九年级数学下册第二十八章 《锐角三角函数》PPT课件.ppt

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1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第1课时 正弦函数,新课标人教版九年级数学下册,1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点)2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点),为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (A )为 30，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？,情境引入,导入新课,讲授新课,从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描

2、述出来？,A,B,C,35m,?,合作探究,如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC = 35 m，求AB.,根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”. 即可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管.,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .,归纳：,RtABC 中，如果C=90，A = 45，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？,因为A=45，则AC=BC，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2.,思考：,所以,因此,在直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么

3、无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .,归纳：,任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？,A,B,C,A,B,C,因为CC90，AA，所以RtABC RtABC. 所以,这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比也是一个固定值,如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即,例如，当A30时，我们有,当A45时，我们有,归纳：,例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和sinB 的值.,典例精析,解

4、：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得,因此,如图，在RtABC中，由勾股定理得,因此,sinA = ( ),sinA = ( ),1. 判断对错,练一练,sinB = ( ),sinA =0.6 m ( ),sinB =0.8 m ( ),2. 在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定,C,例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.,解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .,A (0，3),在RtAPO中，由勾股

5、定理得,因此,方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.,如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin 等于 ( ),A. B.C. D.,练一练,D,例3 如图，在 RtABC 中，C=90， ，BC = 3，求 sinB 及 RtABC 的面积.,提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.,解： , AB = 3BC =33=9.,在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB =

6、 h，AB = c，则,BC = ck，,AC = ch.,在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，BC=a，则,AB =,AC =,归纳：,1. 在RtABC中，C=90，sinA= ，BC=6，则 AB 的长为 ( ),D,A. 4 B. 6 C. 8 D. 10,2. 在ABC中，C=90，如果 sinA = ，AB=6， 那么BC=_.,2,练一练,例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长,解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股定理得,即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.,故 BC

7、 = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.,所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).,方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.,当堂练习,1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定,B,2. 如图， sinA的值为 ( ),A. B. C. D.,C,3. 在 RtABC 中，C = 90 ，若 sinA = ，则 A= ， B= .,45,45,4. 如图，在正方形网格中有 ABC，则 si

8、nABC 的值为 .,解析： AB ，BC ，AC ， AB2 BC2AC2， ACB90，sinABC,5. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 A 上， BD是 A 的一条弦，则 sinOBD =_.,解析：连接 CD，可得出 OBD= OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOCD 即可,A,C,B,D,6. 如图，在 ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 ABC 的面积.,D,解：作BDAC于点D， sinA = ，,又 ABC 为等

9、腰，BDAC， AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.,7. 如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?,解： A =A，ADC =ACB = 90， ACD ABC，ACD = B，,(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.,解： 由题 (1)知,课堂小结,正弦函数,正弦函数的概念,正弦函数的应用,已知边长求正弦值,已知正弦值求边长,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第2课时 余弦函数和正切函数,新课标人教版九年级数学下册,1. 认识并理解余弦、正切的概念进而

10、得到锐角三角函 数的概念. (重点)2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难 点),导入新课,问题引入,如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A的对边与斜边的比就随之确定.,此时，其他边之间的比是否也确定了呢？,讲授新课,合作探究,如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？,我们来试着证明前面的问题：,从而 sinB = sinE，,因此,在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关,如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作

11、cosA，即,归纳：,斜边,邻边,从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有 cos = sin (90)从而有 sin = cos (90),练一练,1. 在 RtABC 中，C90，AB13，AC12， 则cosA .,2. 求 cos30，cos60，cos45的值,解：cos30= sin (9030) = sin60 = ；,cos60= sin (9060) = sin30=,cos45= sin (9045) = sin45=,合作探究,如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？, RtABC RtDEF.,即 BC DF

12、= AC EF ，,由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关,如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA， 即,归纳：,A的正弦、余弦、正切都是A 的三角函数.,如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？,想一想：,1. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)， 则 tan POQ=_.,练一练,2. 如图，ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=_.,例1 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，

13、BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.,解：由勾股定理得,因此,典例精析,1. 在RtABC中，C = 90，AC = 12，AB =13. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.,练一练,2. 在RtABC中，C90，AC=2，BC=3. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.,例2 如图，在 RtABC中，C = 90，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值,解：,又,解：,如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosB

