2019年高考文科数学全国卷1含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 18 页） 数学试卷 第 2 页（共 18 页） 绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 文科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设，则=( )3i 12izzA.2B.C.D.1322.已知集合，则 ( )1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB=uBC AA.B.C.D. 1,6 1,76,71,6,73.已知，则( )0.20.3 2log 0.220.2abcA.B

2、.C.D.abcacbcabbca4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳51 251 2斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，51 2头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 ( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm5.函数在的图像大致为( ) 2sin cosxxf xxx, A.B.C.D.6.某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，

3、从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是( )A.8 号学生B.200 号学生C.616 号学生D.815 号学生7.( )255tan A.B.C.D.23 2+ 3232+ 38.已知非零向量 a，b 满足，且，则 a 与 b 的夹角为( )| 2|ab()abbA.B.C.D. 6 32 35 69.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )1 12122 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 18 页） 数学试卷 第 4 页（共 18 页）A.

4、B.1 2AA12AAC.D.1 12AA112AA 10.双曲线 C：的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率22221(0,0)xyabab为( )A.B.C.D.240sin240cos1 sin501 cos5011.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，ABC4asinAbsinBcsinC，则( )14cosA =bcA.6B.5C.4D.312.已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若12( 1,0),(1,0)FF，则 C 的方程为( )22| 2|AFF B1| |ABBFA.B.2 212xy22 132xyC.D.22 1

5、43xy22 154xy二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.曲线在点处的切线方程为 .23()exyxx(0 )014.记为等比数列的前 n 项和.若，则 S4= .nS na13314aS15.函数的最小值为 .3( )sin(2)3cos2f xxx16.已知，P 为平面 ABC 外一点，点 P 到两边 AC，BC90ACB2PC ACB的距离均为，那么 P 到平面 ABC 的距离为 .3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题

6、：共 60 分。17.(12 分)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；数学试卷 第 5 页（共 18 页） 数学试卷 第 6 页（共 18 页） （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：2 2() ()()()()n adbcKab cd ac bdP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.（12 分）记为等差数列的前 n 项和，已知.nS na9

7、5Sa （1）若，求的通项公式；34a na（2）若，求使得的 n 的取值范围.10a nnSa19.（12 分）如图，直四棱柱的底面是菱形，1111ABCDABC D14260AAABBAD分别是的中点.EMN11BCBBAD（1）证明：；1MNC DE（2）求点 C 到平面的距离.1C DE-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 18 页） 数学试卷 第 8 页（共 18 页）20.（12 分）已知函数，为的导数.2f xsinxxcosxx fx f x（1）证明：在区间存在唯一零点；fx 0（2）若时，求 a 的取值范围.0x

8、 f xax21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，过点 A，B 且与直线相4AB MA20x切.（1）若 A 在直线上，求的半径；0xyMA（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，为定值？并说明理由.MAMP（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）.以坐标原点 O2221 1 4 1txt tyt 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为x.2 cos3 sin110（1）求 C

9、和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值.23.选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足.证明：1abc （1）；222111abcabc（2）.333()()()24abbcca数学试卷 第 9 页（共 18 页） 数学试卷 第 10 页（共 18 页） 2019年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷数学答案解析一、选择题1 【答案】C【解析】解法一：，故.故选 C.3(3)(12 )17 12(12 )(12 )5iiii iii1750|255iz解法二：3|3|10|212|12 |5iizii【考点】集合的交运算，解一元二次不等式等【

10、考查能力】化归与精化，运算求解，数学运算2 【答案】C【解析】，故，故选 C.C1,6,7UAC6,7UBA【考点】集合的交、补运算【考查能力】运算求解3 【答案】B【解析】，故选 B2log 0.20a 0.221b 0.3c0.201,acb 【考点】指数与对数的大小比较【考查能力】运算求解，逻辑推理4 【答案】B【解析】不妨设此人咽喉至肚脐的长度为，则，得，故某人身高大cmx260.618x42x 约，考虑误差，结合选项，可知选B.2642105173(cm)【考点】 “黄金分割比例”【考查能力】运算求解5 【答案】D【解析】解法一：显然，为奇函数，排除 A；， ，且故选 D( )()f

