2016年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 26 页） 数学试卷 第 2 页（共 26 页） 绝密启用前湖南省衡阳市 2016 年初中毕业学业水平考试 数 学本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 36 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.的相反数是 ( )4-A.B.C.D.41 41 442.如果分式有意义,则 的取值范围是 ( )3 1x xA.全体实数B.C.D.1x 1x 1x3.如图,直线,则等于 ( )ABCD50B40CEA.70B.80C.90D.1004.下列几何体中,哪一个几何

2、体的三视图完全相同 ( )A.球体B.圆柱体C.四棱锥D.圆锥5.下列各式中,计算正确的是 ( )A.B.C.D.358xyxy358xxxA632xxx3 36()xx6.为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求.某市将新建保障住房套.把用科学记数法表示应是 ( )36000003600000A.B.C.D.70.36 1063.6 1073.6 10536 107.要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的 ( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差8.正多边形的一个内角是,则这个正多边形的边数为 ( )150A.10B.11C.12D.139.

3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止 2015 年底某市汽车拥有量为 16.9 万辆.己知 2013 年底该市汽车拥有量为 10 万辆.设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为,根据题意列方程得 ( )xA.B.210 116.9x（）10 1216.9x（）C.D.210 116.9x（）10 1216.9x（）10.关于的一元二次方程有两个相等的实根,则的值为 ( )x240xxkkA.B.4k 4k 数学试卷 第 3 页（共 26 页） 数学试卷 第 4 页（共 26 页）C.D.4k-4k11.下列

4、命题是假命题的是 ( )A.经过两点有且只有一条直线B.三角形的中位线平行且等于第三边的一半C.平行四边形的对角线相等D.圆的切线垂直于经过切点的半径12.如图,已知是反比例函数图象上的两点,轴,交轴AB，kyx00kx（，）BCxy于点.动点从坐标原点出发,沿(图中“”所示路线)匀速运动,终CPOOABC点为.过作轴,垂足为.设的面积为,点运动时间为 ,则CPPMxMOMPSPt关于的函数图象大致为( )SxABCD第卷(非选择题 共 84 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填写在题中的横线上)13.因式分解： .2aab14.计算： .1 11x xx

5、15.点在第一象限,则 的取值范围是 .23P xx（，）x16.若与相似且面积之比为,则与的周长之比为 .ABCDEF25:16ABCDEF17.若圆锥底面圆的周长为,侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的母线长为 .89018.如图,1 条直线将平面分成 2 个部分,2 条直线最多可将平面分成 4 个部分,3 条直线最多可将平面分成 7 个部分,4 条直线最多可将平面分成 11 个部分.现有条直线最多可将平面分成 56 个部分,则 的值为 .nn三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分 6 分)先化简,再求值：,其中.2()()()

6、ab a bab-112ab ，20.(本小题满分 6 分)为庆祝建党 95 周年,某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛,要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲.为此提供代号为四首ABCD，备选曲目让学生选择,经过抽样调查,并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图.请根据图 1,图 2 所提供的信息,解答下列问题：数学试卷 第 5 页（共 26 页） 数学试卷 第 6 页（共 26 页） 图 1图 2(1)在本次抽样调查中,选择曲目代号为的学生占抽样总数的百分比为 ；A(2)请将图 2 补充完整；(3)若该校共有名学生,根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必153

7、0唱歌曲？(要有解答过程)21.(本小题满分 6 分)如图,点四点共线,且,.求证：A C D B,ACBDAB ADEBCF .DECF22.(本小题满分 8 分)有四张背面完全相同的纸牌,其中正面分别画有四个不同的几何图形(如A B C D,图).小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸一张.(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌可用表示)；ABCD、(2)求摸出的两张纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.23.(本小题满分 8 分)为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过港口、港口分别运送 100 吨和AB50 吨生活物

