2018年高考理科数学全国卷1含答案.docx

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1、理科数学试题 A 第 1 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 2 页（共 18 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码张贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答

2、，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设，则（ ）121iziiz A0BCD1 2122已知集合，则（ ）2|20Ax xxA RAB| 12xx | 12xx CD |1|2x xx x |1|2x xx x3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计

3、了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记为等差数列的前项和若，则（ ）nS nan3243SSS12a 3a ABCD121210105设函数若为奇函数，则曲线在点处 321f xxaxax f x yf x00，的切线方程为（ ）ABCD2yx yx 2yxyx6在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABCADBCEADEB AB31 44ABAC 13 44ABAC CD31 4

4、4ABAC 13 44ABAC 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上MA的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从NB到的路径中，最短路径的长度为（ ）MNABCD22 172 538设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，24Cyx：F20 ，2 3CM两点，则（ ）NFM FN A5B6C7D8-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_理科数学试题 A 第 3 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 4 页（共 18 页）9已知函数，若存在 2 个零点，则的 0 ln0xexf xxx， ， g xf x

5、xa g xa取值范围是（ ）ABCD10 ，0 ，1 ，1 ，10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的ABCBCABACABC三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为，则（ ）1p2p3pABCD12pp13pp23pp123ppp11已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的2 213xCy：OFCFC两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则（ ）MNOMNMN AB3CD43 22 312已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相

6、等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD3 3 42 3 33 2 43 2二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若满足约束条件，则的最大值为_xy，220 10 0xy xy y 32zxy14记为数列的前项和若，则_nS nan21nnSa6S 15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）16已知函数，则的最小值是_ 2sinsin2f xxx f x三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、

7、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）在平面四边形中，ABCD90ADC 45A 2AB 5BD 求；cosADB若，求2 2DC BC18 （12 分）如图，四边形为正方形，分别为，ABCDEFAD的中点，以为折痕把折起，使点到达点BCDFDFCC的位置，且PPFBF证明：平面平面；PEF ABFD求与平面所成角的正弦值DPABFD19 （12 分）设椭圆的右焦点为，过的直线 与交于，两点，点的2 212xCy：FFlCABM理科数学试题 A 第 5 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 6 页（共 18 页）坐标为20，当 与轴垂直时，求直

8、线的方程；lxAM设为坐标原点，证明：OOMAOMB20 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立01pp记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为，求的最大值点； fp fp0p现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以中确定的作为的0pp值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25

9、 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求；EX（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 （12 分）已知函数 1lnf xxaxx讨论的单调性； f x若存在两个极值点，证明： f x1x2x 12122f xf xaxx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半xOy1C2yk xx轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2C22 cos30求

10、的直角坐标方程；2C若与有且仅有三个公共点，求的方程1C2C1C23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 11f xxax2时，求不等式的解集；1a 1f x 若时不等式成立，求的取值范围01x， f xxa理科数学试题 A 第 7 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 8 页（共 18 页）2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】,则,选 C. 21i2i2i2ii1i 1i2z1z 2.【答案】B【解析】,故选 B.2 |20RC Ax xx | 12xx 3.【答案】A【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与

11、建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的 2 倍,所以建设后种植收入为 37%相当于建设前的 74%,故选 A.4.【答案】B【解析】令的公差为,由,得 nad3243SSS12a 113(33 )67adad,则,故选 B.3d 51410aad 5.【答案】D【解析】,xR3232()( )(1)(1)fxf xxaxaxxaxax ,则,则,所以,在点处22(1)ax01a 3( )f xxx2( )31fxx(0)1f (0,0)的切线方程为,故选 D.yx6.【答案】A【解析】,1111113()()()2222444BEBABDBABCBAACABACAB 则,故选 A.

