2019年吉林省长春市中考数学试卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 34 页） 数学试卷 第 2 页（共 34 页） 绝密启用前吉林省长春市 2019 年中考数学试卷 数 学一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)1.如图,数轴上表示的点 A 到原点的距离是 ( )2A.B.C.D.221 21 22.2019 年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为 275 000 000人次,275 000 000 这个数用科学记数法表示为 ( )A.B.C.D.727.5 1090.275 1082.75 1092.75 103.如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB

2、CD4.不等式的解集为 ( )20x A.B.C.D.2x2x2x2x5.九章算术是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出 11 钱；每人出 6 钱,又差 16 钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x,买鸡的钱数为 y,可列方程组为 ( )A.B.911 616xy xy911 616xy xyC.D.911 616xy xy911 616xy xy6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子 AB 的长是 3 米.若梯子与地面的夹角为,则梯子顶端到地面的距离 C 为 ( )

3、A.米3sinB.米3cosC.米3 sinD.米3 cos7.如图,在中,为钝角.用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D.使ABCACB,则符合要求的作图痕迹是 ( )2ADCB AB-在-此-卷-上-答-题-无-效- - 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 3 页（共 34 页） 数学试卷 第 4 页（共 34 页）CD8.如图,在平面直角坐标系中,的顶点 A、C 的坐标分别是、.RtABC(0,3)(3,0),则函数的图象经过点 B,则 k 的值为90ACB2ACBCk(0,0)xykx( )A.B.C.D.9 2227 827 4二、填

4、空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)9.计算： .3 5510.分解因式： .2abb11.一元二次方程的根的判别式的值是 .2310xx 12.如图,直线,点 A、B 分别在 MN、PQ 上,.过线段 AB 上的点MNPQ33MABC 作交 PQ 于点 D,则的大小为 .CDABCDB13.如图,有一张矩形纸片 ABCD,.先将矩形纸片 ABCD 折叠,使边 AD8AB 6AD 落在边 AB 上,点 D 落在点 E 处,折痕为 AF；再将沿 EF 翻折,AF 与 BC 相交AEF 于点 G,则的周长为 .GCF14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与 y 轴交于点 A,过点

5、A282(0)3yaxaxa作 x 轴的平行线交抛物线于点 M.P 为抛物线的顶点.若直线 OP 交直线 AM 于点 B, 且 M 为线段 AB 的中点,则 a 的值为 .三、解答题(共 10 小题,满分 78 分)15.(本小题满分 6 分)先化简,再求值：,其中.2(21)4 (1)aa a1 8a 16.(本小题满分 6 分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家” 、 “家” 、 “乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放 回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求 小新同学两次摸出小球上的汉

6、字相同的概率.数学试卷 第 5 页（共 34 页） 数学试卷 第 6 页（共 34 页） 17.(本小题满分 6 分)为建国 70 周年献礼,某灯具厂计划加工 9 000 套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍,结果提前 5 天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分 7 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,以边 AB 为直径作,点 E 在 BC 边上,连结 AE 交O于点 F,连结 BF 并延长交 CD 于点 G.O(1)求证：；ABEBCG(2)若,求的长.(结果保留)55AEB3OABF19.(本小题满分 7 分)网上学习越来越

7、受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取 20 名学生,进行了每周网上学习的调查.数据如下(单位：时)：32.50.61.51223.32.51.82.52.23.541.52.53.12.83.32.4整理上面的数据,得到表格如下：网上学习时间 x(时)01x12x23x34x人数2585样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：统计量平均数中位数众数数值2.4mn根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数 m 的值为 ,众数 n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习-在-此-卷-上-答-题

8、-无-效- - 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 34 页） 数学试卷 第 8 页（共 34 页）的时间.(3)已知该校七年级学生有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数.20.(本小题满分 7 分)图、图、图均是的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形66的边长为 1,点 A、B、C、D、E、F 均在格点上.在图、图、图中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图中以线段 AB 为边画一个,使其面积为 6.ABM(2)在图中以线段 CD 为边画一个,使其面积为 6.CDN(3)在

9、图中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH,使其面积为 9,且.90EFG图图图数学试卷 第 9 页（共 34 页） 数学试卷 第 10 页（共 34 页） 21.(本小题满分 8 分)已知 A、B 两地之间有一条 270 千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地,乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程 y(千米)与甲车的行驶时间 x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为 千米/时, , .a b (2)求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式.(3)当甲车到达距 B 地

