人教版八年级数学下册17.1《勾股定理》PPT课件.ppt

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1、17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,第1课时 勾股定理,新课标人教版八年级数学下册,1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）,其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.,导入新课,情景引入,据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).,很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.,勾

2、股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：,讲授新课,我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：,问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？,一直角边2,另一直角边2,斜边2,+,=,问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？,问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：,这两幅图中A,B的

3、面积都好求，该怎样求C的面积呢？,方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：,左图：,右图：,方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：,左图：,右图：,你还有其他办法求C的面积吗？,根据前面求出的C的面积直接填出下表：,4,13,25,9,16,9,思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.,由上面的几个例子，我们猜想：,下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来

4、证明这一猜想.,a,b,b,c,a,b,c,a,证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.,a,b,c,S大正方形c2，,S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，,赵爽弦图,b-a,证明：,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.,证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.,a2+b2+2ab=c2+2ab，,a2 +b2 =c2.,证明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=

5、4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，,a,a,b,b,c,c,a2 + b2 = c2.,证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.,如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.,a、b、c为正数,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.,公式变形：,勾股定理,a,b,c,归纳总结,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”

6、.,勾2+股2=弦2,小贴士,例1 如图，在RtABC中， C=90.,（1）若a=b=5,求c;,（2）若a=1,c=2,求b.,(2)据勾股定理得,（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;,（2）若b=15，A=30,求a,c.,【变式题1】在RtABC中， C=90.,x2+(2x)2=52，,解得,(2),因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得,(2x)2-x2=152，,解得,已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.,【变式题2】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.,解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边

7、时，如图，当BC为斜边时，如图，,图,图,当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.,例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.,解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ACBC= ABCD. CD= .,由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用,练一练,求下列图中未知数x、y的值：,解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15.,解：由勾股定理可得 y2+ 14

8、4=169，解得 y=5,当堂练习,1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2,C,2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .,36 cm,3.在ABC中，C=90.（1）若a=15，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= .4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_.,17,5,74或24,5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.,解：设另

9、一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289225=64， x=8（负值舍去），另一直角边长为8 cm，,直角三角形的面积是,(cm2).,6.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周长,解：ADBC，ADB=ADC=90在RtADB中，B+BAD=90，B=45，B=BAD=45，BD=AD=1，AB= 在RtADC中，C=30，AC=2AD=2，CD= ，BC=BD+CD=1+ ，ABC的周长=AB+AC+BC= ,解：AEBE，SABE AEBE AE2.又AE2BE2AB2，2AE2AB2，SABE AB

10、2 ；同理可得SAHCSBCF AC2 BC2.又AC2BC2AB2，阴影部分的面积为 AB2 .,7.如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，求ABE及阴影部分的面积.,能力提升：,课堂小结,勾股定理,内容,在RtABC中， C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.,注意,在直角三角形中,看清哪个角是直角,已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,第2课时 勾股定理在实际生活中的应用,新课标人教版八年级数学下册,1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）2.能从实际问题中抽象出直

11、角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）,情景引入,数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面视频，你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？,导入新课,问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？,这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题,讲授新课,例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,典例精析,解：在RtABC中，根据勾股定理，,AC2=AB2+BC2=12+22=5,因为AC大于木

12、板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.,分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.,解：在RtABC中，根据勾股定理得,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，,OB=1.,在RtCOD中，根据勾股定理得,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.,例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,例3

13、 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？,A,C,B,解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在RtABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得,这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：,（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；,（2）构造直角三角形；,（3）利用勾股定理等列方程；,（4）解决实际问题.,归纳总结,数学问题,直角三角形,勾股定理,实际问题,1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB

14、为 ( ),A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,练一练,C,A,B,2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？,解：(1)在Rt ABC中，根据勾股定理得这条“径路”的长为5米.,（2）他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).,A,2,1,-4,-3,-2,-1,-1,2,3,1,4,5,例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.,y,O,x,

15、3,B,C,解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.AC=5-2=3，BC=3+1=4，在RtABC中，由勾股定理得A,B两点间的距离为5.,方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点,思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？,已知：如图，在RtABC 和RtA B C 中，C=C =90，AB=A B ，AC=A C 求证：ABCA B C ,证明：在RtABC 和RtA B C 中， C=C=90， 根据勾股定理得,C,B,A,问题 在A点的小狗，为了尽

16、快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？,AC+CB AB（两点之间线段最短）,思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？,想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？,A,蚂蚁AB的路线,问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？,根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.,若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3.,侧面展开图,A,A,解：在RtABA中，由勾股定理得,立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定

17、最短路线.,例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3）?,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5,AB=13. 即梯子最短需13米.,典例精析,数学思想：,立体图形,平面图形,转化,展开,B,牛奶盒,A,【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？,6cm,8cm,10cm,B,B1,8,A,B2,6,10,B

18、3,AB12 =102 +（6+8）2 =296，,AB22= 82 +（10+6）2 =320，,AB32= 62 +（10+8）2 =360，,解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得,AB1AB2AB3.,小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .,例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？,牧童A,小屋B,A,C,东,北,解：如图，作出点A关于河岸的对称点A，连接AB则AB就是最短路线.由题意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km.在RtADB中，由

19、勾股定理得,求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.,如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.,A,B,解：由题意得AC =2，BC=1,在RtABC中，由勾股定理得 AB= AC+ BC=2+1=5AB= ，即最短路程为 .,练一练,1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24m B.

