2018年高考理科数学全国卷2含答案.docx

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1、理科数学试题 A 第 1 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 2 页（共 16 页）绝密启用前 20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

2、纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 ）1.12 12i i 43. 55Ai43. 55Bi34. 55Ci34. 55Di2.已知集合,则 A 中元素的个数为22,3,Ax y xyxZ yZ. 9A. 8B. 5C. 4D3.函数的图象大致为2( )xxeef x

3、x4.已知向量满足,则, a b 1,1aa b 2aab. 4A. 3B. 2C. 0D5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为222210,0xyabab3. 2A yx . 3B yx 2. 2C yx 3. 2D yx 6.在中,则AB=ABC5cos,1,5,25CBCAC. 4 2A. 30B. 29C. 2 5D7.为计算,设计了右侧的11111123499100S 程序框图,则在空白框中应填入 . 1A ii . 2B ii . 3C ii . 4D ii 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”

4、,如 30=7+23. 在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_理科数学试题 A 第 3 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 4 页（共 16 页）1. 12A1. 14B1. 15C1. 18D9.在长方体中,则异面直线与所1111ABCDABC D11,3,ABBCAA1AD1DB成角的余弦值为 1. 5A5. 6B5. 5C2. 2D10.若在是减函数,则 a 的最大值是( )cossinf xxx, a a. 4A. 2B3. 4C. D11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( )f x, (1

5、)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)(50)ffff. 50A. 0B. 2C. 50D12.已知是椭圆的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P12,F F2222:1(0)xyCabab在过 A 且斜率为的直线上,为等腰三角形,则 C 的离心率3 612PFF12120FF P为 2. 3A1. 2B1. 3C1. 4D二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.曲线在点处的切线方程为_.2ln(1)yx0,014.若满足约束条件则的最大值为_., x y250,230,50,xyxyx zxy15.已知,则

6、_.sincos1,cossin0sin16.已知圆锥的顶点为 S,母线 SA、SB 所成角的余弦值为,SA 与圆锥底面所成角为7 8.若的面积为,则该圆锥的侧面积为_.45SAB5 15三、解答题（共三、解答题（共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必题为必考题，每个试题考生都必须作答。第考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 ）（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17 （12 分）记为等差数列的前 n 项和,

7、已知.nS na137,15aS (1)求的通项公式； na(2)求,并求的最小值.nSnS18.(12 分)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,17)建立模型：根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为30.4 13.5 ;yt 1,2,7)建立模型：.99 17.5yt(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值

8、；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19.(12 分)设抛物线的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A、B 两2:4C yx点,8.AB 理科数学试题 A 第 5 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 6 页（共 16 页）(1)求 l 的方程；(2)求过 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程.20.(12 分)如图,在三棱锥中,PABC2 2,ABBCO 为 AC 的中点.4,PAPBPCAC(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角为,求MPAC30PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.21.(12 分)已知

9、函数.2( )xf xeax(1)若 a=1,证明：当时,；0x ( )1f x (2)若在只有一个零点,求 a.( )f x0,（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做的第一题计分。22.选修 4-4：极坐标与参数方程(10 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为(为参数),直线 l 的参数方xOy2cos , 4sinx y 程为(t 为参数).1cos ,2sinxtyt (1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线

10、段的中点坐标为,求 l 的斜率.1,223.选修 4-5：不等式选讲(10 分)设函数.( )52f xxax(1)当时,求不等式的解集；1a ( )0f x (2)若,求 a 的取值范围.( )1f x 理科数学试题 A 第 7 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 8 页（共 16 页）2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】，故选 D i54 53 5i 43 i 21i 21i 21 i 21i 212 2.【答案】A【解析】)1, 1 (),0 , 1 (),1 , 1 (),1, 0(),0 , 0(),1 , 0(),1, 1()

11、,0 , 1(),1 , 1(A，元素的个数为 9，故选 A3.【答案】B【解析】，即为奇函数，排除 A；由)()(2xfxeexfxx )(xf排除 D；由01) 1 (eef排除 C，故选 B) 1 (1)1)(1)(1(161 16)4(2244 feeeeeeeeeef4.【答案】B【解析】，故选 B3122)2(2baabaa5.【答案】A【解析】离心率，所以，渐近线方程3322222 aba ac ace2ab为，故选 Axy26.【答案】A【解析】，5312cos2cos2CC由余弦定理得，故选24cos222CACBCACBCABA7.【答案】B【解析】依题意可知空白框中应填入