10、70 千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分 9 分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容.例 2 如图,在中,D,E 分别是边 BC,AB 的中点,AD,CE 相交于点 G,求证：ABC.1 3GEGD CEAD证明：连结 ED.请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程.数学试卷 第 11 页（共 34 页） 数学试卷 第 12 页（共 34 页）结论应用：在中,对角线 AC、BD 交于点 O,E 为边 BC 的中点,AE、BD 交ABCDY于点 F.(1)如图,若为正方形,且,则 OF 的长为 .ABCDY6AB (2)如图,连结 DE 交 AC

11、于点 G,若四边形 OFEG 的面积为,则的面积1 2ABCDY为 .图图图23.(本小题满分 10 分)如图,在中,.点 P 从点 A 出发,沿 AC 向终点RtABC90C20AC 15BC C 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿射线 CB 运动,它们的速度均为每秒 5 个单位长度, 点 P 到达终点时,P、Q 同时停止运动.当点 P 不与点 A、C 重合时,过点 P 作于点 N,连结 PQ,以 PN、PQ 为邻边作.设与PNABPQMNYPQMNY重叠部分图形的面积为 S,点 P 的运动时间为 t 秒.ABC(1)AB 的长为 ；PN 的长用含 t 的代数式表示为 .(2)当为矩形时,

12、求 t 的值；PQMNY(3)当与重叠部分图形为四边形时,求 S 与 t 之间的函数关系式；PQMNYABC(4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过一边中点时,直接写出 t 的值.PQMNY-在-此-卷-上-答-题-无-效- - 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 13 页（共 34 页） 数学试卷 第 14 页（共 34 页） 24.(本小题满分 12 分)已知函数(n 为常数)22,() 1,()222xnxnxn ynnxxxn(1)当 n5,点在此函数图象上,求 b 的值；(4, )Pb求此函数的最大值.(2)已知线段 AB 的两个端点坐标分别为、,当此函数的图象与线

13、段(2,2)A(4,2)BAB 只有一个交点时,直接写出 n 的取值范围.(3)当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4,求 n 的取值范围.吉林省长春市 2019 年中考数学试卷数学答案解析一、选择题1.【答案】B【解析】解：数轴上表示的点 A 到原点的距离是 2.2故选：B.【考点】绝对值的定义.2.【答案】C【解析】解：将 275 000 000 用科学记数法表示为：.82.75 10故选：C.【考点】科学记数法.3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有 1 个正方形.故选：A.【考点】三视图.数学试卷 第 15 页（共 34 页） 数学试卷

14、 第 16 页（共 34 页）4.【答案】D【解析】解：移项得：，2x系数化为 1 得：.2x故选：D.【考点】合并同类项.5.【答案】D【解析】解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为：.911 616xy xy故选：D.【考点】列方程解决问题.6.【答案】A【解析】解：由题意可得：，sin3BCBC AB故.3sin ( )BCm故选：A.【考点】锐角三角函数关系.7.【答案】B【解析】解：且，2ADCB ADCBBCD ，BBCD ，DBDC点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点，故选：B.【考点】线段的中垂线的性质.8.【答案】D【解析】解：如图，过点 B 作轴，垂足为

15、D，BDxA、C 的坐标分别是、，(0,3)(3,0)，3OAOC在中，RtAOC223 2ACOAOC又，2ACBC，3 2 2BC 又，90ACB，45OACOCABCDCBD ，3 223 222CDBD39322OD 代入得：，9 3,2 2Bkyx27 4k 故选：D.数学试卷 第 17 页（共 34 页） 数学试卷 第 18 页（共 34 页） 【考点】直角坐标系.二.填空题9.【答案】2 5【解析】解：原式.2 5故答案为：.2 5【考点】合并同类二次根式.10.【答案】(2)b a 【解析】解：.2(2)abbb a故答案为：.(2)b a 【考点】分解因式.11.【答案】5【

16、解析】解：，1,3ab 1c .224( 3)4 1 15bac 故答案为：5.【考点】判别式.12.【答案】57【解析】解：直线，MNPQ，33MABABD ，CDAB，90BCD.903357CDB 故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理.13.【答案】42 2【解析】解：由折叠的性质可知，45DAFBAF ，6AEAD，2EBABAE由题意得，四边形 EFCB 为矩形，2FCED，ABFC，45GFCA ，2GCFC数学试卷 第 19 页（共 34 页） 数学试卷 第 20 页（共 34 页）由勾股定理得，222 2GFFCGC则的周长，GCF42 2GCFCGF故答案为

