第1节第二课时成比例线段.ppt

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1、图形的相似图形的相似本章内容第第3章章 比例线段比例线段本课内容本节内容3.1子目内容3.1.2成比例线段成比例线段 我们知道线段既有形状又有大小，这节课我们我们知道线段既有形状又有大小，这节课我们主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给我们对图形形状的思考！我们对图形形状的思考！动脑筋动脑筋引入引入做一做做一做如图如图3-13-1， 在方格纸上（设小方格边长为单位在方格纸上（设小方格边长为单位1 1）有）有ABC 和和ABC， 它们的顶点都在格点上它们的顶点都在格点上. . 试求出线段试求出线段AB，BC，AC， AB， BC， AC的长度，的

2、长度， 并计算并计算AB与与AB， BC与与BC， AC 与与AC的长度的比值的长度的比值. .说一说说一说问题问题1 1：(1) (1) 请问图请问图3-13-1中，中，AB与与AB， BC与与BC，AC 与与AC三对线段的长度的比值有什么关系？三对线段的长度的比值有什么关系？ (2)(2)再观察图再观察图3-13-1中的中的ABC 和和ABC，说一说它们，说一说它们的形状有什么关系？的形状有什么关系？ 定义定义1 1：一般地，：一般地， 如果选用同一长度单位量得两条线段如果选用同一长度单位量得两条线段AB， AB的长度分别为的长度分别为， 那么把它们的长度的比那么把它们的长度的比 叫作叫作

3、这两条线段这两条线段AB与与AB的的比比（），）， 记作记作 或或 AB AB m n ；如果如果 的比值为的比值为，那么上，那么上述述式子也可写成式子也可写成 或或 AB AB .结论结论mnABmnA BABkA Bmn动脑筋动脑筋问题问题2 2：图图3-13-1中的中的 ABC 和和ABC中中AB、BC、AB 、BC这四条线段有什么样的数量关系这四条线段有什么样的数量关系 ？ ABC 和和ABC中中还有其它的四条线段也具有同样的数还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗？量关系吗？结论结论定义定义2 2：在四条线段中，：在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于如果其中两条线段的比等于另外

4、两条线段的比，另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作那么这四条线段叫作成比例线段，成比例线段， 简称为简称为比例线段比例线段（ ）.举举例例例例3 (1)3 (1)已知线段已知线段a，b，c，d 的长度分别为的长度分别为0.8cm0.8cm，2cm2cm，1.2cm1.2cm， 3cm3cm，问，问a，b，c，d是比例线段吗？是比例线段吗？ 解解 ( (一一) ) ， 即即a， b， c， d 是比例线段是比例线段., 4 . 032 . 1, 4 . 028 . 0dcbadcba 解解( (二二) ) ， 即即a， b， c， d 是比例线段是比例线段.,32,322 . 18 . 0db

5、cadbca举举例例例例3 (2)3 (2)已知线段已知线段a，b，c，d是比例线段，其中是比例线段，其中a，b，c的长度分别为的长度分别为0.8cm0.8cm，2cm2cm，1.2cm1.2cm，求，求d.解解 线段线段a，b，c，d是比例线段，是比例线段， 或或 或或 ；dcbacdbabdca当当 时，代入已知数，解得时，代入已知数，解得 d=3cmcm； dcba当当 时，代入已知数，解得，时，代入已知数，解得， d=0.48cmcm； cdba当当 时，代入已知数，解得，时，代入已知数，解得， d= cm.cm. bdca34动脑筋动脑筋问题问题3：你能画出成比例线段吗？你能画出成比

6、例线段吗？思路思路(1). 由例由例3的启发，画长度分别是的启发，画长度分别是1cm、2cm、3cm、6cm的四条线段的四条线段,这样的四条线段是成比例线段；这样的四条线段是成比例线段；当然长度分别为当然长度分别为1cm、2cm、2cm、4cm的四条线段是的四条线段是成比例线段。成比例线段。思路思路(2). 如图，如图， 平行四边形平行四边形ABCD中的中的 四条线段是成比例线段四条线段是成比例线段DACDBCAB解解 平行四边形平行四边形ABCD， AB=CD，BC=AD； 或 ； AB、BC、CD、DA四条线段是成比例线段四条线段是成比例线段.1ADBCCDABDCBA 当然矩形、正方形、

7、菱形中的当然矩形、正方形、菱形中的四条线段也分别都是四条线段也分别都是成比例线段成比例线段.动脑筋动脑筋问题问题4 ：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约400400约前约前347347）曾经提出一个问题：能否将一条线段）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成分成不相等的两部分，使较短线段不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段与较长线段AC的比等的比等于线段于线段AC与原线段与原线段AB的比？的比？即，即， 使得使得CBACACAB成立？成立？小知识解决方法：解决方法：先把问题特殊化，先把问题特殊化， 设线段设线段AB的长度为个单位，的长度为个单位，

8、点点C为线段为线段AB上一点，且上一点，且AC的长度为的长度为x个单位，则个单位，则CB的长度的长度为（为（ x ）个单位）个单位CBACACAB由等式由等式，得，得11xxx解得解得 （舍去）（舍去）. .1512x2512x因此因此510.618.2ABAC小知识小结：小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，的线段的比等于较长线段与原线段的比，而且比值等于而且比值等于 .510.6182 问题问

