选修4-4-231直线的参数方程.ppt

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1、2.3.1 直线的直线的参数方程参数方程选修选修4-4请同学们回忆请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式两点式:112121yyxxyyxx 点斜式点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式一般式:0()AxByCA B， 不不同同时时为为零零2121yyxx tan 000()Mxy 已已知知一一条条直直线线过过点点， ，倾倾斜斜角角 ，求求这这条条直直线线的的方方程程. .00tan()yyxx 解解：直直线线的的普普通通方方程程为为00sin()cosyyxx 把把它它变变成成00sincosyyxx 进进一一步步整整理理，得得：

2、00.sincosyyxxtt令令该该比比例例式式的的比比值值为为 ，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是参参数数M0(x0，y0)M(x,y)e (cossin ) ，00000()()()M Mx yxyxxyy，解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点M(x，y)，则，则(cossin)ele 设设是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，则则，00/M MetRM Mte因因为为，所所以以存存在在实实数数，使使，即即00()(cossin)xxyyt，00cossinxxtyyt所所以以，00cossinxxtyyt即即，00cossinxxttyyt 所所

3、以以，该该直直线线的的参参数数方方程程( (为为为为参参数数) )xOy0M Mtelt 由由，你你能能得得到到直直线线 的的参参数数方方程程中中参参数数的的几几何何意意义义吗吗？| t | = | M0M |M0Me00| |M MteM Mte解解：，|1ee又又因因为为 是是单单位位向向量量，0| | |.M Mtet所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离.这就是这就是 t 的几何的几何意义，要牢记意义，要牢记xOy21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线

4、线交交于于， 两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点， 到到 ，两两点点的的距距离离之之积积. .分析分析:3.点点M是否在直线上是否在直线上1.用普通方程去解还用普通方程去解还是用参数方程去解；是用参数方程去解；2.分别如何解分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点解：因为把点M的坐标代入直的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所线方程后，符合直线方程，所以点以点M在直线上在直线上.31cos4()32sin4xttyt 为为参参数数34 易易知知直直线线的的倾倾斜斜角角为为，所所以以直直线线的的参参数数方方程程可可以以写写成成：21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B

5、 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于， 两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点， 到到 ，两两点点的的距距离离之之积积. .M(-1，2)ABxOy212()222xttyt 即即为为参参数数22220.yxtt 把把它它代代入入抛抛物物线线方方程程，得得1221021022tt解解得得，t由由参参数数 的的几几何何意意义义得得12|10ABtt，121 2| | | |2.MAMBttt tM(-1，2)ABxOy12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直线线与与曲曲线线，交交于于，两两点点，对对应应的的参参数数分分别别为为 ，曲曲线线的的弦弦

6、的的长长是是多多少少？线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数 的的值值是是多多少少？121212(1)| |(2).2M Mttttt ；001212121212cos1.(sin().|.|.|.|xxttyytattABA BAttBttCttDtt 直直线线为为参参数数）上上有有参参数数分分别别为为 和和 对对应应的的两两点点 和和 ，则则 ， 两两点点的的距距离离为为B 1212121212cos2()sin()|.2222xattybtB CttBCMttttttttABCD . .在在参参数数方方程程为为参参数数 所所表表示示的的曲曲线线上上有有， 两两点点，它它们们对对应应的的

7、参参数数值值分分别别为为 、 ，则则线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数值值是是B1123.()3522 30(15)_.xttytxy 一一条条直直线线的的参参数数方方程程是是为为参参数数 ，另另一一条条直直线线的的方方程程是是，则则两两直直线线的的交交点点与与点点 ，间间的的距距离离是是4 312444022043120lxylxylxy. .求求直直线线 ：与与 ：及及直直线线 ：所所得得两两交交点点间间的的距距离离. .9 17145. 动点动点M作匀速直线运动，它在作匀速直线运动，它在x轴和轴和y轴方轴方向的分速度分别是向的分速度分别是3cm/s和和4cm/s，直角坐标，直角坐标

8、系的长度单位是系的长度单位是1cm，点，点M的起始位置在点的起始位置在点M0(2，1)处，求点处，求点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.32()41xttyt 为为参参数数325()415xttyt 为为参参数数 sin2036()()cos20. 20. 70.110.160 xttytABCD . .直直线线为为参参数数 的的倾倾斜斜角角是是el 我我们们知知道道， 是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向应应该该是是向向上上还还是是向向下下的的？还还是是有有时时向向上上有有时时向向下下呢呢？0tM M我我们们是是否否可可以以根根据据 的的值值来来确确定定向向

