高考数学专题精讲 (4).doc

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1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形考情研析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算 2.三角形形状的判断 3.面积的计算 4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.核心知识回顾1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin；01cos()coscossinsin；02tan().03tan tan1 tantan2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos；01cos2cos2sin22cos2112sin2；020304tan2；052tan1tan2cos

2、2，sin2.061cos22071cos223辅助角公式asinbcos sin().01a2b2(tanba)4正弦定理2R(2R 为ABC 外接圆的直径)01asinAbsinBcsinC变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.020304sinA，sinB，sinC.05a2R06b2R07c2RabcsinAsinBsinC.085余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcos010203C.推论：cosA，04b2c2a22bccosB，05a2c2b22accosC.06a2b2c22ab6面积公式SABCbcsinAacs

3、inBabsinC.0112021203127常用结论(1)三角形内角和ABC；01(2)abcABCsinAsinBsinC；0203(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC.0405热点考向探究考向 1 三角恒等变换与求值例 1 (1)已知 为第一象限角，cos ，则35( )1 2cos(24)sin(2)A.B2575CD14525答案 C解析 cos 且 为第一象限角，35sin ，sin22sincos2 ，cos22cos212214545352425(35)，.7251 2cos(24)sin(2)1cos2sin2cos1725242535145(2)已知 (0，

4、)，且 sin，则 tan2( )(4)210A.B4334CD247247答案 C解析 sin(sincos)，sincos .(0，)，且(4)2221015sin2cos21，Error!tan ，tan2.432tan1tan2247(3)(2019四川德阳高三第二次诊断)已知 为锐角，且 tan ，则 cos43( )(22)AB24251625CD3534答案 A解析 cossin22sincos(22).2sincossin2cos22tantan212425(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同” ，即“化异名为同名” “化异次为同次” “化异角为同角” ，其中涉及 sin2

5、，cos2时，常逆用二倍角余弦公式22降幂(2)常见的“变角”技巧：()()， ()()，12 ， 等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中42(4)4(4)的角，选择恰当变角技巧1在ABC 中，若 tanAtanBtanAtanB1，则 cosC 的值为( )AB2222CD1212答案 B解析 由 tanAtanBtanAtanB1，可得1，即 tan(AB)tanAtanB1tanAtanB1.又因为 A，B 是ABC 的内角，即 AB(0，)，所以 AB，易知34C ，cosC.4222(2019辽宁抚顺高三一模)已知函数 f(x)sinxcos，若在区间(x6)上 f(x)a 恒成立

6、，则实数 a 的最大值是( )0，3AB3212CD1232答案 A解析 函数 f(x)sinxcos sinxcosxsin，由于(x6)32323(x6)0x ，故 x ，sin.当 x0 时，函数的最小值3666323(x6)32为.由于在区间上 f(x)a 恒成立，故 a，所以 a 的最大值为320，332.故选 A.323已知 tan ，且 0，整理可得 3cosB4sinB，又 sinB0，所以 sinB .35(2)因为角 B 是最小的内角，所以 00，所以 AD3.真题押题真题模拟1(2019山东聊城高三一模)设函数 f(x)sinxcosx，若对于任意的xR，都有 f(2x)

7、f(x)，则 sin( )(23)A.B1212CD3232答案 B解析 f(x)sinxcosxsin，由 f(2x)f(x)，得 x 是函数 f(x)的2(x4)对称轴，得 k，kZ，得 k，kZ.sinsin4234(23)sin .故选 B.(322k3)76122(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面积为，则 C( )a2b2c24A.B23CD46答案 C解析 由题可知 SABC absinC，所以 a2b2c22absinC.12a2b2c24由余弦定理得 a2b2c22abcosC，所以 sinCcosC.C(0，)，C .故4选

8、 C.3(2019全国卷)已知 ，2sin2cos21，则 sin( )(0，2)A.B1555CD332 55答案 B解析 由 2sin2cos21，得 4sincos2cos2.又，tan ，sin.故选 B.(0，2)12554(2019河南顶级名校高三四模)已知 ，sin(2)(0，2)(0，2) sin，cos 的最小值为( )32A.B5355CD1223答案 A解析 因为 sin(2) sin，即 sin() sin()，则3232sin()coscos()sin sin()coscos()sin，有 sin()32cos5cos()sintan()5tan，即5tan，那么 t

9、antantan1tantan，tan0，tan0，tan4tan15tan245tan1tan(0，2)(0，2)，当 5tan即 tan时等号成立因此 tan242 52 551tan55sin2cos2 ，即 cos2 ，又 ，cos0cos.故选 A.1cos2cos24559(0，2)535(2018全国卷)已知 sincos1，cossin0，则 sin()_.答案 12解析 解法一：因为 sincos1，cossin0，所以(1sin)2(cos)21，所以 sin ，cos ，因此 sin()1212sincoscossin cos2 1sin2 1 .121214141412

10、解法二：由(sincos)2(cossin)21，得 22sin()1，所以sin() .126(2019浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上若BDC45，则 BD_，cosABD_.答案 12 257 210解析 如图，易知 sinC ，45cosC .在BDC 中，由正弦定理可得，35BDsinCBCsinBDCBD.由ABCABDCBD90，可得BCsinCsinBDC3 452212 25cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC 45223522.7 210金版押题7

11、已知 sinxcosx ，则 cos( )365(6x)AB3535CD4545答案 B解析 sinxcosx222cos ，3(12sinx32cosx)(sin6sinxcos6cosx)(6x)65即 cos .(6x)358在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若，b3cosBasinA则 cosB( )AB1212CD3232答案 B解析 在ABC 中，由正弦定理，得1，sinB3cosBsinAsinAtanB，又 B(0，)，B ，cosB .故选 B.3312配套作业一、选择题1在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x轴的非负

