求该数列的公差.FB 21.(12 分)已知函数.22( )()ln(1)2fxaxxxx(1)若,证明：当时,；当时,；0a

8、10x ( )0f x 0x( )0f x (2)若是的极大值点,求.=0x( )f xa(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),过点且xOyOAcos , sinx y (0, 2)倾斜角为的直线 与交于,两点.lOAAB(1)求的取值范围； (2)求中点的轨迹的参数方程.ABP23.选修 45：不等式选讲(10 分)设函数.( )211f xxx(1)画出的图象；( ) yf x(2)当,求的最小值. 0),x( )bxfax ab201

9、8 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 理科数学答案解析 第卷一、选择题-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 20 页） 数学试卷 第 8 页（共 20 页）1.【答案】C【解析】,故选 C.=1Ax x0,1,2B =1,2AB2.【答案】D【解析】,故选 D.21i 2i)(2i2ii3i)( 3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为 A.故选 A.4.【答案】B【解析】由,得.故选 B.1sin322127cos212sin12( ) =1=399 5.

10、【答案】C【解析】的展开式的通项,令,得,252()xx25110 3 155()(2)2rrrrrr rTCxxCx AA1034r2r 所以的系数为.故选 C.4x22 5240C6.【答案】A【解析】由圆可得圆心坐标,半径,的面积记为,22(2)=2xy(2,0)2r ABPS点到直线的距离记为,则有.易知,PABd1 2SABdA2 2AB ,所以,故选 A.max2220223 2 11d min2220222 11d 26S7.【答案】D【解析】,令,解得或42( )2f xxx 3( )42fxxx ( )0fx2 2x,此时,递增；令,解得或,此时,2 2x0( )f x( )

11、0fx2 2x02 2x递减.由此可得的大致图象.故选 D.( )f x( )f x8.【答案】B【解析】由题知,则,解得或.又1 ()0,XBp(1012.4)DXpp0.4p 0.6,即,()6(4)P XP X44666422 1010(1)(1)(1)0.5C PpC Ppppp,故选 B.0.6p 9.【答案】C【解析】根据余弦定理得,因为,所以2222cosabcabC2224ABCaSbc,又,所以,因为，所以.故c 42osABCabCS1sin2ABCSabCtan1C ()0,C4C选 C.10.【答案】B【解析】设的边长为,则,解得(负值舍去).ABCa1sin60 =9

12、 32ABCSa aA A6a 的外接圆半径满足,得,球心到平面的距离为ABCr62sin60r 2 3r ABC.所以点到平面的最大距离为,所以三棱锥2242 32DABC246体积的最大值为,故选 B.DABC19 3618 3311.【答案】C【解析】点到渐近线的距离,而,所2( ,0)F cbyxa2 20 (0) 1( )bc aPFb bb a 2OFc以在中,由勾股定理可得,所以2RtOPF22OPcba.在中,在中,166PFOPa2RtOPF2 2 2cosPFbPF OOFc12FF P,所以222222 2121 2 21246cos22PFFFPFbcaPF OPFFF

13、bc2,则有,解得(负222 222463464bbcabcacbc22223()46caca3c a值舍去 ),即.故选 C.3e 数学试卷 第 9 页（共 20 页） 数学试卷 第 10 页（共 20 页）12.【答案】B【解析】解法一：,排除 C.0.20.2log0.3log1=0a 22log 0.3log 1=0b 0ab,即,排0.20.20log0.3log0.2=122log 0.3log 0.5=101a1b-0ab 除 D.,2 2 0.2log 0.3lg0.2log 0.2log0.3lg2b a2223log 0.3log 0.2log12bba,排除 A.故选 B

14、.1bbababa解法二：易知,01a1b0ab0ab ,0.30.30.311log0.2log2log0.4 1ab即,1ab ababab .故选 B.0abab 第卷二、填空题13.【答案】1 2【解析】由已知得.又,所以,解得.2(4,2)ab,()1c2()cab42=01 214.【答案】3【解析】设,则,所以曲线在点处的切线的斜(e )1(xf xax()( )1 exfxaxa(0,1)率,解得.(0)12kfa 3a 15.【答案】3【解析】令,得,解得.当时,；当( )0f x cos(3)6x +()39kxkZ0k 9x 时,；当时,又,所以满足要求的零点有 3 个.

