131函数的单调性与最大（小）值.ppt

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1、2022-6-191高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟第1课时2022-6-192高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 xyox1x2( )yf x1()f x2()f x问题问题1: 1: 怎样定义怎样定义“函数函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数”？( )f x问题问题2 2：函数函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数, ,其图像有何特征？其图像有何特征？( )f x 对于对于函数函数 定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个上的任意两个自变量自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 则称函数则称函数 在区间在区间D

2、 D上是增函数，这个区间上是增函数，这个区间D D就就叫做函数叫做函数 的单调递增区间的单调递增区间. . ( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x( )f x( )f x2022-6-193高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题3: 3: 怎样定义怎样定义“函数函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数”？( )f x问题问题4 4：函数函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数, ,其图像有何特征？其图像有何特征？( )f x 对于对于函数函数 定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个上的任意两个自变量自变量 的值

3、的值，若当，若当 则称函数则称函数 在区间在区间D D上是减函数，这个区间上是减函数，这个区间D D就就叫做函数叫做函数 的单调递减区间的单调递减区间. . ( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x( )f x( )f xxyox1x22()f x( )yf x1()f x2022-6-194高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题6 6：函数函数 单调区间是怎样的？单调区间是怎样的？2xy 问题问题7 7：函数函数 单调区间是怎样的？单调区间是怎样的？xy3问题问题5 5：函数函数 单调性是怎样的？单调性是怎样的？12 xy)0( kbk

4、xy)0(2acbxaxy)0( kxky2022-6-195高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 释释 疑疑 解解 惑惑 2022-6-196高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例1 作出函数作出函数 的的图象，根据图象，图象，根据图象， 说出函数说出函数 单调区间，以及在每一单调区单调区间，以及在每一单调区 间上，函数间上，函数 是增函数还是减函数是增函数还是减函数. 2( )2f xxx( )f x( )f x2022-6-197高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉告诉 我们，对于一

5、定量的气体，当其体积我们，对于一定量的气体，当其体积V V减小减小 时，压强时，压强p p将增大将增大. . 试用函数的单调性证明试用函数的单调性证明. .()kPkV为正常数 理理 论论 迁迁 移移 2022-6-198高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例3 3 试探究函数 在 上的单调性.xxy4 ), 0( 变式：试探究函数变式：试探究函数 在在 上的单调性上的单调性. .)0( kxkxy), 0( 2022-6-199高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例4 4 试探究函数 在 上的单调性.xxy4 ), 0( 变

6、式变式1：试探究函数：试探究函数 在在 上的单调性上的单调性. .xxy4 )0 ,(变式变式2：试探究函数：试探究函数 在在 上的单调性上的单调性. .)0( kxkxy), 0( 2022-6-1910高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟第2课时2022-6-1911高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题1 1：对于函数对于函数 定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意两个上的任意两个 自变量的值自变量的值 ，若，若 ， 则函数则函数 在区间在区间D D上的单调性如何？上的单调性如何？)(xf)(,2121xxxx 0)()(2121 xx

7、xfxf)(xf 若若 呢？呢？ 0)()(2121 xxxfxf2022-6-1912高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题2 2：若函数若函数 在区间在区间D D上为增函数，上为增函数， 为常数，为常数， 则函数则函数 、 的单调性如何？的单调性如何？)(xfaxf )()(xaf)0( aa2022-6-1913高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题3 3：若函数若函数 、 在区间在区间D上都是增函数，则函数上都是增函数，则函数 、 在区间在区间D上的单调性上的单调性 能否确定？能否确定？)(xf)(xg)()(

8、xgxf )()(xgxf 2022-6-1914高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 思考思考4 4：若函数若函数 在区间在区间D D上是增函数，上是增函数， 则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数吗？上是增函数吗？ 函数函数 在区间在区间D D上是增函数吗？上是增函数吗？)(xf)(xf)(1xf2022-6-1915高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟已知函数已知函数 对于任意对于任意 ，总有，总有 ，且当且当 时，时， .求证：求证： 是是 上的减函数上的减函数.)()()(yxfyfxf 1 x0)( xf)(xfyx,)(xf), 0( 已知

9、函数已知函数 对于任意对于任意 ，总有，总有 ，且当且当 时，时， .求证：求证： 是是R上的减函数上的减函数.)()()(yxfyfxf 0 x0)( xf)(xfyx,)(xf 自自 学学 检检 测测 2022-6-1916高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟例例1 1 若若 的在定义域的在定义域 R R 上为减函数，上为减函数， 试比较试比较 与与 的大小关系的大小关系. . )(xf)43(f) 1(2 aaf 理理 论论 迁迁 移移 2022-6-1917高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟例例2 2 已知函数已知函数 ，对于任意，对于任意 ， 都有都有 ， 试比较试比较

