人教版八年级数学下册18.2.1《矩形》PPT课件.ppt

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1、18.2.1 矩 形,第十八章 平行四边形,第1课时 矩形的性质,新课标人教版八年级数学下册,1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与 联系.（重点）2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题.（重点、难点）3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点）,观察下面图形,长方形在生活中无处不在.,导入新课,情景引入,思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？,你还能举出其他的例子吗？,讲授新课,活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形.,归纳总结

2、,平行四边形不一定是矩形.,思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？,可以从边，角，对角线等方面来考虑.,活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,A,B,C,D,O,物体,测量,（实物）,（形象图）,（2）根据测量的结果,你有什么猜想？,猜想1 矩形的四个角都是直角.,猜想2 矩形的对角线相等.,你能证明吗？,证明：四边形ABCD是矩形, B=D,C=A,

3、 ABDC. B+C=180. 又B = 90, C = 90. B=C=D=A =90.,如图,四边形ABCD是矩形,B=90.求证： B=C=D=A=90.,A,B,C,D,证一证,证明：四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90,在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC= CB,ABCDCB.AC=DB.,A,B,C,D,O,如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.,矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.,归纳总结,几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交

4、于点O.ABC=BCD=CDA=DAB =90，AC=DB.,A,B,C,D,O,例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4 ,求矩形对角线的长.,解：四边形ABCD是矩形. AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD ,OA = OB. 又AOB=60, OAB是等边三角形， OA=AB=4， AC=BD=2OA=8.,A,B,C,D,O,典例精析,矩形的对角线相等且互相平分,例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE ,垂足为F.求证：DF=DC.,A,B,C,D,E,F,证明：连接DE.AD =AE,

5、AED =ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC, DEC=AED.又DFAE, DFE=C=90.,又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.,例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，求BED的面积,解：四边形ABCD是矩形，ADBC，A90，23.又由折叠知12，13，BEDE.设BEDEx，则AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2，解得x5，即DE5.SBED DEAB 5410.,矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查,思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.矩形是不是轴

6、对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质：对称性： .对称轴：.,轴对称图形,2条,练一练,1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是 （）AABDC BAC=BD CACBD DOA=OB,A,B,C,D,O,C,2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_.,3.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度数,解：四边形ABCD是矩形，DAB90，AO AC，BO BD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAE：BAE3：1，BAE22.5，D

7、AE67.5.AEBD，ABE90BAE9022.567.5，OABABE67.5EAO67.522.545.,活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.,问题 RtABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？,猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,试给出数学证明.,O,D,证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC.,AO=OC, BO=OD，四边形ABCD是平行四边形.,ABC=90,平行四边形ABCD是矩形，,AC=BD，,如图，在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中线.求证: BO = AC ?,BO= BD= AC

8、.,1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,证一证,例4 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点(1)若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；,解：AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，DEAE AB 105， DFAF AC 84，四边形AEDF的周长AEDEDFAF554418；,典例精析,(2)求证：EF垂直平分AD.,证明：DEAE，DFAF，E、F在线段AD的垂直平分线上， EF垂直平分AD.,当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解,例5 如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是B

9、C，DE的中点，试说明GFDE.,解：连接EG，DG. BD，CE是ABC的高， BDCBEC90. 点G是BC的中点，EG BC，DG BC. EGDG. 又点F是DE的中点， GFDE.,在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,如图，在ABC中,ABC = 90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_cm;(2)若C = 30 ,AB = 5cm,则AC =_cm, BD = _cm.,6,10,5,练一练,当堂练习,1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对

10、边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 B.40 C.80 D.10,A,C,C,4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=_cm,2.5,5.如图，ABC中，E在AC上，且BEACD为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为_,6,第4题图,第5题图,6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点

11、O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED的面积.,A,B,C,D,O,E,(1)证明：四边形ABCD是矩形,AC= BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.,(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD = 2BO =24=8.DBC=30,CD= BD= 8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积= (4+8) = .,A,B,C,D,O,E,7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PEAC，PFBD

12、于F，求PE+PF的值.,解：连接OP.四边形ABCD是矩形，DAB=90，OA=OD=OC=OB，SAOD=SDOC=SAOB=SBOC = S矩形ABCD= 68=12.在RtBAD中，由勾股定理得BD=10，AO=OD=5，SAPO+SDPO=SAOD， AOPE+ DOPF=12，即5PE+5PF=24，PE+PF= .,能力提升：,课堂小结,矩形的相关概念及性质,具有平行四边行的一切性质,四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等,轴对称图形,有两条对称轴,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,第十八章 平行四边形,18.2.1 矩 形,第2课时