8、资.已知该物资在甲仓库存有 80 吨,乙仓库存有 70 吨.若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示.运费(元/台) 港口 甲库乙库港A1420港B108(1)设从甲仓库运送到港口的物资为 吨,求总运费(元)与 (吨)之间的函数关Axyx系式,并写出的取值范围；x(2)求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案.24.(本小题满分 10 分)在某次海上军事学习期间,我军为确保海域内的安全.特派遣三艘军舰分别OBC在处监控海域.在雷达显示图上,军舰在军舰的正东方向 80OBC、OBCBO海里处,军舰在军舰的正北方向 60 海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,CB雷达的有效探测范围

9、是半径为 的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)r(1)若三艘军舰要对海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径 至少为多OBCr少海里？数学试卷 第 7 页（共 26 页） 数学试卷 第 8 页（共 26 页）(2)现有一艘敌舰从东部接近海域,在某一时刻军舰测得位于北偏东AOBCBA60方向上,同时军舰测得位于南偏东方向上,求此时敌舰离海域CA30AOBC的最短距离为多少海里？(3)若敌舰沿最短距离的路线以海里/小时的速度靠近海域,我军军A20 2OBC舰立刻沿北偏东的方向行进拦截,问军舰速度至少为多少才能在此方向上拦B15B截到敌舰？A25.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标中,三个顶点

10、坐标为,.ABC(30)A ，( 3,0)B(0,3)C(1)求内切圆的半径；ABCDA(2)过点的直线与相切于点(点在第一象限),求直线的解析式；(0, 1)E-DAFFEF(3)以(2)为条件,为直线上一点,以为圆心,以为半径作.若上PEFP2 7PAPA存在一点到三个顶点的距离相等,求此时圆心的坐标.ABCP26.(本小题满分 12 分)如图,抛物线经过的三个顶点.与轴相交于.点坐2yaxbxcABCy9(0, )4A标为,点是点关于轴的对称点,点在 轴的正半轴上.( 1,2)BAyCx(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)点为线段上一动点,过作轴,轴,垂足分别为.当FACFFExFG

11、yEG、四边形为正方形时,求出点的坐标；OEFGF(3)将(2)中的正方形沿向右平移,记平移中的正方形为正方形OEFGOCOEFG.当点和点重合时停止运动,设平移的距离为 ,正方形的边DEFGECtDEFG与交于点.所在的直线与交于点EFACMDGAC.连接,是否存在这样的 ,使是等腰NDMtDMN三角形？若存在,求 的值；若不存在请说明理由.t湖南省衡阳市 2016 年初中毕业学业水平考试数学答案解析数学试卷 第 9 页（共 26 页） 数学试卷 第 10 页（共 26 页） 第卷一、选择题1.【答案】D【解析】-4 的相反数是 4，故选 D.【提示】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个

12、数叫做互为相反数，进而得出答案.【考点】相反数2.【答案】B【解析】分式有意义，解得：，故选 B.3 x1x10 x1【提示】直接利用分式有意义的条件得出 x 的值.【考点】分式有意义的条件3.【答案】C【解析】，ABCD1B50 C40E180B190 故选 C.【提示】根据平行线的性质得到，由三角形的内角和即可得到结论.1B50 【考点】平行线的性质4.【答案】A【解析】球体的三视图都是圆，故 A 选项正确；圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故 B 选项错误；四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故 C 选项错误；圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角

13、形，但是俯视图是一个圆形，故 D 选项错误.故选 A.【提示】根据各个几何体的三视图的图形易求解.【考点】简单几何体的三视图5.【答案】B【解析】，无法计算，故 A 选项错误；，故 B 选项正确；3x5y358xx =xA，故 C 选项错误；，故 D 选项错误.故选 B.633xxx3 39( x )x 【提示】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.【考点】同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方6.【答案】B【解析】，故选 B.636000003.6 10【提示】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数.确定 n 的

14、na 101 |a | 10值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数.【考点】科学记数法表示较大的数7.【答案】D数学试卷 第 11 页（共 26 页） 数学试卷 第 12 页（共 26 页）【解析】方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好，故选 D.【提示】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立.标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需