17、：.42 2【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式.14.【答案】2【解析】解：抛物线与 y 轴交于点 A，282(0)3yaxaxa，抛物线的对称轴为.80,3A1x 顶点 P 坐标为，点 M 坐标为.8(1,)3a8(2, )3点 M 为线段 AB 的中点，点 B 坐标为8(4, )3设直线 OP 解析式为(k 为常数，且)，ykx0k 将点代入得，8(1,)3Pa8 3ak.8 3ya x将点代入得，8(4, )3B88()433a解得.2a 故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性.三、解答题15.【答案】2【解析】解：原式224414481aaaaa ，81a当时，原式

18、.1 8a 812a 【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】5 9【解析】解：画树状图如图：共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5 个，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为.5 9【考点】概率.17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x 套，数学试卷 第 21 页（共 34 页） 数学试卷 第 22 页（共 34 页） 由题意得：，9000900051.2xx解得：，300x 经检验，是原方程的解，且符合题意.300x 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300

19、 套.【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，AB 为的直径，O，90ABEBCGAFB ，90BAFABF90ABFEBF，EBFBAF 在与中，ABEBCGEBFBAF ABBC ABEBCG ；()ABEBCG ASA(2)解：如图，连接 OF， ，90ABEAFB 55AEB，905535BAE ，270BOFBAE ，3OA的长.BF70 37 1806g【解析】(1)根据四边形 ABCD 是正方形，AB 为的直径，得到O，根据余角的性质得到，根据全等三角90ABEBCGAFB EBFBAF 形的判定定理即可得到结论；(2)连接 OF，根据三角形

20、的内角和得到，根据圆周角定理得到905535BAE ，根据弧长公式即可得到结论.270BOFBAE 【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.19【答案】(1) 2.52.5(2)43.2(小时)(3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，中位数 m 的值为，众数 n 为 2.5；2.52.52.52数学试卷 第 23 页（共 34 页） 数学试卷 第 24 页（共 34 页）故答案为：2.5，2

21、.5.(2)(小时)，2.4 1843.2答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习的时间为 43.2 小时.(3)(人)，1320013020答：该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人.【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图所示，即为所求；ABM(2)如图所示，即为所求；CDN(3)如图所示，四边形 EFGH 即为所求；图图图【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；(2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度

22、为：千米/时，(270602)275，.270753.6a 270604.5b 故答案为：75；3.6；4.5.(2)(千米)，60 3.6216当时，设，根据题意得：23.6x11yk xb，解得，111120 3.6216kb kb 11135 270k b ；135270(23.6)yxx当时，设，64.6x60yx；135270(23.6) 60 (3.64.5)xxyxx (3)甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间为：(小时)，20(27070)606此时甲、乙两车之间的路程为：(千米).201352701806答：当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程

23、为 180 千米.【解析】(1)根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定 a、b 的值；(2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可.22.【答案】证明：如图，连结 ED.在中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点，ABC数学试卷 第 25 页（共 34 页） 数学试卷 第 26 页（共 34 页） ，DEAC1 2DEAC，DEGACG，2CGAGAC GEGDDE，3CGGEAGGD GEGD；1 3GEGD CEAD结论应用：(1)解：如图.四边

24、形 ABCD 为正方形，E 为边 BC 的中点，对角线 AC、BD 交于点 O，ADBC11 22BEBCAD1 2BOBD，BEFDAF，1 2BFBE DFAD，1 2BFDF，1 3BFBD，1 2BOBD，111 236OFOBBFBDBDBD正方形 ABCD 中，6AB ，6 2BD .2OF 故答案为；2(2)解：如图，连接 OE.由(1)知，1 3BFBD1 6OFBD.2BF OF与的高相同，BEFOEF与的面积比，BEFOEF2BF OF同理，与的面积比，CEGOEG2的面积的面积(的面积的面积)，CEGBEF2OEGOEF1212的面积，BOC3 2的面积.ABCDY346

25、2故答案为 6.数学试卷 第 27 页（共 34 页） 数学试卷 第 28 页（共 34 页）图图图【解析】教材呈现：如图，连结 ED.根据三角形中位线定理可得，DEAC，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可1 2DEACDEGACG证明；1 3GEGD CEAD结论应用：(1)如图.先证明，得出，那么，又BEFDAF1 2BFDF1 3BFBD，可得，由正方形的性质求出，即可求出1 2BOBD1 6OFOBBFBD6 2BD ；2OF (2)如图，连接 OE.由(1)易证.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得2BF OF出与的面积比，同理，与的面积比，那BEFOEF2BF

