线代框架.doc

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1、1线线 性性 代代 数数 知知 识识 框框 架架( )000 ,nTA r An A A AxxAxAAx A A AE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R R12 ,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.nnR Rn( )0A r An AAA AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解, 其基础解系即为关于0的 特征向量注：()()0a br aEbAnaEbAaEbA x 0有非零解=- :具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似

2、()矩阵合同()2 关于：12,ne ee称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；n:n:152p教材线性无关；12,ne ee；12,1ne ee；tr =E n任意一个维向量都可以用线性表示.n12,ne ee行列式的定义 1 2121 21112121222() 1212()nnnnnj jj njjnj j jjnnnnaaa aaaDa aaaaa 1 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若都是方阵（不必同阶）,则AB与=()mnAO

3、AAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.3关于副对角线：(1) 2112121 12111()n nnnnn nnnnnaOa aaa aaaOaO 1范德蒙德行列式：12 222 12 1111 12nijn n ijnnn nxxx xxxxxxxx 111矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或m nmn111212122212nnmmmnaaa aaaAaaa m n ijm nAam nA伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式. 1121112222*12nTn ijnnnnAAA AAAAAAAA ijAA 逆矩阵

4、的求法: 注： 1AAA 1abdb cdcaadbc11()()A EE A 初等行变换4 12311 11 213aaaa a a 32111 11 213aaaa a a 方阵的幂的性质： mnm nA AA()( )mnmnAA 设的列向量为,的列向量为，,m nn sABA12,n B12,s 则 ，为的解m sABC1112121222 121212,ss nsnnnsbbbbbbc ccbbb iiAc(, )is1, 2iiAxc可由线性表示. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩 121212,sssAAAAc cc 12,sc cc12,n CBTA阵. 用对角矩阵

5、左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵： 111AA BB111AB BA1111ACAA CB OBOB1111AOAO CBB CAB5分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222A BABA B分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB 矩阵方程的解法()：设法化成 0A AXBXAB(I ) 或 (I I )A BE X 初等行变换(I )的解法：构造()()TTT

6、TA XBXX(I I )的解法：将等式两边转置化为，用(I )的方法求出，再转置得 与同解（列向量个数相同）,则：0Ax 0Bx ,A B 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵） ；m nAl nB0Ax 0Bx PABP101p教材矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.m nAl nB PQBQ 判断是的基础解系的条件：12,s 0Ax 线性无关；12,s 都是的解；12,s 0Ax .( )snr A 每个解向量中自由未知量的个数6 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

7、零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.114p教材 向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.12,n n1向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.12,n in1维列向量组线性相关；m12,n ( )r An维列向量组线性无关.m12,n ( )r An.(

8、)r AAO0 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元0为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.7 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等行变

9、换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；AA对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.AA矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作Arr 1Ar( )r Ar向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,)nr 矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：ABAB 向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：12,n 12,n 1212,nn 矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.AB PAQB,P Q( )( ),r Ar BA B矩阵与作为向量组等价AB1212(,)(,)n

10、nrr 1212(,)nnr 矩阵与等价.AB 向量组可由向量组线性表示有解.12,s 12,n AXB12(,)=nr 1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.12,s 12,n sn12,s 向量组线性无关,且可由线性表示,则.12,s 12,n sn 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr p教材94, 例10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含

11、的向量个数相等.8 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；Am n( )min,r Am n( )r AmA若，的列向量线性无关,即：线性无关.( )r AnA12,n 矩阵的秩的性质： ( )AOr A若10()m nr Amin( , )m n ( )()()TTr Ar Ar A Ap教材101, 例15()( )r kAr Ak 若0 ()r AB( )( )r Ar Bmax( ), ( )r A r B( , )r A B( )( )r Ar Bp教材70 ( )( )AOOArr Ar BOBBO( )( )ACrr Ar BOB()r ABmin( ), ( )r A r B ,

12、()( )( )m nn sABr ABr Ar B若且0n()( )Ar ABr B若可逆()( )Br ABr A若可逆若且在矩阵乘法中有左消去律；0()()( )m nAxr Anr ABr B只有零解A0ABB ABACBC 若 且在矩阵乘法中有右消去律.()()( )n sr Bnr ABr BB 初等矩阵的性质：9( , )E i j 1 ( )E i kk , ( )E i j k1( , )( , )TE i jE i j ( ) ( )TE i kE i k , ( ) , ( )TE i j kE j i k1( , )( , )E i jE i j11 ( ) ( )kE

13、 i kE i1 , ( ) , ()E i j kE i jk*( , )( , )E i jE i j *1 ( ) ( )kE i kkE i* , ( ) , ()E i j kE i jk101212,0 ,( )()A nnAxnAxA Axr Ar A Axn 当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一 线性相关有非零解0 可由线性表示有解 有唯一组解 1212,0( )(),( )(A nnAxAr Ar AAxr Ar 当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则不可由线性表示无解)( ) 1()Ar Ar A 注：AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线

14、性方程组的矩阵式 向量式 Ax1122nnxxx1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb 12,2,jj jmjjn 112 12(,)nnx xx 11矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB11()()TTAA()()TTAA矩阵可逆的性质：11()AA111()ABB A111()kAk A11AA111()ABAB11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA ()ABB A1()nkAkA1nAA*()ABAB11()()A AAA ()()kkAA( ) ()1 ( )10 ( )1