15、要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差.【考点】统计量的选择8.【答案】C【解析】外角是：，则这个正多边形是正十二边形.18015030 3603012 故选 C.【提示】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数.【考点】多边形内角与外角9.【答案】A【解析】设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意，可列方程：，故选 A.210 (1x)16.9【提示】根据题意可得：2013 年底该市汽车拥有量（1+增长

16、率）2=2015 年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可.【考点】由实际问题抽象出一元二次方程10.【答案】B【解析】一元二次方程有两个相等的实根，解得：2x4xk0244k0，故选 B.k4【提示】根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可.244k0【考点】根的判别式11.【答案】C【解析】经过两点有且只有一条直线，故 A 选项正确；三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故 B 选项正确；矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故 C 选项错误；圆的切线垂直于经过切点的半径，故 D 选项正确.故选 C.【提示】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断 A、B、D 正

17、确.【考点】命题与定理12.【答案】A【解析】设，点 P 运动的速度为 a，当点 P 从点 O 运动到点 A 的过程中，AOM ，由于及 a 均为常量，从而可知图22(at cos ) (at sin )1S acossint22AAAAAA象本段应为抛物线，且 S 随着 t 的增大而增大；当点 P 从 A 运动到 B 时，由反比例函数性质可知的面积为 k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当 POPM点从 B 运动到 C 过程中，OM 的长在减少，的高与在 B 点时相同，故本段图象OPM应该为一段下降的线段；故选 A.【提示】结合点 P 的运动，将点 P 的运动路线分成、三段位OAA

18、BBC置来进行分析三角形 OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.【考点】动点问题的函数图象第卷数学试卷 第 13 页（共 26 页） 数学试卷 第 14 页（共 26 页） 二、填空题13.【答案】a(ab)【解析】，故答案为.2aaba(ab)a(ab)【提示】直接把公因式 a 提出来即可.【考点】因式分解提公因式法14.【答案】1【解析】原式=，故答案为 1.x1=1 x1 【提示】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可.【考点】分式的加减法15.【答案】x2【解析】点在第一象限，解得，故答案为.P(x2,x3)x20

19、 x30x2x2【提示】直接利用第一象限点的坐标特征得出 x 的取值范围即可.【考点】点的坐标16.【答案】5:4【解析】ABC 与DEF 相似且面积之比为 25:16，ABC 与DEF 的相似比为5:4；ABC 与DEF 的周长之比为 5:4.故答案为 5:4.【提示】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解.【考点】相似三角形的性质17.【答案】16【解析】设该圆锥的母线长为 l，根据题意得，解得，即该圆锥的母线90 l8=180A Al16长为 16.故答案为 16.【提示】设该圆锥的母线长为 l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

20、长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解90 l8=180A A方程即可.【考点】圆锥的计算18.【答案】10【解析】，解得（不合题意舍去） ，.故答案为 10.1n(n1)1562 1x11 2x10【提示】条直线最多可将平面分成，依此可得等nS1 123n n(n1)1 量关系：条直线最多可将平面分成 56 个部分，列出方程求解即可.n【考点】点，线，面，体三、解答题19.【答案】1【解析】原式=，当，时，原式=22222aba2abb2ab=2aa1 1b2.212 ( 1)2 ( 1)2 1 12 【提示】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项

21、即可化简，将、a数学试卷 第 15 页（共 26 页） 数学试卷 第 16 页（共 26 页）的值代入求值即可.b【考点】整式的混合运算化简求值20.【答案】 （1）由题意可得，本次抽样调查中，选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比为：.6036(30) 1 00%20%360故答案为 20%；（2）由题意可得，选择 C 的人数有：（人） ，603036304470360故补全的图如下图所示，（3）由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：（人） ，701530=595180即全校共有 595 名学生选择此必唱歌曲.【提示】 （1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为 A 的学生占