9、题5：对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等的的 两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？段与原线段的比吗？动脑筋动脑筋如果能的话，这个比值会是如果能的话，这个比值会是 吗？吗？510.6182解决方法：解决方法：参考特殊方法，把特殊值参考特殊方法，把特殊值1变成任意值变成任意值a。动脑筋动脑筋设线段设线段AB 的长度为的长度为a 个单位，点个单位，点C为线段为线段AB 上一点，且上一点，且AC的的长度为长度为x个单位，则个单位，则CB的长度为（的长度为（ax ）个单位）

10、个单位CBACACAB由等式由等式，得，得axxxa618. 02151axABAC因此，因此， . . 解得解得 （舍去）（舍去）. .25,2521aaxaax小知识小结：小结：借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，的比等于较长线段与原线段的比，而且比值也等于而且比值也等于510.6182结论结论定义定义3 3：如果能将一条线段：如果能将一条线段AB分成不相等的两部分成不相等的两部分，使较短线段分

11、，使较短线段CB与较长线段与较长线段AC的比等于线段的比等于线段AC与原线段与原线段AB的比，那么称的比，那么称线段线段AB被点被点黄金黄金分割分割（ ），点），点叫作线段叫作线段AB的的黄金分割点黄金分割点， 较长线段较长线段AC与原线与原线段段AB的比叫作的比叫作黄金分割比黄金分割比 问题问题6：我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？动脑筋动脑筋 对于一条给定的线段对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下：，找出它的黄金分割点的作法如下：（1 1）过点）过点B作作AB的垂线，并在垂线上取的垂线，并在垂线上取BC= = A

12、B；12（2 2）连接）连接AC，以点，以点C为圆心，为圆心，CB为半径画弧，交为半径画弧，交AC于点于点E；（3 3）以点）以点A为圆心，为圆心，AE为半径画弧，交为半径画弧，交AB 于点于点P. .则点则点P为所求作的线段为所求作的线段AB的黄金分割点的黄金分割点. .欣赏：欣赏：我们知道我们知道黄金分割比黄金分割比是个确定数是个确定数 ，这个数可是，这个数可是 享誉全世界的，因为比值是它的线段享誉全世界的，因为比值是它的线段 围成的图形是最美丽的图形围成的图形是最美丽的图形. .510.6182小知识小知识古希腊的古希腊的巴台农神庙巴台农神庙正面高度与底部宽度之正面高度与底部宽度之比约为

13、比约为黄金分割比黄金分割比. .小知识印度泰姬陵印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约正面高度与底部宽度之比约为为黄金分割比黄金分割比. .小知识意大利著名画家意大利著名画家达达芬奇的名作芬奇的名作蒙娜丽莎蒙娜丽莎中，中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比黄金分割比习题习题3.11.1.求下列各式中求下列各式中x x的值的值. .（1 1） 57 =1557 =15 x ； （2 2） 1445 = 1445 = x 2525；（3 3） 5252x = 268 = 268 ； （4 4） x 13 = 6578.13 = 6578.答答： (1)(1)

14、x =21; =21; (2) (2) x = 720; = 720; (3) (3) x =16; =16; (4) (4) x = . = .6652.2.已知已知a ，是比例线段是比例线段. .（1 1） 若若a=2 =2 ，b=3 =3 ，c=4 =4 ，求，求d；（2 2） 若若a=1.5 =1.5 ，c=2.5 =2.5 ，d=4.5 =4.5 ，求，求b；（3 3） 若若a=1.1 =1.1 ，b=2.2 =2.2 ，d=4.4 =4.4 ，求，求c 答：答： (1) (1) d =6 =6 或或 或或 ； 3823答：答： (2) (2) b = = 7.57.5或或2.72.

15、7 或或 ； 65答：答： (3) (3) c =8.8 =8.8 或或2.22.2 或或 0.550.55 . . 3 3、甲、乙两地的实际距离为、甲、乙两地的实际距离为680km680km， 在某地图上量得这在某地图上量得这两地的距离为两地的距离为17cm17cm， 求该地图的比例尺求该地图的比例尺. .答：答：因为因为680km=68000000cm680km=68000000cm， 所以该地图的比例尺所以该地图的比例尺=68000000:17=4000000:1.=68000000:17=4000000:1. 4 4、如图，节目主持人在主持节、如图，节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄

16、金分割点处目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体最自然得体. . 若舞台若舞台AB长为长为20m20m，则主持人站在离则主持人站在离A点多远处最自点多远处最自然得体？（结果精确到然得体？（结果精确到0.1m0.1m）解：设解：设AB的黄金分割点为的黄金分割点为C C，则，则AC 0.618AB或或BC 0.618AB, , 解得解得AC 12.5m或或AC 7.6m .答：所以答：所以主持人站在离主持人站在离A点点12.5m12.5m或或7.6m远处最自然得体远处最自然得体. . 小结与复习小结与复习1 1、请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？、请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知

17、识？线段之间的一种数量关系：四条线段成比例线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！认识了一个最特别的数认识了一个最特别的数 ，比值是它的线，比值是它的线段围成的图形最美丽段围成的图形最美丽. .510.6182小结与复习小结与复习2 2、请问同学们以前学过的哪些图形中有成比例线段？、请问同学们以前学过的哪些图形中有成比例线段？平行四边形、矩形、正方形、菱形中的平行四边形、矩形、正方形、菱形中的四条线段分别都四条线段分别都是成比例线段是成比例线段.3 3、请问同学们你有哪些方法画比例线段？、请问同学们你有哪些方法画比例线段？（2 2）可以画平行四边形、矩形、正方形或菱形）可以画平行四边形、矩形、正方形或菱形. .（1 1）可以先确定比例线段的长度再画线段；）可以先确定比例线段的长度再画线段；返回返回