20、12m C. m D. cm,D,当堂练习,2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm,D,3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_.,10,4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？,A,B,C,解：如图，过点A作ACBC于点C.由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， 答：小鸟至少飞行10米.,5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A

21、和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,B,A,解：台阶的展开图如图，连接AB.,在RtABC中，根据勾股定理得,AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.,6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？,能力提升：,解：如右下图，在RtABC中，AC36cm，BC108427(cm)由勾股定理，得AB2AC2BC23622722025452，AB

22、45cm，整个油纸的长为454180(cm),课堂小结,勾股定理的应用,用勾股定理解决实际问题,用勾股定理解决点的距离及路径最短问题,解决“HL”判定方法证全等的正确性问题,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,第3课时 利用勾股定理作图或计算,新课标人教版八年级数学下册,1. 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题.（重点）2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题.（难点）,欣赏下面海螺的图片：,导入新课,情景引入,在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.,这个图是怎样绘制出来的呢？,问题1 我们知道数轴上的点与实数

23、一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？,3,-2.5,问题2 求下列三角形的各边长.,1,2,1,2,3,？,？,？,1,复习引入,问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？,用同样的方法作 呢？,讲授新课,提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.,思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？,问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？,0,1,2,3,4,步骤：,l,A,B,C,1.在数轴上找到点A,使OA=3;,2.作直线lOA,在l上取一点B，使AB=2;,3.以原点O为圆

24、心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 的点.,O,也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.,利用勾股定理表示无理数的方法:,（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.,（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.,归纳总结,“数学海螺”,类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.,1,1,类比迁移,例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.,解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为 ，即1到A的距离是 ，点A所表示的数为 .,易错点拨：求点表示的数时

25、注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.,典例精析,1.如图，点A表示的实数是 （）,2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）,C,D,练一练,0,1,2,3,4,l,A,B,C,3.你能在数轴上画出表示 的点吗？,画一画 在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB,B,B,B,例2 在如图所示的68的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长,解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3

26、,-2).由勾股定理得ABC的周长为,勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.,例3 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？,解：如图所示，有8条.,一个点一个点的找，不要漏解.,例4 如图，在22的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.,解：如图，过点C作CDAB于点D.,D,此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.,如图，在55正方形网格中，每个小正方形的边长 均为1，画出一个三角形的长分别为 .,A

27、,B,C,练一练,解：如图所示.,例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.,解：在RtABF中,由勾股定理得 BF2=AF2AB2=10282=36，BF=6cm.CF=BCBF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8x)cm ，在RtECF中,根据勾股定理得 x2+ 42=(8x)2，解得 x=3.,即EC的长为3cm.,要用到方程思想,【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A的对应点为A，且BC3，求AM的长.,解：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，A

28、B2AM2BM2.在RtMDB中，MD2DB2=MB2.MBMB，AB2AM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2.即AM2.,折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x 的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.,归纳总结,例6 如图，四边形ABCD中A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积,解：如图，延长AD、BC交于EB=90，A=60，E=9060=30，在RtABE和RtCDE中，AB=2

29、，CD=1，AE=2AB=22=4，CE=2CD=21=2，由勾股定理得,E,D,C,B,A,补形法求面积,当堂练习,1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ） A.5 B.6 C.7 D.25,A,2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间,B,3.如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC的三个

30、顶点均在格点上，则AB边上的高为_.,解：AB=AD=8cm，A=60，ABD是等边三角形.ADC=150,CDB=15060=90，BCD是直角三角形.又四边形的周长为32cm，CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).设CD=x，则BC=16-x，由勾股定理得82+x2=(16-x)2解得x=6cm.SBCD= 68=24(cm)2.,4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，A=60，ADC=150，已知四边形ABCD的周长为32cm，求BCD的面积,5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，求重叠部分AFC的面积.,解：易

31、证AFDCFB，DF=BF，设DF=x，则AF=8-x，在RtAFD中，(8-x)2=x2+42，解得x=3.AF=AB-FB=8-3=5，SAFC= AFBC=10,6.问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）求ABC的面积；,图,能力提升：,（2）若ABC三边的长分别为 (a0)，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积,解：如图,思维拓展：,ABC即为所求，,图,A,B,C,课堂小结,利用勾股定理作图或计算,在数轴上表示出无理数的点,利用勾股定理解决网格中的问题,利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算,通常与网格求线段长或面积结合起来,通常用到方程思想,