22、抽样总数的百分比；（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择 C 的人数，从而可以将图补充完整；（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数.【考点】条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图21.【答案】，ACBDACCDBDCDADBC在AED 和BFC 中，AB ADBC ADEBCF AEDBFC(ASA).DECF【提示】求出，根据推出，根据全等三角形的性质得ADBCASAAEDBFC出即可.【考点】全等三角形的判定与性质22.【答案】 （1）解法一：（树状图）解法二：（列表法）数学试卷 第 17 页（共 26 页） 数学试卷 第 18 页（共 26 页） 则共有

23、16 种等可能的结果.（2）既是中心对称又是轴对称图形的只有 B、C，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4 种情况，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为.41P164【提示】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.【考点】列表法与树状图法23.【答案】 （1）设从甲仓库运 x 吨往 A 港口，则从甲仓库运往 B 港口的有吨，(80x)从乙仓库运往 A 港口的有 x 吨，运往 B 港口的有吨，50(80x)(x30)所以，y14x2010(80x)8(x30)8x2560 x

24、的取值范围是.30x80（2）由（1）得随 x 增大而减少，所以当时总运费最小，y8x2560y x80当时，x80y8 8025601920 此时方案为：把甲仓库的全部运往 A 港口，再从乙仓库运 20 吨往 A 港口，乙仓库的余下的全部运往 B 港口.【提示】 （1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往 A、B 两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往 A 港口的费用+甲仓库运往 B 港口的费用+乙仓库运往 A港口的费用+乙仓库运往 B 港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得x0 80x0 x300 100x0 出 x 的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y 随

25、 x 增大而减少，则当时，x80y 最小，并求出最小值，写出运输方案.【考点】一次函数的应用24.【答案】 （1）在 RtOBC 中，BO80BC60OBC90，2222OCOBBC8060100，雷达的有效探测半径 r 至少为 50 海里.11OC1005022（2）作于 M，AMBCACB30CBA60CAB90，1AB BC302在 RtABM 中，AMB90AB30BAM301BM AB152，AM 3BM15 3此时敌舰 A 离OBC 海域的最短距离为海里.15 3（3）假设 B 军舰在点 N 处拦截到敌舰.在 BM 上取一点 H，使得，设HBHN，MNx数学试卷 第 19 页（共

26、26 页） 数学试卷 第 20 页（共 26 页），HBNHNB15 MHNHBNHNB30 HNHB2x,MH3 x，BM1515 3x2xx30 15 3AN30 330，22BNMNBM15( 62)设 B 军舰速度为 a 海里/小时，由题意，.15( 62)30 330 a20 2a20B 军舰速度至少为 20 海里/小时.【提示】 （1）求出 OC，由题意，由此即可解决问题.1rOC2（2）作于 M，求出 AM 即可解决问题.AMBC（3）假设 B 军舰在点 N 处拦截到敌舰上取一点 H，使得，设，BMHBHNMNx先列出方程求出 x，再求出 BN、AN 利用不等式解决问题.【考点】

27、解直角三角形的应用方向角问题25.【答案】 （1）连接 BD，B( 3,0)C(0,3)OB3OC3tan CBOOC3OBCBO60点 D 是ABC 的内心，BD 平分，CBO，DBO30ODtan DBOOBOD1ABC 内切圆D 的半径为 1.（2）连接 DF，过点 F 作 FGy 轴于点 G，E(0, 1)OE1DE2直线 EF 与D 相切，DFE90DF1DFsin DEFDEDEF30GDF60在 RtDGF 中，DFG301DG2由勾股定理可求得：，3GF23 1F(, )22设直线 EF 的解析式为：，ykxbb113kb22 直线 EF 的解析式为：.y3x1数学试卷 第 2