15、 nr An r Ar Anr An 若 若若ABA BnkAkAkkAAABABAAA AA E（无条件恒成立）12线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0, (2)0, (3),0, ,(4),0, (5),0 (6kkkkAx Axk k AxkAxAxAx AxAx 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0 (7), 1 00kkkkkkkAxAx Ax Ax Ax 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解 设为矩阵,若,一

16、定有解，Am n( )r Am( )()r Ar AAx当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.mn方程个数未知数的个数 向量维数向量个数是的上限.m( )()r Ar A和标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.nn.与正交( ,)0 是单位向量 .( , )1 内积的性质： 正定性：( , )0,( , )0 且 对称性：( ,)( , ) 双线性：1212( ,)( ,)( ,) 131212(,)(,)(,) (,)( ,)( ,)ccc 的特征矩阵 .AEA的特征多项式 .A( )EAf 是矩阵的特征多项式( )fA( )f AO的特征方程 . AEA 0Ax

17、xAxx 与线性相关 ，称为矩阵的迹.12nA 1niAt rAt rA 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.n 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.0A 0A0Ax 0 一定可分解为=、,从而的特征值为：, ( )1r A AA12 12,nna abbba 2 1 122()nnAaba ba b AA11 122nnAaba ba bt r.23n0p指南358 若的全部特征值，是多项式,则:A12,n ( )f A 的全部特征值为；( )f A12(),(),()nfff12( )() ()()nf Afff 若满足,则的任何一个特征值必满

18、足.A( )0f A A()if 014 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.1 110( )mm mmf xa xaxa xa nA1 110( )mm mmf Aa AaAa Aa E A 1 231122,TAmmkkA abaAbEA AA A A A 是的特征值则:分别有特征值. 1 231122,AmmkkA abaAbE AxAxA A A 是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 的特征向量不一定是的特征向量.2,mAAA 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.ATA与相似 （为可逆矩阵） 记为：AB1BP APPAB:与正交相似 （为正交矩阵）AB1BP APP可以相似对角化

19、与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准形）AAA:A 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线A()iinrEAkikiAnPA1P AP上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：Aii15.12 1212112212(,)(,)(,)(,)nnnnnnPPAAAA 注：当为的特征值时，可相似对角化的重数 基础解系的个数.i 0AAi( )nr A0Ax 若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.A( )r A 若阶矩阵有个互异的特征值,则可相似对角化.nAnA 若=，A:kA1kPP1211() ()(

20、)( )()nAPPPP 相似矩阵的性质： ABt rt r 从而同时可逆或不可逆AB,A B ( )( )r Ar B； （若均可逆） ；TTAB:11AB:,A B*AB: （为整数） ；，kkAB:k( )( )f Af B:( )( )f Af B,ABAB CDCD:16,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.EAEB,A B注:是关于的特征向量,是关于的特征向量.xA01P xB0 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任

21、一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=）.nAi()inrEA正交矩阵 TAAE 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.AAnn: 正交矩阵的性质： ；1TAA ；TTAAA AE 正交阵的行列式等于 1 或-1； 是正交阵,则，也是正交阵；ATA1A 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.A二次型 ，即为对称矩阵，12 11( ,)nn T nijij ijf x xxx Axa x xijjiaaA12( ,)Tnxx xx17与合同

22、. 记作： （）ABTBC ACAB:,A BC为对称阵为可逆阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数；负惯性指数二次型的规范形中负项项数；prp符号差 . (为二次型的秩)2prr 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：AB: 两个矩阵合同的必要条件是：( )( )r Ar B 经过化为标准形.12( ,)T nf x xxx Ax正交变换 合同变换可逆线性变换xCy21niifd y 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.( )r A正惯性指数负惯性指数 当标准形中的系数为-1 或 0 或 1 时,为规

23、范形 .id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同.A111100 18 用正交变换法化二次型为标准形: 求出的特征值、特征向量；A 对个特征向量正交化、单位化；n 构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对CxCy1112221()()TTTTTnnnydy ydyCyA Cyy C ACYy C ACYydy 21niifd y角上的元素即为的特征值.idA施密特正交规范化 线性无关,123, 1121 221 113132 3312 1122() ()()() ()()TTTTTT 正交化单位化： 1 1 12 2 2

24、3 3 3技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：取，.123xxx 01 1212 1 0 1正定二次型 不全为零，.12,nx xx12( ,)nf x xx0正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.19 为正定二次型（之一成立）：( )Tf xx Ax ，；0x Tx Ax 0 的正惯性指数为；fn的特征值全大于；A0 的所有顺序主子式全大于；A0 与合同，即存在可逆矩阵使得；AECTC ACE 存在正交矩阵，使得 （大于）.C121TnC ACC AC i0 存在可逆矩阵，使得；PTAP P 合同变换不改变二次型的正定性. 为正定矩阵的必要条件： ； .Aiia 00A 若为正定矩阵也是正定矩阵.A1,TAAA 若为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.,A BAB,AB BA【完】