12、半轴重合，终边上一点 M 的坐标为(，1)，则 cos的值是( )3(3)AB012CD112答案 B解析 由已知得 sin ，cos，所以 cos cossin0.1232(3)12322. (2019贵州凯里第一中学模拟)如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9，直角三角形较小的锐角为 ，则sin2( )A.B125725CD12252425答案 D解析 大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9，大正方形的边长为 15，小正方形的边长为 3.设四个全等的直角三角形的长直角边为 x，

13、则短直角边为 x3，由勾股定理得 x2(x3)2152，解得 x12， 为直角三角形较小的锐角，所以 sin ，cos ，所以 sin22sincos.354524253在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 ab，A2B，52则 cosB( )A.B5354CD5556答案 B解析 ab，由正弦定理，得 sinAsinB.5252又A2B，sinAsin2B，sinA2sinBcosB.由且角 B 为ABC 的内角得 cosB.544(2019内蒙古呼和浩特市 3 月质检)在平面直角坐标系中，角 的终边过P(2,1)，则 cos2sin2 的值为( )A.B242585C

14、D6545答案 B解析 在平面直角坐标系中，角 的终边过 P(2,1)，tan ，则 cos2sin2 ，故选 B.1212cos22sincossin2cos212tantan21855(2019四川德阳第二次模拟)在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，A ，cosABC，则( )455BDACA.B1412CD2334答案 A解析 cosABC，sinABC，sinCsin551(55)22 55(sinABCcosABC)，BD 是 AC 边上的高，(ABC4)221010BDBCsinCBC，1010如图，由正弦定理可知，即ACsinABCBCsin4ACBC， ，故选 A.2 10

15、5BDAC1010BC2 105BC146如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则 AB( )A.B5 625 63CD7 328 33答案 A解析 在ACD 中，由余弦定理可得 cosC，则 sinC499252 7 31114.在ABC 中，由正弦定理可得，则 AB，选 A.5 314ABsinCACsinB5 627(2019河南信阳高三模拟)已知函数 f(x)2sinxcosx2cos2x1，且3yf(x)的图象沿 x 轴方向平移 m 个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则|m|的最小值为( )A.B36CD12512答案 C解析 f(x)2sin

16、xcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin，将33(2x6)yf(x)的图象向左平移 m 个单位(若 m0)，则在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcosB，即25x2 49x225x 7x ，解得 x1，所以 a7，c5，故1294141217SABC acsinB10.123三角函数与解三角形类解答题(12 分)已知函数 f(x)sinxcosxsin2x1(0)的图象中相邻3两条对称轴之间的距离为 .2(1)求 的值及函数 f(x)的单调递减区间；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 中角 A，B，C 的对边，且满足 a，f(A)31，求ABC 面积 S 的最大值解题思路

17、 (1)首先将函数解析式化为“一角一函数”的形式，然后利用函数图象中对称轴之间的距离确定函数的周期，从而求得 的值，最后利用换元法求得函数的递减区间；(2)根据第(1)问所得，利用 f(A)1 求得角 A，再根据余弦定理建立 b，c 的关系式，利用基本不等式求得 bc 的最大值，将其代入面积公式即可解 (1)f(x)sin2x1sin .(3 分)321cos2x2(2x6)12因为函数 f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 T，即2，所以 1.(4 分)22所以 f(x)sin .(2x6)12令 2k2x 2k(kZ)，解得 kxk(kZ)2632623所以函数 f(x)的单

18、调递减区间为(kZ)(6 分)6k，23k(2)由 f(A)1 得 sin .因为 2A ，(2A6)126(6，136)所以 2A ，得 A .(8 分)6563由余弦定理得 a2b2c22bccosA，即()2b2c22bccos ，(9 分)33所以 bc3b2c22bc，解得 bc3，当且仅当 bc 时等号成立(11 分)所以 SABC bcsinA 3.1212323 34故ABC 面积 S 的最大值为.(12 分)3 341化简：用诱导公式、和角公式、差角公式和倍角公式化简给 3 分2求 值：运用三角函数的对称轴及周期性求 值给 1 分3求单调区间：利用三角函数的单调区间求 f(x

19、)的单调区间给 2 分4求角：已知三角函数值求角给 2 分5建立关系式：利用余弦定理得出 b，c 的关系式给 1 分6求最值：利用基本不等式求出 bc 的最大值给 2 分7求面积最值：代入面积公式求最大值给 1 分1发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析” 2寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系3合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化4挖掘隐含：如定义域、锐角、三角函数值的正负对角的范围的影响，将已知的三角函数值与特殊角的三角函数值比较、缩小角的范围等等 跟踪训练(2019天津九校联考)(12 分)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 bc，且

20、 2sinBsinA.3(1)求 sinB 的值；(2)求 cos的值；(2B3)(3)若 b2，求ABC 的面积解 (1)因为 2sinBsinA，3所以 2ba，即 ab，(1 分)32 33所以 cosB，(3 分)a2c2b22ac(2 33b)2b2b22 2 33bb33因为 B(0，)，所以 sinB.(4 分)63(2)由(1)可知 cosB.(5 分)33因为 sin2B2sinBcosB2，63332 23cos2B2cos2B1221 .(6 分)(33)13所以 coscos2Bcos sin2Bsin(2B3)33 .(8 分)13122 233212 66(3)因为 b2，所以 c2，a，(10 分)4 33所以 SABC acsinB 2.(12 分)12124 33634 23