11、 xfx ( )f x解法二：显然，所以为奇函数，排除 A；易知当时，( )()f xfx ( )f x0x( )0f x 排除 C；，排除 B.故选 D.2( )01f【考点】函数的图象与性质【考查能力】分析问题，解决问题，逻辑推理6 【答案】C【解析】由系统抽样可知第一组学生的编号为 110，第二组学生的编号为 1120， 最后一组学生的编号为 9911 000.设第一组取到的学生编号为，则第二组取到的学生x编号为，以此类推，所取的学生编号为 10 的倍数加.因为 46 号学生被抽到，所+10xx以，所以 616 号学生被抽到，故选 C.6x 【考查能力】逻辑推理7 【答案】D数学试卷 第

12、 11 页（共 18 页） 数学试卷 第 12 页（共 18 页）【解析】由正切函数的周期性可知，313tan255tan 18075tan75tan 304523313 故选 D.【考点诱导公式及两角和的正切公式的应用【考查能力】运算求解8 【答案】B【解析】解法一 由题意得，2()0|abba bb2| cos( , ) |a ba bb，故选B.| 2|ab2212| cos,|cos,2ba bba b ,3a b 解法二 如图，则，,OAa OBb BAab 2B| 2|OAOB 3AOB即.,3a b 【考点】平面向量的模，数量积，夹角【考查能力】运算求解，化归与转化9 【答案】A

13、【解析】解法一 依次检验四个选项.第一次循环：A.；B.；C.；D.1 122A 22A1 2A.分析知只有 A 符合题意.故选 A.2A解法二 分析知，与一致的结构为，故可设，检验知符合题1 12122 1 1221 2A1=2AA意，故选 A.【考点】当型循环结构的程序框图【考查能力】逻辑推理，运算求解10.【答案】D【解析】依题意知，两边平方得tan130tan 130180tan50b a ，又，选D.22 22 2tan 501caea22 211tan 50cos 50e 1e 1 cos50e 【考点】诱导公式，双曲线的离心率【考查能力】运算求解11.【答案】A【解析】由题意及正

14、弦定理得，所以由余弦定理得，2224bac ，得，故选 A.222231cos224bcacAbcbc 6b c【考点】正弦定理、余弦定理的应用【考查能力】运算求解12 【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为，连接,令，则22221(0)xyabab1F A2F Bm，由椭圆的定义知，得，故2| | 2 A Fm1| | 3 B Fm4 2 ma2am ，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点令（为坐标原点），21F AaF A2OAFO则在等腰三角形中，所以，得，1sina1ABF12cos233 2aa211123a 23a 数学试卷 第 13 页（共 18 页） 数学试卷 第 14 页（

15、共 18 页） 又，所以，椭圆 C 方程为故选：B21c 2222bac22 132xy【考点】椭圆的定义及标准方程【考查能力】运算求解二、填空题13 【答案】3 yx【解析】因为，所以，所以，故曲线23exyxx2331 exyxx03xy在点处的切线方程为，即23exyxx(0,0)03(0)yx3yx【考点】导数的几何意义【考查能力】运算求解14 【答案】5 8【解析】通解 设等比数列的公比为，由及，易知.把代入 naq11a 33 4S 1q 11a ，得，解得，所以3 1 313 14aqSq2314qq1 2q .44 1 4111125 11812aqSq 优解一 设等比数列的公

16、比为，因为，所 naq2 312313(1)4Saaaaqq11a 以，解得，所以，所以2314qq1 2q 3 3 4111 28aaq .434315 488SSa 优解二 设等比数列的公比为，由题意易知.设数列的前项和 naq1q nan（其中 A 为常数） ，则，由1n nSAq3 1133(1)114aSAqSAq可，.所以.2 3A1 2q 442151328S 【考点】等比数列的通项公式和前项和公式n【考查能力】逻辑推理、数学运算15 【答案】4【解析】2 223317( )sin 23cos2cos3cos12cos3cos2 cos248f xxxxxxxx ，因为，所以当时

17、，取得最小值.cos 1,1x cos1x ( )f xmin( )4f x 【考点】三角函数的诱导公式，二倍角公式，三角函数的性质【考查能力】化归与转化，运算求解16 【答案】2【解析】如图，过点 P 分别作交 BC 于点 E，作于点 F.由题意知PEBCPFAC.过点 P 作于点，连接，易知，3PEPFPHABC H,HE HF HCHEHF则点 H 在的平分线上，又，故为等腰直角三角形.在ACB90ACBCEH中，则，故，在中，可得RtPCE2,3PCPE1CE 2CH RtPCH，即点 P 到平面 ABC 的距离为.2PH 2【考点】双曲线的几何性质，直线和双曲线【考查能力】逻辑推理，