15、1k 4 9x 2k 7 9x 0,x16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知的焦点坐标为,所以过焦点,斜率为C(1,0)(1,0)的直线方程为,设,将直线方程与抛物k1yxk1 11,yAyk2 21,yByk线方程联立得整理得,从而得,21,4 ,yxk yx 2440yyk124yyk.,即124yy A1()1,M 90AMB0MA MB A,即,解得.12 12(2) (2)(1)(1)0yyyykkA2440kk2k 解法二：设，,则-得,从而11A( ,)x y22(),B xy2 11 2 224 , 4,yx yx 22 21214()yyxx.设的中点为，连接.直线过抛物

16、线2121124yy xxkyy ABMMMAB的焦点，以线段为直径的与准线相切.,24yxABM:1l x 1()1,M ,点在准线上,同时在上,准线 是的切线,切90AMBM:1l x MlM点,且,即与轴平行,点的纵坐标为 ,即MMMlMMxM1,故.12 12221yyyy 124422yyk故答案为：.2三、解答题17.【答案】(1)解：设的公比为,由题设得.naq1n naq由已知得,解得(舍去)或或.424qq0q 2q 2q 故或.1( 2)nna 12nna(2)若,则.1( 2)nna 1( 2) 3nnS 数学试卷 第 11 页（共 20 页） 数学试卷 第 12 页（共

17、 20 页）由得.此方程没有正整数解.63mS ( 2)188m 若,则.由得,解得.12nna21n nS 63mS 264m6m 综上,.6m 【解析】(1)解：设的公比为,由题设得.naq1n naq由已知得,解得(舍去)或或.424qq0q 2q 2q 故或.1( 2)nna 12nna(2)若,则.1( 2)nna 1( 2) 3nnS 由得。此方程没有正整数解.63mS ( 2)188m 若,则.由得,解得.12nna21n nS 63mS 264m6m 综上,.6m 18.【答案】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有 75%的

18、工人完成生产任务所需时间至少分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.79(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分85.5钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第73.5二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟；80用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟。因此第二种生80产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最8多,关于茎大致呈对

19、称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分8布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任77务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知.7981802m列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于,所以有 99%的把握认为两种生产方式的2 240(15 155 5)106.63520202020K 效率有差异.【解析】(1)第二种生产方式

20、的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.79(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分85.5钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第73.5二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟；80用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟。因此第二种生80产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可

21、知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最8多,关于茎大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分8布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任77务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.数学试卷 第 13 页（共 20 页） 数学试卷 第 14 页（共 20 页）(2)由茎叶图知.7981802m列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式5

22、15(3)由于,所以有 99%的把握认为两种生产方式的2 240(15 155 5)106.63520202020K 效率有差异.19.【答案】(1)由题设知,平面平面,交线为.因为,CMDABCDCDBCCDBC平面,所以平面,故.ABCDBCCMDBCDM因为为上异于,的点,且为直径,所以.MACDCDDCDMCM又,所以平面.BCCMCDMBMC而平面,故平面平面.DM AMDAMDBMC(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.DDA xDxyz当三棱锥体积最大时,为的中点.MABCMACD由题设得,(0,0,0)D(2,0,0)A(2,2,0)B(0,2,0

23、)C(0,1,1)M( 2,1,1)AM ,.(0,2,0)AB (2,0,0)DA 设是平面的法向量,则( , , )nx y zMAB即0,0,nAMnAB A A20, 20,xyz y 可取.(1,0,2)n 是平面的法向量,因此DA MCD,.5cos,5n DAn DA n DA A =2 5sin,5n DA =所以面与面所成二面角的正弦值是.MABMCD2 5 5【解析】(1)由题设知,平面平面,交线为.因为,平CMDABCDCDBCCDBC面,所以平面,故.ABCDBCCMDBCDM因为为上异于,的点,且为直径,所以.MACDCDDCDMCM又,所以平面.BCCMCDMBMC

