高考数学专题精讲 (10).doc

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1、第 2 讲 不等式选讲考情研析 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点难度不大，分值 10 分，一般会出现在选考部分第二题的位置.核心知识回顾1.绝对值的三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等01号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当02(ab)(bc)0 时，等号成立2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解

2、法(1)|axb|c(c0)caxbc.01(2)|axb|c(c0)axbc 或 axbc.023|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想4证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；010203(4)反证法；(5)放缩法04055二维形式的柯西不等式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当01adbc 时，等号成立02热点考向探究考向 1 绝对值不等式的解法

3、及应用角度 1 绝对值不等式的解法例 1 (2019乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数 f(x)2|x1|xa|，aR.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)f(x)min.f(x)Error!所以 f(x)的最小值为 9.所以 a9，即实数 a 的取值范围为(9，)角度 2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例 2 (2019德阳市高三第二次诊断)已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)x 的解集；(2)若 f(x)a21 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x2|，即 f(x)Error!不等式 f(x)x 即为Error!或

4、Error!或Error!即有 x3 或1x1 或 1x3，得 x3 或1x3，所以不等式的解集为x|x3 或1x3(2)因为|xa|x2|xax2|a2|，所以 f(x)|a2|，若 f(x)a21 恒成立，则|a2|a21，即Error!或Error!解得 a或 a，1 521 52解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)a 恒成立f(x)mina；f(x)a 有解f(x)maxa；f(x)a 无解f(x)maxa；f(x)0，b0，函数 f(x)|xa|xb|.(1)当 a1，b1 时，解关于 x 的不等式 f(x)1；(2)若函数 f(x)的最大值为 2，求证： 2.1a1b解

5、 (1)当 a1，b1 时，f(x)|x1|x1|Error!当 x1 时，f(x)21，不等式恒成立，此时不等式的解集为x|x1；当1x1，所以 x ，12此时不等式的解集为Error!；当 x1，不等式不成立，此时无解综上所述，不等式 f(x)1 的解集为Error!.(2)证法一：由绝对值三角不等式可得|xa|xb|ab|，a0，b0，ab2， (ab)2，1a1b12(1a1b)12(2baab)当且仅当 ab1 时，等号成立证法二：a0，b0，a0，abc1.求证：(1) ；abc3(2) .13a113b113c132证明 (1)由柯西不等式得()2(111)abcabc2(121

6、212)()2()2()23，当且仅当，即 abcabc1a1b1c时等号成立， .13abc3(2)证法一：(3a1)2443a143a13a1，(当且仅当3a143a1时取等号)33a.同理得33b，33c，43a143b143c1以上三式相加得，493(abc)6(13a113b113c1)，(当且仅当abc13时取等号) .13a113b113c132证法二：由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)Error!(13a113b113c1)3b1Error!29，13b13c1(当且仅当abc13时取等号)又 abc1，69，(13a113b113c1) .13a113b113c13

7、2柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a a a )2 12 22 n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常(1a2 11a2 21a2 n)数且应注意等号成立的条件(2019南通市高三下学期模拟)已知 a，b，c 均为正数，且 a2b4c3，求的最小值，并指出取得最小值时 a，b，c 的值1a11b11c1解 因为 a2b4c3，所以(a1)2(b1)4(c1)10，因为 a，b，c 为正数，所以由柯西不等式得，(a

8、1)2(b1)4(c1)(12)2，1a11b11c12当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2等式成立，所以，1a11b11c1116 210所以的最小值是，1a11b11c1116 210此时 a，b，c.2310 2715 217785 27真题押题 真题模拟1(2019哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数 f(x)|2x1|2|x1|a.(1)当 a4 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若函数 f(x)的定义域为 R，求 a 的取值范围解 (1)当 a4 时，f(x)0 为|2x1|2|x1|4，当 x1 时，12x2x24x4，无解；12当 x 时，2x12x24x .12

9、34综上，f(x)0 的解集为（， ）（ ，）.5434(2)由题意得|2x1|2|x1|a 恒成立，a0，b0，且 ab2，求证：2.a1b1fx解 (1)由 f(m)|m1|m1|(m1)(m1)|2，f(m)min2，n22n12，1n3，所以 n 的取值范围是1,3(2)证明：由(1)可知，22，fx2()2ab224(a1)(b1)8，a1b1a1b12，a1b12当且仅当 ab1 时等号成立，2.a1b1fx3(2019全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1) a2b2c2；1a1b1c(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明 (1)因为 a2b22a

10、b，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有a2b2c2abbcca .abbccaabc1a1b1c当且仅当 abc1 时，等号成立所以 a2b2c2.1a1b1c(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3ab3bc3ca33(2)(2)(2)24.abbcca当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.金版押题4已知函数 f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式 f(x)a 的解集是空集，求实数 a 的取值范围；(2)若存在 x0R，使得 2f(x0)t24|t|成立，求实数 t 的取值

11、范围解 (1)f(x)|2x3|x1|Error!yf(x)的图象如图所示，易得 f(x)min .52不等式 f(x)a 的解集是空集，a 的取值范围为.(，52)(2)x0R，使得 2f(x0)t24|t|成立，即 2f(x)mint24|t|，由(1)知 f(x)min ，52t24|t|50，解得5t5，t 的取值范围为5,5配套作业1(2019西安八校高三联考)已知 a，b 均为实数，且|3a4b|10.(1)求 a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2对任意的 a，bR 恒成立，求实数 x 的取值范围解 (1)因为 102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2

12、)，所以a2b24，当且仅当 ，ab34即Error!或Error!时取等号，即 a2b2的最小值为 4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2对任意的 a，bR 恒成立|x3|x2|4Error!或Error!或Error!x0，所以 x 不存在；当 0x0，所以 02x 成立，求 a 的取值范围12解 (1)当 a1 时，f(x)|2x1|x1|Error!由 f(x)2，得Error!或Error!或Error!解得 x或 x 或4x ，解得 m2，由于m2m2，32(2)因为|f(x)|x2|x3|x2x3|5，所以5f(x)5，即 f(x)min5；要使不等式 f(x)0，解得 a1，所以 a 的取值范围为(，5)(1，)8(2019太原市高三模拟)已知函数 f(x)|2x1|2|x1|.(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)若存在实数 x0，使得 f(x0)5mm2成立的 m 的最大值为 M，且实数a，b 满足 a3b3M，证明：00，2aba2b2，4ab(ab)2，ab，ab242a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab (ab)143，ab2，0ab2.