18、直观想象，数学运算数学试卷 第 15 页（共 18 页） 数学试卷 第 16 页（共 18 页）17 【答案】 （1）由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾400.850客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.300.650（2）2 2100(402030 10)4.76250 5070 30K由于，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.7623.841【考点】概率与独立性检验【考查能力】逻辑推理，运算求解，数据处理18.【答案】 （1）设的公差为 nad由得.9

19、5Sa 140ad由得.34a 124ad于是，.18a 2d 因此的通项公式为. na102nan（2）由（1）得，故，.14ad (5)nand(9) 2nn ndS由知，故等价于，解得.10a 0d nnSa21110 0nn110n所以的取值范围是.n |110,nnnN【考点】等差数列的通项公式，前项和公式以及与数列有关的不等式问题n【考查能力】推理论证，运算求解19 【答案】 （1）连接，分别为，的中点，所以，且1BCMEME1BBBC1MEBC，又因为为的中点，所以11 2MEBCN1AD11 2NDAD由题设知，可得,故,因此四边形为平行四边形，11ABDC111BCADMEN

20、DMNDE，又平面，所以平面MENDMN 1EDCMN1C DE（2）过作的垂线，垂足为 H.由已知可得，所以平面C1C EDEBC1DEC CDE ，故.从而平面，故的长即 C 到平面的距离，1C CEDECHCH 1C DECH1C DE由已知可得，故.从而点 C 到平面的1CE 14C C 117C E 4 17 17CH 1C DE距离为.4 17 17【考点】线面平行的正面，点到平面的距离【考查能力】空间想象，推理论证，运算求解20 【答案】解：（1），则，.( )( )g xfx( )cossin1g xxxx( )cosg xxx当时，；当时，所以在上单调递增，0,2x( )0g

21、 x,2x( )0g x( )g x0,2 在上单调递减.,2又，故在存在唯一零点.(0)0g02g( )2g ( )g x(0, )所以在存在唯一零点.( )fx0,（2）由题设知，可得.( )fa( )0f0a数学试卷 第 17 页（共 18 页） 数学试卷 第 18 页（共 18 页） 由（1）知在只有一个零点，设为，且当时；( )fx0,0x00,xx( )0fx当时，所以在上单调递增，在上单调递减.0,xx( )0fx( )f x00,x0,x又，所以，当时.(0)0f( )0f0, x( ) 0f x 又当，时，.0a0, x0ax( )f xax因此，的取值范围是.a(,0【考点

22、】导数的应用，函数的零点【考查能力】推理论证，运算求解21 【答案】解（1）因为过 A,B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.MA由已知 A 在直线上，且 A,B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线上，故可0xyyx设.( , )M a a因为与直线相切，所以的半径为.MA20x MA|2|ra连接 MA，由已知得，又，故可得，解得或.| 2AO MOAO 2224(2)aa0a 4a 故的半径或.MA2r 6r （2）存在定点，使得为定值.(1,0)P|MAMP理由如下：设，由已知得的半径为，.( , )M x yMA|2|rx| 2AO 由于，故可得，化简得 M 的轨迹方程为.

23、MOAO 2224(2)xyx24yx因为曲线 C：是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以24yx(1,0)P1x .|+1MPx因为，所以存在满足条件的定点 P.|2(1)1MAMPrMPxx 【考点】直线与圆的位置关系，定值问题【考查能力】推理论证，运算求解22 【答案】解：（1）因为，且，所以 C221111t t 2222 2 222141211yttxtt的直角坐标方程为. 的直角坐标方程为.2 214yx (1)x l23110xy（2）由（1）可设 C 的参数方程为（为参数，）.cos2sinxy C 上的点到 的距离为.l4cos112cos2 3sin113 77当时，取得

24、最小值 7，故 C 上的点到 距离的最小值为.2 3 4cos113l7【考点】参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离问题【考查能力】运算求解23.【答案】 （1）因为，由，故有222abab222bcbc222caac1abc .222111abbccaabcabbccaabcabc所以.222111abcabc（2）因为为正数且，故有, ,a b c1abc 3333333()()()3 () () ()3()()()3 (2)(2)(2) 24abbccaabbcacab bc acabbcac 所以.333()()()24abbcca【考点】不等式的证明【考查能力】推理论证