24、而平面,故平面平面.DM AMDAMDBMC(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.DDA xDxyz当三棱锥体积最大时,为的中点.MABCMACD由题设得,(0,0,0)D(2,0,0)A(2,2,0)B(0,2,0)C(0,1,1)M( 2,1,1)AM ,.(0,2,0)AB (2,0,0)DA 设是平面的法向量,则( , , )nx y zMAB即0,0,nAMnAB A A20, 20,xyz y 可取.(1,0,2)n 是平面的法向量,因此DA MCD,.5cos,5n DAn DA n DA A =2 5sin,5n DA =所以面与面所成二面角的正弦

25、值是.MABMCD2 5 5数学试卷 第 15 页（共 20 页） 数学试卷 第 16 页（共 20 页）20.【答案】(1)设,则,.11( ,)A x y22(,)B xy22 11143xy22 22143xy两式相减,并由得.1212yykxx1212043xxyykA由题设知,于是.1212xx12 2yym3 4km 由题设得,故.302m1 2k(2)由题意得.设,则.(1,0)F33(,)P xy331122(1,)(1,)(1,)(0,0)xyxyxy由(1)及题设得,.3123()1xxx312()20yyym 又点在上,所以,从而,.PC3 4m 3(1,)2P3 2FP

26、 于是.2 22211 111(1)(1)3(1)242xxFAxyx 同理，.222xFB 所以.1214()32FAFBxx 故,即,成等差数列.2 FPFAFB FA FP FB 设该数列的公差为,则d.2 121212112=()422dFBFAxxxxx x =将代入得.3 4m 1k 所以 的方程为,代入的方程,并整理得.l7 4yx C2171404xx故,代入解得.122xx121 28x x 3 21 28d 所以该数列的公差为或.3 21 283 21 28【解析】(1)设,则,.11( ,)A x y22(,)B xy22 11143xy22 22143xy两式相减,并由

27、得.1212yykxx1212043xxyykA由题设知,于是.1212xx12 2yym3 4km 由题设得,故.302m1 2k(2) 由题意得.设,则.(1,0)F33(,)P xy331122(1,)(1,)(1,)(0,0)xyxyxy由(1)及题设得,.3123()1xxx312()20yyym 又点在上,所以,从而,.PC3 4m 3(1,)2P3 2FP 于是.2 22211 111(1)(1)3(1)242xxFAxyx 同理，.222xFB 所以.1214()32FAFBxx 故,即,成等差数列.2 FPFAFB FA FP FB 设该数列的公差为,则d.2 1212121

28、12=()422dFBFAxxxxx x =将代入得.3 4m 1k 所以 的方程为,代入的方程,并整理得.l7 4yx C2171404xx故,代入解得.122xx121 28x x 3 21 28d 所以该数列的公差为或.3 21 283 21 2821.【答案】(1)当时,.0a ( )(2)ln(1)2f xxxx( )ln(1)1xfxxx设函数,则.( )( )ln(1)1xg xfxxx2( )(1)xg xx当时,；10x ( )0g x当时,.故当时,且仅当时,0x( )0g x1x-( )(0)=0g xg0x ( )0g x 从而,且仅当时,.( )0fx0x ( )0f

29、x所以在单调递增.( )f x( 1,)x 又,故当时,；当时,.(0)0f10x ( )0f x 0x( )0f x (2)(i)若,由(1)知,当时,这与是0a0x( )(2)ln(1)20= (0)f xxxxf0x 的极大值点矛盾.( )f x(ii)若,设函数.0a22( )2( )ln(1)22f xxh xxxaxxax数学试卷 第 17 页（共 20 页） 数学试卷 第 18 页（共 20 页）由于当时,故与符号相同.1min1,xa220xax( )h x( )f x又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.(0)(0)0hf0x ( )f x0x ( )h x.2222222

