高考数学专题精讲 (1).doc

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1、专题八 数学文化与创新应用第 1 讲 数学文化及核心素养类试题考情研析 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍九章算术 数书九章等书为背景的数学文化类题目2与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数3以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等4以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经

2、典数学小问题热点考向探究考向 1 算法中的数学文化例 1 (2019哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则处可分别填入的是( )Aia1c2.c1a1c2a2其中正确式子的序号是( )A B C D答案 D解析 观察题图可知 a1a2，c1c2，a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20，知a1c2，.即式正确，式不正确a2c

3、2c2a1c1a2c2c1a1c2a2(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运(2)注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一

4、个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为 ，那么 tan_.(4)答案 7解析 依题意，得大、小正方形的边长分别是 5,1，于是有5sin5cos1，则 sincos .从而(sincos)22(sincos)(0 b，满足 ab，故 b20164；第二次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a16412；第三次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a1248；第四次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a844；

5、第五次循环：第一层判断：满足 ab4，故输出 4，选 C.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” 其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地” 则该人第五天走的路程为( )A48 里 B24 里 C12 里 D6 里答案 C解析 设第一天的路程为 a1里，则378，a1192，所以a11(12)6112a519212.1244(2019河南洛阳高三阶段性考试)九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟

6、五斗，羊主曰：我羊食半马 马主曰：我马食半牛 今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知 1 斗10 升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出 k 的值为 2，则 m( )A. B. C. D.5035071031007答案 B解析 运行该程序，第一次循环，S50m，k1；第二循环，S503m，k2；第三次循环，S507m，此时要输出 k 的值，则507m0，解得 m，故选 B.5075我国古代数学名著九

7、章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 1中“”即代表无限次重复，1111但原式却是个定值，它可以通过方程 1 x 求得 x.类比上述过程，则 1x512( )32 32 A3 B.1312C6 D22答案 A解析 令x(x0)，两边平方，得 32x2，即32 32 32 32xx2，解得 x3，x1(舍去)，故 3，选 A.32 32 6(2019江西省名校高三 5 月联考)我国古代九章算术将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的

8、长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体积为( )A. B. C27 D1810031043答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2 和 6，高为2，所以几何体的体积 V (436)2.故选 B.134 3610437(2019河北联考)九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cng)，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺则它的体积是(注：1 丈10 尺，取 3)( )A704 立方尺 B2112 立方尺C2115 立方尺 D2118 立方尺答案 B解析 设圆柱体底面

9、圆半径为 r，高为 h，周长为 C.因为 C2r，所以 r，所以 Vr2hh2112(立方尺)故选 B.C2C242C2h4482 11128(2019南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量” ，即输出值是输入值的 ，1313则输入的 x( )A. B. C. D.3591121234547答案 C解析 i1 时，x2x1；i2 时，x2(2x1)14x3；i3 时，x2(4x3)18x7；i4 时，

10、退出循环此时，8x7 x，解得 x.故132123选 C.9我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何 ”其意思为：今有人持金出五关，第 1关收税金为持金的 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，121314第 4 关收税金为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ，5 关所收税金之和，1516恰好重 1 斤问此人总共持金多少则在此问题中，第 5 关收税金( )A.斤 B.斤 C.斤 D.斤120125130136答案 B解析 假设原来持金为 x，则第

11、1 关收税金 x；第 2 关收税金x1213(112)x；第 3 关收税金xx；第 4 关收税金12 314(11216)13 4xx；第 5 关收税金xx.依题15(11216112)14 516(11216112120)15 6意，得 xxxxx1，即1212 313 414 515 6x1， x1，解得 x ，所以x .故选 B.(116)566515 615 66512510.(2019陕西省高三第一次模拟)公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似

12、值3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的 n 的值为( )(参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305)A12 B24 C48 D96答案 B解析 模拟执行程序，可得 n6，S3sin60，不满足条件3 32S3.10，n12，S6sin303，不满足条件S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24.故选 B.11 “杨辉三角”又称“贾宪三角” ，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的详解

13、九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2017 2016 2015 20146 5 4 3 2 14033 4031 402911 9 7 5 38064 806020 16 12 81612436 28 20 A201722016 B201822015C201722015 D201822016答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为 1 的等差数列，第二行从右到左的公差为

14、 2，第三行从右到左的公差为 4，即第 n 行从右到左的公差为 2n1，而从右向左看，每行的第一个数分别为 1221,3320,8421,20522,48623，所以第n 行的第一个数为(n1)2n2.显然第 2017 行只有一个数，其值为(20171)220172201822015，故选 B.12.(2019德州市高三下学期第一次练习)正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，记为 Nn(MODm)，例如 251(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ，若执行该程序框图，当输入 N25 时，则输出 N( )A31B33C35D37答案 A解析 模拟程序的运行，可得N25，N

15、26，不满足条件 N1(MOD3)，N27，不满足条件 N1(MOD3)，N28，满足条件 N1(MOD3)，不满足条件 N1(MOD5)，N29，不满足条件 N1(MOD3)，N30，不满足条件 N1(MOD3)，N31，满足条件 N1(MOD3)，满足条件 N1(MOD5)，输出 N 的值为 31.故选 A.二、填空题13 周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是_答案 34解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为 100010，转化为十进制数为02012102202302412534.14 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子 ”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是_答案 6解析 设等差数列an，首项为 a1，公差为 3，则S55a1360，解得 a16，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是5 426.