28、1 页（共 26 页） 数学试卷 第 22 页（共 26 页） （3）P 上存在一点到ABC 三个顶点的距离相等，该点必为ABC 外接圆的圆心，由（1）可知：ABC 是等边三角形，ABC 外接圆的圆心为点 D，DP2 7设直线 EF 与 x 轴交于点 H，令代入，y0y3x13x3H(3,0)3，FH3 3当 P 在 x 轴上方时，过点 P1作 P1Mx 轴于 M，由勾股定理可求得：，1PF3 31110 3PHPFFH3，1DEFHPM30 115 3HMPH231PM5OM2 3，1P (2 3,5)当 P 在 x 轴下方时，过点 P2作轴于点 N，2P Nx由勾股定理可求得：，2P F3

29、 3228 3P HP FFH3DEF30，OHE6022P Nsin OHEP H2P N4令代入，y4 y3x1x3 2P(3, 4) 综上所述，若P 上存在一点到ABC 三个顶点的距离相等，此时圆心 P 的坐标为或.(2 3,5)(3, 4)【提示】 （1）由 A、B、C 三点坐标可知，又因为点 D 是ABC 的内心，CBO60所以 BD 平分，然后利用锐角三角函数即可求出 OD 的长度；CBO（2）根据题意可知，DF 为半径，且，过点 F 作 FGy 轴于点 G，求得DFE90FG 和 OG 的长度，即可求出点 F 的坐标，然后将 E 和 F 的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线

30、EF 的解析式；（3）P 上存在一点到ABC 三个顶点的距离相等，该点是ABC 的外接圆圆心，即为点 D，所以，又因为点 P 在直线 EF 上，所以这样的点 P 共有 2 个，且由DP2 7勾股定理可知.PF3 3【考点】圆的综合题26.【答案】 （1）点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，抛物线的对称轴为 y 轴，抛物线的顶点为，9(0, )4故抛物线的解析式可设为.2y9ax4在抛物线上，解得，A( 1,2)2y9ax49a241a4 抛物线的函数关系表达式为；21yx49 4 数学试卷 第 23 页（共 26 页） 数学试卷 第 24 页（共 26 页）（2）当点 F 在第一象限时，如

31、图 1，令得，解得：，y02 41x4901x32x3 点 C 的坐标为(3,0)设直线 AC 的解析式为，则有，解得，直线 AC 的ymxnmn2 3mn0 1m2 3n2 解析式为.13yx22 设正方形 OEFG 的边长为 p，则.F(p,p)点在直线上，解得，F(p,p)13yx22 13pp22p1点 F 的坐标为(1,1)当点 F 在第二象限时，同理可得：点 F 的坐标为，此时点 F 不在线段 AC 上，故舍去.( 3,3)综上所述：点 F 的坐标为；(1,1)（3）过点 M 作 MHDN 于 H，如图 2，则，.ODtOEt1 点 E 和点 C 重合时停止运动，.0t2 当时，则

32、，.xt13t)22N(t,13t22DN当时，则，.xt1 131y(t1)t1222 1M(t1,t1)21MEt12 在 RtDEM 中，.222211DM1t1tt224（-）在 RtNHM 中，MH11311NH(t)(t1)2222 .22215MN1( )24当时，解得；DNDM22131(t)tt2224 1t2当时，解得；NDNM1355t2242t35当时，解得，.MNMD2t51 44t2 1t12t3，.0t2 t1综上所述：当DMN 是等腰三角形时，t 的值为，或 1.1 235【提示】 （1）易得抛物线的顶点为，然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线9(0, )4的函数关系表达式；数学试卷 第 25 页（共 26 页） 数学试卷 第 26 页（共 26 页） （2）当点 F 在第一象限时，如图 1，可求出点 C 的坐标，直线 AC 的解析式，设正方形 OEFG 的边长为 p，则，代入直线 AC 的解析式，就可求出点 F 的坐标；F(p,p)当点 F 在第二象限时，同理可求出点 F 的坐标，此时点 F 不在线段 AC 上，故舍去；（3）过点 M 作 MHDN 于 H，如图 2，由题可得然后只需用 t 的式子表示0t2 DN、，分三种情况（，）讨论2DM2MNDNDMNDNMMNMD就可解决问题【考点】二次函数综合题