30、212(2)2 (12)(461)( )1(2)(1)(2)xaxxaxxa xaxah xxxaxxaxx如果,则当,且时,故不是61 0a 6104axa1min1,xa( )0h x0x 的极大值点.( )h x如果,则存在根,故当,且61 0a 224610a xaxa 10x1( ,0)xx时,所以不是的极大值点.1min1,xa( )0h x0x ( )h x如果,则.则当时,；61 0a =322(24)( )(1)(612)xxh xxxx( 1,0)x ( )0h x当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点。(0,1)x( )0h x0x ( )h x0x ( )f x综上

31、,.1 6a 【解析】(1)当时,.0a ( )(2)ln(1)2f xxxx( )ln(1)1xfxxx设函数,则.( )( )ln(1)1xg xfxxx2( )(1)xg xx当时,；10x ( )0g x当时,.故当时,且仅当时,0x( )0g x1x-( )(0)=0g xg0x ( )0g x 从而,且仅当时,.( )0fx0x ( )0fx所以在单调递增.( )f x( 1,)x 又,故当时,；当时,.(0)0f10x ( )0f x 0x( )0f x (2)(i)若,由(1)知,当时,这与是0a0x( )(2)ln(1)20= (0)f xxxxf0x 的极大值点矛盾.( )

32、f x(ii)若,设函数.0a22( )2( )ln(1)22f xxh xxxaxxax由于当时,故与符号相同.1min1,xa220xax( )h x( )f x又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.(0)(0)0hf0x ( )f x0x ( )h x.2222222212(2)2 (12)(461)( )1(2)(1)(2)xaxxaxxa xaxah xxxaxxaxx如果,则当,且时,故不是61 0a 6104axa1min1,xa( )0h x0x 的极大值点.( )h x如果,则存在根,故当,且61 0a 224610a xaxa 10x1( ,0)xx时,所以不是的极大值点

33、.1min1,xa( )0h x0x ( )h x如果,则.则当时,；61 0a =322(24)( )(1)(612)xxh xxxx( 1,0)x ( )0h x当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点。(0,1)x( )0h x0x ( )h x0x ( )f x综上,.1 6a 22.【答案】(1)的直角坐标方程为.O22=1xy当时, 与交于两点.=2lO当时,记,则 的方程为. 与交于两点当且仅当 2tan =kl2ykxlO,解得或,即或. 221 1k1k1k (,)4 2 3(,)24综上,的取值范围是. 3(,)44(2) 的参数方程为( 为参数,).lcos ,2sin

34、xtyt t3 44设,对应的参数分别为,则,且,满足ABPAtBtpt2AB PtttAtBt.22 2 sin10tt 于是,.2 2sinABtt2 2sinPt又点的坐标满足P( , )x ycos ,2sin .PPxtyt 所以点的轨迹的参数方程是(为参数,).P2sin2 ,2 22cos22xy 3 44数学试卷 第 19 页（共 20 页） 数学试卷 第 20 页（共 20 页）【解析】(1)的直角坐标方程为.O22=1xy当时, 与交于两点.=2lO当时,记,则 的方程为. 与交于两点当且仅当 2tan =kl2ykxlO,解得或,即或. 221 1k1k1k (,)4 2

35、 3(,)24综上,的取值范围是. 3(,)44(2) 的参数方程为( 为参数,).lcos ,2sinxtyt t3 44设,对应的参数分别为,则,且,满足ABPAtBtpt2AB PtttAtBt.22 2 sin10tt 于是,.2 2sinABtt2 2sinPt又点的坐标满足P( , )x ycos ,2sin .PPxtyt 所以点的轨迹的参数方程是(为参数,).P2sin2 ,2 22cos22xy 3 4423.【答案】(1)13 ,2 1( )2,1,2 3 ,1.x xf xxxx x -的图象如图所示.( )yf x(2)由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值( )yf xy2为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值33a2b( )f xaxb)0, +ab为.5【解析】(1)13 ,2 1( )2,1,2 3 ,1.x xf xxxx x -的图象如图所示.( )yf x(2)由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值( )yf xy2为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值33a2b( )f xaxb)0, +ab为.5