26、OFCEGOEG= 2么的面积的面积(的面积的面积)，所CEGBEF= 2OEGOEF1212以的面积，进而求出ABCD 的面积.BOC3 2346223.【答案】(1)解：在中，.RtABC90C20AC 15BC .22201525AB ，3sin5CAB由题可知，5APt.3sin535PNAPCABttgg故答案为：25；3t.(2)当为矩形时，PQMNY90NPQ，PNAB，PQAB，CPCQ CABC由题意可知，5APCQt205CPt，2055 2015tt解得，12 7t 即当为矩形时.PQMNY12 7t (3)当重叠部分图形为四边形时，有两种情况，PQMNYABC.如解图(

27、3)1 所示.PQMN 在三角形内部时.延长 QM 交 AB 于 G 点，由(1)题可知：，.4cossin5AB3cos5B 5APt155BQt3PNQMt，cos4ANAPAtgcos93BGBQBtgsin124QGBQBtg在三角形内部时.有，PQMNY0QMQG，03124tt.1207t.254(93 )16NGttt当时，与重叠部分图形为，S 与 t 之间的函数关系1207tPQMNYABCPQMNY式为.23(16)348SPNNGtttt gg数学试卷 第 29 页（共 34 页） 数学试卷 第 30 页（共 34 页） .如解图(3)2 所示.当，PQMN 与重叠部分图形

28、为梯形 PQMG 时，0QGQMABC即：，解得：，0243tt1237t与重叠部分图形为梯形 PQMG 的面积PQMNYABC.2111()(16)(3124 )1496222SNG PNQGttttt综上所述：当时，.当，.1207t2348Stt 1237t2114962Stt(4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况，.如解题图(4)1，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MN 中点，过 R 点作，PRBCRHAB，PKNHKRB ，39cot344tNKPNPKNtgg，NRMRHRPNQM，1(16)2NHGHt1 2HRGM，.3(124 )7

29、12GMQMQGttt11(712)22HRGMt，133cot(712)(712)248KHHRHKRttg，NKKHNH，931(712)(16)482ttt解得：，100 43t .如解题图(4)2，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MQ 中点，过 Q 点作，PRBCQHPR，四边形 PCQH 为矩形，HPNAQRH 339sin2510ttHQQRQRHgg，205PCt，解得.920510tt200 59t 综上所述：当或时，点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点.100 43t 200 59【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算 AB 的长，根据三角函数即可计算出

30、 PN.(2)当为矩形时，由可知，根据平行线分线段成比例定理可得PQMNYPNABPQAB数学试卷 第 31 页（共 34 页） 数学试卷 第 32 页（共 34 页），即可计算出 t 的值.CPCQ CABC(3)当与重叠部分图形为四边形时，有两种情况，.在三角形PQMNYABCPQMNY内部时，.有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.PQMNY(4)当过点 P 且平行于 BC 的直线经过一边中点时，有两种情况，.过 MN 的中PQMNY点，.过 QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算 t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线

31、段成比例定理，解三角形.24.【答案】解：(1)当 n5 时，2255(5)155(5)222xxx yxxx将代入，(4, )Pb2155 222yxx ；9 2b 当时，当时有最大值为 5；5x5x 当时，当时有最大值为；5x5 2x 45 8函数的最大值为；45 8(2)将点代入中，(4,2)2yxnxn ，18 5n 时，图象与线段 AB 只有一个交点；1845n将点代入中，(2,2)2yxnxn ，2n 将点代入中，(2,2)21 222nnyxx ，8 3n 时图象与线段 AB 只有一个交点；823n综上所述：，时，图象与线段 AB 只有一个交点；1845n823n(3)当时，xn

32、2211 2222nnynn n42；8n当时，2nx 1 82ny 1n482，31 2n当时，；xn22ynnnn 4n函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时，或.8n3142n【解析】(1)将代入；当时，当时有最大值为 5；(4, )Pb2155 222yxx 5x5x 当时，当时有最大值为；故函数的最大值为；5x5 2x 45 845 8(2)将点代入中，得到，所以时，图象与线段 AB 只(4,2)2yxnxn 18 5n 1845n有一个交点；将点代入和中，得到，(2,2)2yxnxn 21 222nnyxx 2n 数学试卷 第 33 页（共 34 页） 数学试卷 第 34 页（共 34 页） ，8 3n 所以时图象与线段 AB 只有一个交点；823n(3)当时，得到；当时，得到，当时，xnn428n2nx 1n48231 2nxn，.22ynnnn 4n