12、第 1 次循环：2 ii；第 2 次循环：；3,21, 1iTN5,41 21,311iTN 第 50 次循环：，结束循环得101,1001 41 21,991 311iTN，所以选 B1001 991 41 31 211S8.【答案】C【解析】不超过的素数有：，共 10 个从中选取3029,23,19,17,13,11, 7 , 5 , 3 , 2两个不同的数，其和等于的有：与、与、与，共 3 对则所求概3072311191317率为，故选 C15132 10C9.【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，)0 , 1 , 1 (A)3, 0 , 1 (1D，所以，)0 , 0 ,

13、 1 (D)3, 1 , 0(1B)3, 1, 0(1AD，)3, 1 , 1(1DB则，故选55 522,cos111111 DBADDBAD DBADC理科数学试题 A 第 9 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 10 页（共 16 页）10.【答案】A【解析】因为在区间上是减函)4cos(2sincos)(xxxxf43,4数，所以的最大值是，故选 Aa411.【答案】C【解析】因为，所以，则)()(xfxf) 1()1 (xfxf，的最小正周期为) 1() 1(xfxf)(xf4T又，所2) 1 (f0)0()2(ff2) 1 ()3(ff0)0()4( ff以(1)(2)(3)(

14、50)ffff12 (1)(2)(3)(4)(49)(50)ffffff，选 C(1)(2)2ff12.【答案】D【解析】如图，因为为等腰三角形，且，21FPF12021PFFcFF221所以，则的坐标为，故，化简得3021FPFP)3,2(cc63 23acckPA，所以离心率，故选 Dac 441ace二、填空题13.【答案】xy2【解析】，则曲线在点处的切线2|120xyxy) 1ln(2xy)0 , 0(方程为.xy214.【答案】9【解析】可行域为及其内部，当直线经过点时，ABCzxy)4 , 5(B9maxz15.【答案】1 2【解析】，1coscossin2sincossin22

15、2，0sinsincos2cossincos222 则，110sinsincos2coscoscossin2sin2222即21)sin(1sincos2cossin2216.【答案】40 2【解析】如图所示，因为，所以，87cosASB815sinASB1551615sin212SAASBSBSASSAB，所以54SA又与圆锥底面所成角为，即SA45，45SAO则底面圆的半径，圆锥的侧面102OA积240SAOAS三、解答题(一)必考题：共 60 分. 17.【答案】(1).92 nan(2)，时，的最小值为.16)4(2 nSn4nnS16【解析】 （1）设等差数列的公差为，则 nad由，

16、得，71a153313daS2d所以，即的通项公式为；922) 1(7nnan na92 nan理科数学试题 A 第 11 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 12 页（共 16 页）（2）由（1）知，nnnnSn82)927(2因为，16)4(2 nSn所以时，的最小值为4nnS1618.【答案】(1)模型：亿元；模型：亿元.1 .2265 .256(2)见解析.【解析】 （1）将代入模型：（亿元） ，19t1 .226195 .134 .30y所以根据模型得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为亿元；1 .226将代入模型：（亿元） ，9t5 .25695 .1799y所以

17、根据模型得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为亿元5 .256（2）模型得到的预测值更可靠理由如下：答案一：答案一：从折现图可以看出，2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线的上下，2009 年至 2010 年的环境基础设施投资额ty5 .134 .30出现了明显的大幅度增加，这说明模型不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长而 2010 年至 2016 年的数据对应的点紧密的分布在回归直线的附ty5 .1799近，这说明模型能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型得到的预测值更可靠答案二：答案二：从计算结果来看，相对于 2016 年的

18、环境基础设施投资额为 220 亿元，利用模型得到的该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明1 .226显偏低，而利用模型得到的该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显更合理，所以模型得到的预测值更可靠5 .25619.【答案】(1).1 xy(2)或.16)2()3(22yx144)6()11(22yx(3)一年能节省的水.347.45m【解析】 （1）焦点为，则直线，F)0 , 1 () 1(:xkyl联立方程组，得， xyxky4) 1(20)42(2222kxkxk令，则，),(),(2211yxByxA222142 kkxx121xx根据抛

19、物线的定义得，8221xxAB即，解得（舍去） ，64222 kk1k1k所以 的方程为；l1 xy（2）设弦的中点为，由（1）知，所以的坐标为，ABM3221 xxM)2 , 3(则弦的垂直平分线为，令所求圆的圆心为，半径为，AB5xy)5 ,(mmr根据垂径定理得，34122215 2222 mmmmABr由圆与准线相切得，解得或3412212mmm3m11m则所求圆的方程为：或16)2()3(22yx144)6()11(22yx20.【答案】(1)见解析.(2).43【解析】 （1）证明：连接，OB，为的中点，PCPA OACACPO ，4,22ACBCAB，即，222ACBCABBCA

