圆锥曲线中的定点定值存在性问题三.doc

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1、课时跟踪检测1(2019温州九校联考)已知离心率为的椭圆22C：1(ab0)，过椭圆 C 上点 P(2,1)作两条互相垂直x2a2y2b2的直线，分别交椭圆于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证：直线 AB 过定点，并求出此定点的坐标解：(1)依题意有Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为1.x26y23(2)证明：易知直线 AB 的斜率存在，故设直线 AB 的方程为 ykxm，由Error!得(2k21)x24mkx2m260.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2，4mk2k212m262k21由 PP0，得(x12)(x22)(y11)(

2、y21)0，AB即(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)0，得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)m22m50，则 3m28mk4k22m10，即(3m2k1)(m2k1)0，由直线 AB 不过点 P，知 m2k10，故 3m2k10.所以直线 AB 过定点.(23，13)2已知抛物线 C1：x24y 的焦点为 F，过抛物线 C2：y x23 上一点18M 作抛物线 C2的切线 l，与抛物线 C1交于 A，B 两点(1)记直线 AF，BF 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k2 ，求直线 l 的方程；35(2)是否存在正实数 m，使得对任意点 M，都有|AB|m(|AF|BF|

3、)成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由解：(1)设 M(x0，y0)，由 y3，得 y ，x28x4则切线 l 的斜率为 k.x04切线 l 的方程为 y(xx0)y0xy0x2y06y0，x04x04x2 04x04即 yxy06.x04与 x24y 联立，消去 y 得 x2x0x4y0240.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x2x0，x1x24y024，则 y1y2(x1x2)x042y0122y0124y018，y1y2(y06)2，x2 04x2 1x2 216则由k1k2 ，y11x1y21x2y1y2y1y21x1x2y0624y01814y0243

4、5得 5y 28y0230，解得 y01 或 y0.2 0235x 8(y03)0，y03，故 y01，x04.2 0则直线 l 的方程为 yx5.(2)由(1)知直线 l 的方程为 yxy06，且x04x1x2x0，x1x24y024，则|AB|x1x2|1x2 0161x2 016x1x224x1x216x2 04，x2 044y024即|AB|2(5y0)，168y02448y02416y0963而|AF|BF|(y11)(y21)4y0204(5y0)，则|AB|(|AF|BF|)，32故存在正实数 m，使得对任意点 M，都有|AB|(|AF|BF|)成立32323(2019嵊州高三期

5、末)已知抛物线 y22x，P(1,0)，M(0，a)，其中 a0，过点 M 作抛物线的切线，切点为A(不同于原点 O)，过点 A，P 作直线交抛物线于点 B，过点M，P 作直线交抛物线于点 C，D.(1)求证：直线 MA，MP 的斜率之积为定值；(2)若BCD 的面积为，求实数 a 的值2716解：(1)证明：设 A(2m2,2m)(m0)，则 kAM，所以直线2ma2m2AM：yxa，即 x(ya)，与抛物线方程联立得 y2y2ma2m22m22ma4m22ma0，4m2a2ma因为直线 AM 与抛物线相切，所以 0，解得 ma，16m42ma216m2a2ma所以 A(2a2,2a)，所以

6、 kMAkMP ，为定值2aa2a20a00112(2)易得 kCDkMPa，所以直线 CD：yaxa，即 x y1，1a与抛物线方程联立得 y2 y20，2a设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，|y1y2|，4a282 2a21a|CD|y1y2|11a2，2 a212a21a2又 kAB，所以直线 AB：y(x1)，即 xy1，与抛物2a2a212a2a212a212a线方程联立得 y2y20，所以 yAyB2，2a21a所以 yB ，所以 B，1a(12a2，1a)所以点 B 到直线 CD 的距离 d，12aaa21所以 SBCD，(12aa)2a21a22716整理得， 2a213

7、a3278所以 ，解得 a2 或 a2(舍去)2a21a324.如图，A 为椭圆y21 的下顶点，过点 A 的直线 lx22交抛物线 x22py(p0)于 B，C 两点，C 是 AB 的中点(1)求证：点 C 的纵坐标是定值；(2)过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l交椭圆于M，N 两点，p 为何值时，BMN 的面积最大？解：(1)证明：易知 A(0，1)，不妨设 B，则 C，代入抛物线(t，t22p)(t2，t22p4p)方程得22p，得 t24p，yC ，故点 C 的纵坐标为定值(t2)t22p4p4p2p4p12(2)点 C 是 AB 的中点，SBMNSAMN.设直线 l 的斜率

8、为 k，直线 l的斜率为 k，则 k ，k ，121t23t3t直线 l的方程为 y ，即 y x2，不妨记 m ，则123t(xt2)3t3tl：ymx2，代入椭圆方程整理得(2m21)x28mx60，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2，x1x2，8m2m2162m21|MN|x1x2|2，1m221m22m232m21又 A 到直线 MN 的距离 d，3m21所以 SAMN |MN|d123 .22m232m213 22m2342m233 24当且仅当时取等号，解得 m2 ，所以 t2，从2m2342m23729m2187而 p ，t24914故当 p时BMN 的面积最大

9、9145已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为，它的一个焦22点恰好与抛物线 y24x 的焦点重合(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为 A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB，AC，若直线AB，AC 斜率之积为 ，直线 BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；14若不经过，请说明理由解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，则 c1.由 e 得 a，所以 b1，ca222所以椭圆 C 的方程为y21.x22(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC：xx0，设 B(x0，y0)，则 C(x0，y0)，kABkAC ，y0

10、1x0y01x01y2 0x2 012x2 0x2 01214不合题意故直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由 (4km)28(12k2)(m21)0，得 2k2m210.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，4km12k22m2112k2由 kABkAC 得：y11x1y21x2144y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为 m1，所以 m3，此时直线 BC 的方程为 ykx3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)