13、矩形的判定,新课标人教版八年级数学下册,1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理（重点）2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点),复习引入,导入新课,问题1 矩形的定义是什么？,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,问题2 矩形有哪些性质？,矩形,边：,角：,对角线：,对边平行且相等,四个角都是直角,对角线互相平分且相等,思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？,这节课我们一起探讨矩形的判定吧.,讲授新课,类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的

14、一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.,问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？,矩形是特殊的平行四边形.,类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.,问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？,我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.,不对，等腰梯形的对角线也相等.,不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.,思考 你能证明这一猜想吗？,已知：如图,在ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABCDC

15、B , ABC = DCB. ABCD, ABC + DCB = 180, ABC = 90, ABCD是矩形（矩形的定义）.,证一证,矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.,归纳总结,几何语言描述：在平行四边形ABCD中，AC=BD，平行四边形ABCD是矩形.,思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？,对角线相等的平行四边形是矩形.,解：四边形ABCD是平行四边形，,OA=OC= AC，,OB=OD= BD.,又OA=OD，,AC=BD，,四边

16、形ABCD是矩形，,BAD=90.,又OAD=50，,OAB=40.,典例精析,例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.,证明：,四边形ABCD是矩形，,AC=BD（矩形的对角线相等)，,AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），, AE=BF=CG=DH，,OE=OF=OG=OH，,四边形EFGH是平行四边形，,EO+OG=FO+OH，,即EG=FH，四边形EFGH是矩形.,练一练,1.如图，在ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定ABCD是矩形的是 （）

17、,AAC=BD BAC=BCCAD=BC DAB=AD,A,2.如图 ABCD中, 1= 2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？,1,2,解：四边形ABCD是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四边形 AO=CO,DO=BO.又 1= 2，AO=BO，AC=BD，四边形ABCD是矩形.,问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？,逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.,成立,问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？,猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.,已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.,证明: A=B=C

18、=90,A+B=180,B+C=180，ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形.,证一证,矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.,归纳总结,几何语言描述：在四边形ABCD中， A=B=C=90,四边形ABCD是矩形.,思考 一个木匠要制作矩形的踏板他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板为什么？,有三个角是直角的四边形是矩形.,例3 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形,证明：在ABCD中，ADBC,DAB+ABC=180.,AE与BG分别为DAB、ABC的平分线,四边形

19、EFGH是矩形,同理可证AED=EHG=90,AFB=90，,GFE=90., BAE+ ABF= DAB+ ABC=90.,例4 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形,证明：在ABC中，ABAC，ADBC， BADDAC，即DAC BAC.又AN是ABC外角CAM的平分线，MAECAE CAM,DAEDACCAE (BACCAM)90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90,四边形ADCE为矩形,练一练,在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其

20、中正确的是 （）A测量对角线是否相等 B测量两组对边是否分别相等 C测量一组对角是否都为直角 D测量其中三个角是否都为直角,D,当堂练习,1.下列各句判定矩形的说法是否正确？,（1）对角线相等的四边形是矩形；,（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；,（3）有一个角是直角的四边形是矩形；,（5）有三个角是直角的四边形是矩形；,（6）四个角都相等的四边形是矩形；,（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；,（4）有三个角都相等的四边形是矩形;,（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.,2.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、 MCA、 A

21、CN、CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定,C,3.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13求证：四边形ABCD是矩形,证明：四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，ADC=90.又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即ABC是直角三角形，且B=90，四边形ABCD是矩形,4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ONOB，再延长OC至M，使CMAN.求证：四边形NDMB为矩形,证明：四边形ABCD为平行四边形， AOOC，OD

22、OB.ANCM，ONOB，ONOMODOB，四边形NDMB为平行四边形，MNBD， 平行四边形NDMB为矩形,5.如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AE是BAC的外角平分线，DEAB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形,证明：ABAC，ADBC，BACB，BDDC.AE是BAC的外角平分线，FAEEAC.BACBFAEEAC，BACBFAEEAC， AECD.又DEAB，四边形AEDB是平行四边形，AE平行且相等BD.,又BDDC，AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又ADC90，平行四边形ADCE是矩形,6.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm

23、，BC26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？,解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PDCQ， 所以24x3x， 解得x6. 即经过6s，四边形PQCD 是平行四边形；,能力提升：,(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？,解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，即APBQ，y263y，解得y6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形,课堂小结,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,对角线相等的平行四边形是矩形.,有三个角是直角的四边形是矩形.,运用定理进行计算和证明,矩形的判定,定义,判定定理,