9、量量思思考考的的方方向向呢呢？0sin0sin0eeee 由由于于 是是直直线线的的倾倾斜斜角角，因因此此，当当时时，又又因因为为表表示示 的的纵纵坐坐标标，所所以以的的纵纵坐坐标标都都大大于于 ，那那么么 的的终终点点就就会会都都在在第第一一，二二象象限限，所所以以 的的方方向向就就总总会会向向上上. .000000.tM MtM MtMM 此此时时，若若，则则的的方方向向向向上上；若若，则则的的方方向向向向下下；若若，则则点点与与重重合合例例: 动点动点M作等速直线运动，它在作等速直线运动，它在 x 轴和轴和 y 轴方轴方向分速度分别为向分速度分别为 9，12，运动开始时，点，运动开始时，

10、点 M 位于位于A(1，1)，求点，求点 M 的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. 19()112xttyt为为参参数数请思考请思考: 此时的此时的t有没有明确的几有没有明确的几何意义何意义?没有没有直线的参数方程可以写成这样的形式直线的参数方程可以写成这样的形式:220221| |cossin.1abttM Mababt 当当时时， 有有明明确确的的几几何何意意义义，它它表表示示， 此此时时我我们们可可以以认认为为，为为倾倾斜斜角角. .当当时时， 没没有有明明确确的的几几何何意意义义. . 那那么么， 如如何何转转化化，可可以以使使参参数数具具有有几几何何意意义义呢呢？00()xxattyy

11、bt 为为参参数数 cos42cos7.()sin2sin()()53.664425.3366xtxtytyABCD直直线线为为参参数数 与与圆圆为为参参数数 相相切切，则则直直线线倾倾斜斜角角 为为或或或或或或或或 2248.()410 xattxyxybt 若若直直线线为为参参数数 与与曲曲线线相相切切，则则这这条条直直线线的的倾倾斜斜角角等等于于_._.233或或222(2 1)1164yxMlA BMABl例例经经过过点点， 作作直直线线 ，交交椭椭圆圆于于 ， 两两点点. . 如如果果点点恰恰好好为为线线段段的的中中点点，求求直直线线 的的方方程程. .22121222cos(2 1

12、)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：设设过过点点， 的的直直线线 的的参参数数方方程程为为为为参参数数 代代入入椭椭圆圆方方程程得得由由 的的几几何何意意义义知知，因因为为点点在在椭椭圆圆内内，这这个个方方程程必必有有两两个个实实根根，所所以以1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因为为点点为为线线段段的的中中点点，所所以以，即即，于于是是直直线线 的的斜斜率率为为，因因此此直直线线 的的方方程程为为，即即例例3 当前台风中心当前台风中心P在某海滨城市在某

13、海滨城市O向东向东300km处处生成，并以生成，并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移动度方向移动. 已知距台风中心已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭台风侵袭?PMOyx(300 0)250OOPxPOkmOMOOO解解：取取 为为原原点点，所所在在直直线线为为 轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系，如如图图，则则点点 的的坐坐标标为为， ，以以 为为圆圆心心，为为半半径径作作圆圆 ，当当台台风风中中心心移移动动后后的的位位置置在在圆圆内内或或以以圆圆

14、上上时时，城城市市 将将受受到到台台风风侵侵袭袭. .222250()30040cos135(0)40sin13530020 2(0).20 2OxytMx yMxtlttytxtttyt 圆圆 的的方方程程为为，设设经经过过时时间间 后后，台台风风中中心心的的坐坐标标为为， ，根根据据条条件件知知台台风风中中心心移移动动形形成成的的直直线线 的的方方程程为为为为参参数数，即即为为参参数数，222(30020 220 2 )(30020 2 )(20 2 )25015 25 715 25 7442.08.62MttOOttttth 当当点点，在在圆圆 内内或或在在圆圆 上上时时有有，解解得得由

15、由计计算算器器计计算算得得， 的的范范围围约约为为，所所以以，大大约约在在后后该该城城市市开开始始受受到到台台风风侵侵袭袭. .思考：思考：在例在例3中，海滨城市中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时受台风侵袭大概持续多长时间？间？如果台风侵袭的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径比如：当前半径为为250km，并以，并以10km/h的速度不断增大的速度不断增大)，那么，那么问题又该如何解决？问题又该如何解决？1. 直线参数方程直线参数方程2. 利用直线参数方程中参数利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化的几何意义，简化求直线上两点间的距离求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt 是是参参数数探究探究:直线的直线的参数方程形式参数方程形式是不是唯一的是不是唯一的| t | = | M0M |00()xxattyybt 为为参参数数221abt当当时时，才才具具有有此此几几何何意意义义其其它它情情况况不不能能用用. .