12、31 44EBABAC 7.【答案】B【解析】将三视图还原成直观图,并沿点所在的母线把圆柱侧面展开成如图所A示的矩形,从点到点的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为,故选MN2 5B.8.【答案】D【解析】由方程组,解得或,不妨记.22(2)3 4yxyx 1 2x y4 4x y(1,2),(4,4)MN又为,所以,故选 D.F(1,0)(0,2) (3,4)8FM FN 9.【答案】C【解析】若存在 2 个零点,即有 2 个不同的实数根,即( )g x( )0f xxa与的图像有两个交点,由图可知直线不在直线( )yf xyxa yxa 的上方即可,即,则.故选 C.1yx 1a 1

13、a 10.【答案】A【解析】令角分别对应的边长为Rt ABC, ,A B C, ,a b c,对应的面积分别为.则；123,s s s11 2sbc；,因223114 2228aabcsbc2222223411 22228bcabccbss为,所以.所以,故选 A.222bca21 2sbc1212sspp11.【答案】BN(B)MN2164M(A)理科数学试题 A 第 9 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 10 页（共 18 页）【解析】如图所示,不妨记,为,渐近线为,所以90OMFF(2,0)3 3yx ,则,故30MOFNOF cos3,tan3OMOFMOFMNOMMON选 B.

14、12.【答案】A【解析】正方体中,连接顶点,三棱锥为正三棱锥,侧棱与, ,M N P QQMNP底面所成的角都相等,所以正方体的每条棱与平面所成的角均相等,不妨令平面MNP.易知,当平面截得正方体的截面为如图所示的平行六边形MNP平面时截面的面积可以取到最大值.不妨取,则ABCDEF(01)AMxx,且,2AFEDBCx2(1)ABEFCDx/ /CFMN2CFMN等腰梯形、的高分别为和ABCFDEFC6(1)2x6 2x所以.ABCDEFABCFDEFCSSS23( 2(1)2)6( 221)222xxxx 当时,截面面积的最大值为.故选 A.1 2x 333 3 224二、填空题13.【答

15、案】6【解析】可行域为及其内部,当直线经过点时,ABC3 22zyx (2,0)B.max6z14.【答案】63【解析】由得,当时,11121aSa11a 2n ,即,所以是等比数列,112121nnnnnaSSaa 12nna a na. 61248163263S 15.【答案】16【解析】恰有 1 位女生的选法有种,恰有 2 位女生的选法有12 2412C C 种,所以不同的选法共有 16 种.21 244C C 16.【答案】3 3 2【解析】因为是奇函数,且,即周期为,( )f x( )(2 )f xf x2所以只需要研究在上的图像.( )f x, 又,则2( )2cos2cos22(

16、2coscos1)2(2cos1)(cos1)fxxxxxxx在上的极值点为,因为,所( )f x, ,3 3x 3 3()(),( )0332fff 以.min( )f x3 3 2三、解答题（一）必考题：共 60 分。17.【答案】(1)23 5(2)5【解析】(1)如图所示,在中,由正弦定理,ABDsinsinBDAB AADB得,2sin5ADB,为锐角,90ADCADB；223cos1sin5ADBADB(2),90ADC2coscos(90)sin5CDBADBADB若,2 2DC 则在中,由余弦定理,BCD2222cosBCBDDCBD DCCDBA BCD理科数学试题 A 第

17、11 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 12 页（共 18 页）得.22582 52 255BC 18.【答案】(1)见解析(2)3 4【解析】(1)证明：四边形为正方形,分别为的中点,ABCD,E F,AD BC且,/ / /EFABCDBFEF,平面,PFBF EFPFFBFPEF平面,平面平面.BF ABFDPEF ABFD(2)方法方法 1：由(1)知平面,BF PEFBFPE,./ /BFADPEAD令正方形的边长为 2,ABCD,.2,1PDDCED223PEPDDE作交于点,连接,POEFEFOOD由(1)知平面平面,平面,平面平面,PEF ABFDPO PEFPEF AB