10、 的大小的大小. .xcbxxxf 2)()2()2(xfxf )4(),2(),1(fff 理理 论论 迁迁 移移 2022-6-1918高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟例例3 3 已知函数已知函数 在在 上上 是减函数，求是减函数，求 的取值范围的取值范围. .2( )2(1)2f xxm x(,4m 理理 论论 迁迁 移移 2022-6-1919高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例4 4 已知函数已知函数 在区间在区间00，44上是上是 增函数，求实数增函数，求实数 的取值范围的取值范围. .axaxxf2)(2 2022-6-1920高一年

11、级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例5 5 已知函数已知函数 对于任意对于任意 ，总有，总有 且当且当 时，时， . . 求证：求证： 是是 上的增函数；上的增函数； 若若 ，解不等式，解不等式 . . ( )f x, a b( )( ) 1f af b (),f ab0 x ( )1f x ( )f xR(4)5f2(32)3fmm2022-6-1921高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟第3课时2022-6-1922高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： ox0 xMy问题问题

12、1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？问题问题2:2:设函数设函数y= =f( (x) )图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数，则对函数 定义域内任意自变量定义域内任意自变量x，f( (x) )与与M的大小关系如何？的大小关系如何？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？y yx xox0M2022-6-1923高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题3:3:设函数设函数 ，则，则 成立吗？成立吗？ 的最大值是的最大值是2 2吗？为什么？吗？为什么？2( )1f xx ( )2f

13、x ( )f x( )f x问题问题4:4:怎样定义函数怎样定义函数 的最大值？用什么符号表示？的最大值？用什么符号表示？ 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 Mxf max)(2022-6-1924高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题5:5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？

14、如果函数如果函数 的值域是的值域是( (a, ,b) )， 则函数则函数 存在最大值吗？存在最大值吗？ ( )f x( )f x问题问题6:6:函数函数 有最大值吗？有最大值吗？ 为什么？为什么？21,( 1,)yxx 2022-6-1925高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 问题问题7:7:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？ ( )f x一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I， 如果存在实数如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）

15、存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 Mxf min)(2022-6-1926高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 2. 2. 函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小） 的，即对于任意的的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f (x)M） 注注 意：意：1. 1. 函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在即存在x0I，使得，使得f (x0) = M；3. 3. 最大值和最小值统称为最值最大值和最小

16、值统称为最值2022-6-1927高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x1 1和和 x2 2， 使对定义域内任意使对定义域内任意x都有都有 成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？12( )( )( )f xf xf x( )f x思考思考2:2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，对一个函数就最大值和最小值的存在性而言， 有哪几种可能情况？有哪几种可能情况？( )f x思考思考3:3:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？思考思考4:4:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b

17、，最小值是，最小值是a， 那么函数那么函数 的值域是的值域是 a，b 吗？吗？( )f x( )f x 自自 学学 检检 测测 2022-6-1928高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟例例1 1 已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2,2,61f xxx( )f x 理理 论论 迁迁 移移 2022-6-1929高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 例例2 2 求下列函数的最小值求下列函数的最小值22221(1)( )(0)4(2)( )22 1,1xxf xxxf xxaxx 2022-6-1930高一年级数学组高

18、一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 理理 论论 迁迁 移移 单调法求函数最值：单调法求函数最值： 先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：常用到以下一些结论：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递增，上单调递增， 则函数则函数y=f(x)在在x=a处有最小值处有最小值f(a) ,在在x=b处有最大值处有最大值f(b) ； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递减，上单调递减， 则函数则函数y=f(x)在在x=a处有最大值处有最大值f(a),在在x=b处有最小值处有最小值f(b).如果函数如果函数y=f(x)

19、在区间（在区间（a,b上递增，在区间上递增，在区间b,c)上递减，上递减， 则函数则函数y=f(x)在在x=b处有最大值处有最大值f(b).如果函数如果函数y=f(x)在区间（在区间（a,b上递减，在区间上递减，在区间b,c)上递增，上递增， 则函数则函数y=f(x)在在x=b处有最小值处有最小值f(b).2022-6-1931高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 课课 时时 小小 结结 利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的上的单调性的一般步骤：单调性的一般步骤： 1.1.取数取数: :任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 2.2.作差

20、作差: :f(x1)f(x2)； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(x1)f(x2)的正负的正负; ; 5.5.定论定论: :指出函数指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性上的单调性. .2022-6-1932高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟自主学习册自主学习册 训练案：训练案：类题和类题和类题类题 自自 主主 作作 业业 2022-6-1933高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟 自自 学学 检检 测测 21xx 0)()(21 xfxf)()(:21xfxf 即即证明：证明：（取值）（取值）（作差）（作差）（定论）（定论）（定号）（定号）.,),(,2121xxxx 且且上上任任意意两两个个实实数数是是区区间间设设)12()12()()(2121 xxxfxf0 21 xx.),(12)(上上是是增增函函数数在在区区间间故故函函数数 xxf（变形）（变形）)(221xx （比较大小）（比较大小）.),(12)(上上是是增增函函数数在在区区间间证证明明函函数数 xxf2022-6-1934高一年级数学组高一年级数学组 甘林蛟甘林蛟)(xf0)()(2121 xxxfxf