高数第二章-导数与微分--ppt课件.ppt
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1、第二章 导数与微分2-1 导数概念一、引例(一)直线运动的速度 (二)切线问题1、切线意义 设有曲线 上一点M,在点M外另取 作割线 ,当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线 绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。CC及NC上一点MNMN2、切线斜率的求法 设 是曲线 C上的一个点,则 就是曲线C在 点处切线的斜率。000,Mxy 0000limxxf xf xkxx000,Mxy二、导数的定义(一)函数在一点处的导数1、定义:设函数 的某个邻域内有定义,当自变量 处取得增量 (点 仍在该邻域内)时 , 相应地函数 取得增量 , 0yf xx在点0 xx在x0 xxy0
2、0yf xxf x 如果 之比当 时的极限存在,则称函数 处可导,并称这个极限为 处的导数。记作 、yx与0 x 0yf xx在点 0yf xx在点0fx 000 x xx xx xdf xdyydxdx、或即 函数 处可导,也说成 具有导数或导数存在。 如果 不存在,就说函数 处不可导。00000= limlimx xxxf xxf xyyxx 0yf xx在点 0f xx在点0limxyx 0yf xx在点如果不可导的原因是也往往说函数 处的导数为无穷大。0yxx 时 0yf xx在点2、求导的不同形式 或(当 时, ) 00001limxf xxf xfxx 0000limhf xhf
3、xfxh 00002limxxf xf xfxxx 0003limhahf xg hf xfxg hhah 0g h 例1设 求 12f xx xxx n 0f 例2已知 存在,求0fx000limhf xahf xbhh3、导数的意义 函数 处的导数是因变量 处的变化率,它反映了 处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 0yf xx在点0fx0yx在点0 x在点(二)导函数1、定义:如果函数 在开区间 内的每点处都可导,就称函数 在开区间 内可导,此时对于任一 ,都对应着 的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数的导数,记作 yf xI yf xIxI f x y
4、f x ,df xdyyfxdxdx或2、导函数的求法 注:在求极限过程中 是常量。 01limxf xxf xfxx 02limhf xhf xfxhx例3求函数 的导数。例4求函数 在 处的导数。 f xC C为常数 nfxxnNxa例5求 的导数。例6求函数的导数。 sinf xx log01af xx aa且例7求函数 的导数。 01xf xaaa且3、导函数 在点 处的导数 的关系(1)函数在某点处的导数是导函数在该点处的函数值,即 .(2) 是一个常数, 是一个函数,两者均与 无关。 fxf x和0 x0fx 00fxfx xx=0fx fxx例8求函数 处的导数。 0f xxx在
5、例9函数 对任意 均满足 且有 ,其中为非零常数,则 ( )(A) 处不可导 (B) 处可导且(C) 处可导,且 (D) 处可导且 f xx 1fxaf x 0fbab、 1f xx 在 1f xx 在 1fa 1f xx 在 1fb 1f xx 在 1fab(三)单侧导数1、定义:若极限 存在,则称这两个极限分别为函数 的左导数和右导数,记作 即左导数和右导数统称为单侧导数。-000limhf xhf xh及+000limhf xhf xh 0yf xx在点0+0fxfx及000000+00= limlimhhf xhf xfxhf xhf xfxh2、导数、左导数、右导数三者之间 的关系
6、函数 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数都存在而且相等。 0f xx在点0fx 0fx例10设函数 ,其中 是有界函数,问 处是否可导。 22ln 100 xxf xxx g xx g x 0f xx 在3、 在闭区间 上可导 如果函数 在开区间 内可导,且 都存在,就说在闭区间 上可导。 f x, a b f x, a b fafb及 f x, a b三、导数的几何意义:函数处的导数 ,在几何上表示曲线 处的切线的斜率,即 ,特别的是,如果 的导数为无穷大,此时切线的倾角为 ,故此时的切线垂直于 轴,切线方程为 0yf xx在点0fx 00,yf xM xf x在点0tanfx 0yf
7、xx在点2x0 xx(二)曲线在点 处的切、法线方程1、切线方程:2、法线方程(1)法线:过切点 且与切线垂直的直线叫做曲线 处的法线.(2)法线方程:如果 ,则法线方程为: 若 ,则法线方程为000,Mx y000yyfxxx000,Mxy yf xM在点00fx0001yyxxfx 00fx0 xx例11求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。例12求曲线 的通过点的切线方程。1yx1,2232yx0, 4四、函数可导性与连续性的关系(一)若函数 处可导,则函数在点 处必连续.(二)函数在某一点连续却不一定在该点处可导 0yf xx在点0 x例13函数 内连
8、续,但在 点处不可导。3( )yf xx在区间-+,0 x 例14.设函数则 在点 处( )(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 21sin,00,0 xxf xxx f x0 x 例15设周期函数 在 内可导,周期为4,又求曲线 在点 处的切线的斜率。 f x(,) 0(1)(1)lim12xffxx ( )yf x5(5)f,2-2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则(一)定理1 如果函数 及都在点 具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 具有导数,且( )uu x( )vv xxx(1)(2)(3) ( )( )( )
9、( )u xv xu xv x( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx例1 求例2 求例3. 求(sincos )xyexxytanyxysecyxy(二)推广 若函数处可导,则有 12,nuxuxuxx在点 121nuxuxux 12nuxuxux例4 求 及3( )cossin2f xxx( )fx()2f 12nu x u xu x2 12nu x ux u xu x 12nuxuxux 1nuxux ux u xcux3. c例5若 求
10、 .例6设 求 1lim1txxf ttx ft 12f xx xxxn 0f 二、反函数的求导法则 定理2:如果函数 在区间 内单调、可导,且 ,则它的反函数 在区间内也可导,且 。 xfyyI 0fy 1yfx ,xyIx xfyyI 111dyfxdxfydxdy 或例7求 的导数例8求 的导数。arcsinyxlog01ayx aa且三、复合函数的求导法则(一)定理3:如果 可导,而 可导,则复合函数 可导, 且其导数为: ug xx在点 yf uug x在点 yfg xx在点 dydydy dufugxdxdxdu dx或例9例10lntandyyxdx求3212dyyxdx求(二)
11、推广:复合函数的求导法则对于多个中间变量的情形也是成立的 例如可导函数则复合函数 的导数为 yf u uv vm m g x fg x dydy dudvdmdxdu dv dmdx例11 lncosxdyyedx求例12设 证明幂函数的导数公式 .0 x 1xx(三)复合函数的求导法则应用 它的基本方法是把复合函数中的某些量看作整体,把多步复合看作两步复合,重复进行下去即可。例9 1sin,xyey求(四)复合函数求导注意的问题1、搞清复合关系,从外层到内层一步一步进行求导运算,不要遗漏复合 过程。2、当即有四则运算又有复合函数运 算时,要弄清运算程序,做到先考 虑运算,后考虑复合。例14求
12、函数 的导数。2tansinyfxf x例15已知 求:例16设 232arctan32xyffxxx0 xdydx ln.f xyfx ey求四、基本求导法则与导数公式(一)常数和基本初等函数的导数公式 1.0C12.xx3. sincosxx4.cossinxx 25.nsectaxx26.cotcscxx 7. secsec tanxxx8. csccsc cotxxx9.lnxxaaa10.xxee111.loglnaxxa112.ln xx2113.sin1arcxx2114.cos1arcxx2115.arctan1xx2116. arccot1xx(二)函数的和、差、积、商的求导
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