18、FDEF平面,斜线在平面内的射影为,POABFDDPABFDOD等于与平面所成的角.PDODPABFD,即且,1,2PFCFEF222PEPFEFPEPF60PFE在中,.Rt POF33 22OPPF在中,即与平面所成角的正弦值为Rt POD3sin4POPDOPDDPABFD.3 4方法方法 2：作交于点,连接,POEFEFOOD由(1)知平面平面,平面,平面平面,PEF ABFDPO PEFPEF ABFDEF平面,斜线在平面内的射影为,POABFDDPABFDOD等于与平面所成的角,PDODPABFD令正方形的边长为 2,ABCD(0)OFa a则,2EOa2221POPFOFa222

19、3DOPDPOa由得,解得.222DOEDEO2231(2)aa 1 2a ,则,即与平面所成角的正弦3 2PO 2PD 3sin4POPDOPDDPABFD值为.3 4方法方法 3：作交于点,POEFEFO由(1)知平面平面,平面,平面平面,PEF ABFDPO PEFPEF ABFDEF平面,POABFD以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.E令正方形的边长为 2,ABCD(0)OFa a则2(0,2,0), (0,2, 1),( 1,0,0)FPaaD,90DPF0PF DP 即,22(0, ,1) (1,2, 1)0aaaa即,解得.2(2)(1)0aaa1 2a 所以,33(1

20、,)22DP 易知平面的一个法向量为,故ABFD(0,0,1)n ,3 32cos,1 24n DP n DP nDP 即与平面所成角的正弦值为.DPABFD3 419.【答案】(1)直线的方程为：或AM2(2)2yx 2(2)2yx(2)见解析ABPCFEDOABPCFEDOxyz理科数学试题 A 第 13 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 14 页（共 18 页）【解析】(1)右焦点为,当 与轴垂直时有,则为或(1,0)Flx:1l x A2(1,)2,2(1,)2直线的方程为：或；AM2(2)2yx 2(2)2yx(2)方法方法 1：令直线的斜率分别为,AM BM12,k k当 与

21、轴重合时有,所以；lx120kk0OMAOMB 当 与轴不重合时,令,lx:1,l myx1122(,), (,)A x yB xy由得,则,2 2112myxxy22(2)210mymy 12122221,22myyy ymm因为,12kk121212121212122() 2211(1)(1)yyyymy yyy xxmymymymy所以,即直线的倾斜角互补,得12kk221222 220(1)(1)mm mm mymy,AM BM.OMAOMB 综合所述,得.OMAOMB 方法方法 2：令直线的斜率分别为,AM BM12,k k由(1)知,当 与轴垂直时有,即直线的倾斜角互补,得lx12

22、kk ,AM BM；OMAOMB 当 不与轴垂直时,令,lx:(1),l yk x1122(,), (,)A x yB xy由得,则2 2(1)12yk xxy2222(21)4220kxk xk,22121222422,2121kkxxx xkk因为,12kk12121212121212(1)(1)23()4 2222(2)(2)yyk xk xkx xxx xxxxxx所以,12kk2222122(22)43421210(2)(2)kkkkk xx即直线的倾斜角互补,得.,AM BMOMAOMB 综合所述,得.OMAOMB 20.【答案】(1)01 10p (2)()490EX ()应该对

23、这箱余下的所有产品都作检验.【解析】(1)由 n 次独立重复事件的概率计算得,2218218 20( )(1)190(1)f pC pppp且,1821717( )380 (1)190 18(1)380 (1) (1 10 )fpppppppp01p时,得.( )0fp1 10p 又当时,单调递增；当时,单1(0,)10p( )0fp( )f p1(,1)10p( )0fp( )f p调递减,所以是在上唯一的极大值点,也是最大值点,即.1 10p ( )f p(0,1)01 10p (2)()已检验的 20 件产品的检验费用为元.20240该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布,估计不合格品