20、B 221ACOB又，则，即，4, 32PBPO222PBPOOBOBOP ，平面；OOBACPOABC（2）由（1）知两两互相垂直，OPOCOB,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，O则，)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)0 , 2, 0( A)32 , 0 , 0(P，)0 , 2 , 2(BC)32 , 2 , 0(AP)32 , 2, 0( CP令，BCBM 1 , 0理科数学试题 A 第 13 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 14 页（共 16 页）则，)0 ,2 ,22(BCOBOM)0 , 22 ,22(AM令平面的法向量为，PAM),(zyxn 由

21、， 0)22()22(0322yxzyAMnAPn取，13x得)1 ,13,13(n易知平面的一个法向量为，PAC)0 , 0 , 1 (m所以2330cos 727) 1(3)1 () 1( 3) 1( 3) 1(3,cos 2222 mnmn mn解得（舍去） ，即，313)32, 332, 334(n因为，所以与平面所成角的正43438338,cos CPnCPn CPnPCPAM弦值为4321.【答案】(1)见解析.(2).42ea 【解析】 （1）方法方法 1：欲证明当时，即证明0x1)(xf112xex令，则，1)(2xexgx 0 1) 1(12) 1()(222222 xexx

22、xexexgxxx则为增函数，得证)(xg1)0()( gxg方法方法 2：时，则，1a2)(xexfxxexfx2)(令，则，)()(xgxf2)(xexg时，为减函数，时，)2ln, 0x0)( xg)(xg), 2(lnx0)( xg 为增函数，)(xg所以，即当时，为增函02ln22)2(ln)(min gxg0x0)( xf)(xf数，所以，1)0()( fxf因此，时，1a0x1)(xf（2）方法方法 1：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根)(xf), 0( axex 2令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点2)(xexhx )(xhy ay 又，34222)(xex xxe

23、exxhxxx时，为减函数，时，为增)2 , 0(x0)( xh)(xh), 2( x0)( xh)(xh 函数，所以，时，时4)2()(2minehxh0x)(xhx)(xh则时，在只有一个零点42ea )(xf), 0( 方法方法 2：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根)(xf), 0( axxex 令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点xexhx )()(xhy axy 当直线与曲线相切时，设切点为，axy )(xhy ),(000xexx又，则，此时221)(xex xexexhxxx21)(02 02 00 000 xxe xexxhxx4)(20exha又当时，为减函数，)

24、1 , 0(x0)( xh)(xhPABCMOxyzx1Oy2理科数学试题 A 第 15 页（共 16 页）理科数学试题 A 第 16 页（共 16 页）时，为增函数，), 1 ( x0)( xh)(xh所以，ehxh) 1 ()(min且时，时0x)(xhx)(xh根据与的图像可知，)(xhy axy 时，函数的图像与直线只有一个公共点，即在42ea )(xhy axy )(xf只有一个零点), 0( (二)选考题：共 10 分.22.【答案】(1).0cos2sincossinyx(2).2【解析】 （1）消去参数，得的直角坐标方程为；C116422 yx消去参数 ，得 的直角坐标方程为；

25、tl0cos2sincossinyx（ 的直角坐标方程也可写成：或 ）l)2(2) 1(tanxy1x（2）方法方法 1：将 的参数方程：为参数 代入lttytx( sin2cos1 )得：1164:22 yxC，即16sin2cos1422tt，08sincos24cos3122tt由韦达定理得， 221cos31sincos24 tt依题意，曲线截直线 所得线段的中点对应，即，Cl0221tt0sincos2得2tan因此 的斜率为l2方法方法 2：令曲线与直线 的交点为，Cl),(),(2211yxByxA则由得，其中 116411642 22 22 12 1yxyx 016421212121yyyyxxxx4, 22121yyxx所以，即 的斜率为204221212121 xxyyyyxxl223.【答案】(1).3 , 2(2)或.2|aa6a【解析】 （1）时，1a215)(xxxf时，解得；1x042215)(xxxxf12x时，解得；21x02215)(xxxf21x时，解得，2x062215)(xxxxf32 x综上所述，当时，不等式的解集为1a0)(xf3 , 2（2），即，125)(xaxxf42 xax又，222axaxxax所以，等价于或，42 a42 a42a解得的取值范围为或a2|aa6a