24、件数为1(180,)10B,11801810若不对该箱余下的产品作检验,余下的产品的赔偿费用估计为元.1825450所以,若不对该箱余下的产品作检验,则.40450490EX ()若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用,.401802400EX 因为,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.49040021.【答案】(1)时,在定义域上始终单调递减；2a ( )f x(0,)理科数学试题 A 第 15 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 16 页（共 18 页）时,在上递减,2a ( )f x2244(0,),(,)22aaaa在上递增.2244(,)22aaaa(2)见解析【解析】

25、(1)22211( )1(0)axaxfxxxxx 令,.2( )1g xxax 24a 时,恒成立, 2,2a 0 ( )0fx所以在定义域上始终单调递减.( )f x(0,)或时,.2a 2a 0 由即解得,且( )0g x ( )0fx221244,22aaaaxx.1212,1xxa x x时,恒成立,所以在定义域上始终单调递2a 120,0xx( )0fx( )f x(0,)减.时,2a 210xx在上,单调递减；在上,单调递12(0,),(,)xx ( )0fx( )f x12(,)x x( )0fx( )f x增.综上所述,时,在定义域上始终单调递减；2a ( )f x(0,)时

26、,在上递减,2a ( )f x2244(0,),(,)22aaaa在上递增.2244(,)22aaaa(2)证明：方法方法 1：由(1)知时存在两个极值点,且.2a ( )f x210xx欲证明等价于证明.1212()()2f xf xaxx1212()()(2)()f xf xaxx即证明,其中是方程的两个1122()(2)()(2)f xaxf xax12,x x210xax 根.令,则满足,即.( )( )(2)h tf tat210tat 1tat221111 111( )( )(2)1(2)1()(2)2()h tf taaattttttt ttt ,在上为减函12tat1( )2(

27、)0h ttt( )( )(2)h tf tat(0,)t数.因为,所以,即,得证.210xx12()()h xh x1122()(2)()(2)f xaxf xax方法方法 2：由(1)知,从而有.210xx122xxa121x x 2110xx 1122 1212121211lnln()()xaxxaxf xf xxx xxxx,1 21 1212212121()(1)ln()()xxxaf xf xx xx xxxx11222lnxa xxx 要证明等价于证明,即证明1212()()2f xf xaxx11222ln2xaaxxx .1 12 2lnxxxx,只需证明,即证明成立即可.1

28、21x x 2 11 11ln xxx11 112ln0xxx令,1( )2ln,(0,1)ttttt 则,在上为减函数.222222121(1)( )10tttttttt ( ) t(0,1)所以,根据,证得成立,得证.( )(1)0t1(0,1)x 11 112ln0xxx（二）选考题：共 10 分。22.【答案】(1)的直角坐标方程为2C22230xyx理科数学试题 A 第 17 页（共 18 页）理科数学试题 A 第 18 页（共 18 页）(2)的方程为：.1C4| 23yx 【解析】(1),cos ,sinxy所以的直角坐标方程为；2C22230xyx(2)曲线：,其图像是关于轴对

29、称且以为端点的两条射1C2,0 2,0kxxykxxy(0,2)线.：,其图像是以为圆心,半径为 2 的圆.2C22(1)4xy( 1,0)若与有且仅有三个公共点,1C2C则且与相切(如图).0k 2(0)ykxx2C由且,解得,则的方程为：. 222 1kk 0k 4 3k 1C4| 23yx 23.【答案】(1)解集为.1( ,)2(2).02a【解析】(1)当时,则1a ( )11f xxx时,则无解；1x ( )2f x ( )1f x 时,则的解集为；11x ( )2f xx( )1f x 1( ,1)2时,则的解集为.1x ( )2f x ( )1f x 1,)综上所述,所求解集为.1( ,)2(2)时不等式成立,即,则成立.(0,1)x( )f xx11xaxx 11ax 所以.211 10axax 因为时,有,所以.01x2(2,)x02axO2y