14、的值,练一练,1. 如图，在 RtABC 中，斜边 AB 的长为 m， A=35，则直角边 BC 的长是 ( ),A.,B.,C.,D.,A,当堂练习,2. 随着锐角 的增大，cos 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定,B,3. 已知 A，B 为锐角， (1) 若A =B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则A B. (3) 若 tanA tanB = 1，则 A 与 B 的关系为： .,=,=,4. tan30= ，tan60= .,A +B = 90,5. sin70，cos70，tan70的大小关系是 ( ) A. tan70cos

15、70sin70 B. cos70tan70sin70 C. sin70cos70tan70 D. cos70sin70tan70,解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701. 又cos70sin20，正弦值随着角的增大而增大，sin70cos70sin20. 故选D.,D,6. 如图，在 RtABC 中，C = 90，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值,解：,设 AC = 15k，则 AB = 17k.,7. 如图，在 RtABC 中，ACB = 90，CDAB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.,解: ACB A

16、DC =90，,B+ A=90， ACD+ A =90，,B = ACD，, tanB = tanACD =,8. 如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值.,解：过点 A 作 ADBC 于 D., AB = AC，, BD = CD = 3，,在 RtABD 中, tanB =,D,提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.,课堂小结,余弦函数和正切函数,在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦,A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关,在直角三角形中，锐角 A

17、的对边与邻边的比叫做角 A 的正切,余弦,正切,性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第3课时 特殊角的三角函数值,新课标人教版九年级数学下册,1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30、 45、60角的三角函数值. (重点)2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用. (难点),导入新课,复习引入,sin A =,cos A =,tan A =,1. 对于sin与tan，角度越大，函数值越 ； 对于cos，角度越大，函数值越 .,2. 互余的两角之间的三角函数关系： 若A+B=90，则sinA cosB，cosA s

18、inB， tanA tanB = .,大,小,=,=,1,讲授新课,两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值,30,60,45,45,合作探究,设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，,另一条直角边长 =,设两条直角边长为 a，则斜边长 =,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,归纳：,1,例1 求下列各式的值：,提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).,解：cos260+sin260,典例精析,(1) cos260+sin260；,(2),解：,练一练,计算：(1) sin30+ cos45；,解：原式 =,(

19、2) sin230+ cos230tan45.,解：原式 =,解： 在图中，,例2 (1) 如图，在RtABC中，C = 90，AB = ， BC = ，求 A 的度数；, A = 45.,解： 在图中，, = 60., tan = ，,(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 的度数.,求满足下列条件的锐角 .,练一练,(1) 2sin = 0； (2) tan1 = 0.,解：(1) sin = ，, = 60.,(2) tan =1， = 45.,例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足 (1tanA)2 |sinB |0，试判断 ABC 的形状,解： (1

20、tanA)2 | sinB |0，, tanA1，sinB A45，B60， C180456075， ABC 是锐角三角形,练一练,解： | tanB | (2 sinA )2 0，, tanB ，sinA B60，A60.,1. 已知：| tanB | (2 sinA )2 0，求A，B的度数.,2. 已知 为锐角，且 tan 是方程 x2 + 2x 3 = 0 的一 个根，求 2 sin2 + cos2 tan (+15)的值,解：解方程 x2 + 2x 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = 3. tan 0， tan =1， = 45. 2 sin2 + cos2 tan (+15)

21、= 2 sin245+cos245 tan60,当堂练习,1. tan (+20)1，锐角 的度数应是 ( ) A40 B30 C20 D10,D,A. cosA = B. cosA =C. tanA = 1 D. tanA =,2. 已知 sinA = ，则下列正确的是 ( ),B,3. 在 ABC 中，若 ， 则C = .,120,4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧， 两弧交于点 C，画射线 OC，则 sinAOC 的值为 _.,5. 求下列各式的值： (1) 12 sin30cos30； (2) 3tan30tan

22、45+2sin60； (3) ； (4),答案：(1),(2),(3) 2,(4),6. 若规定 sin (-) = sincos cossin，求 sin15 的值.,解：由题意得 sin15= sin (4530) = sin45cos30 cos45sin30,7. 如图，在ABC中，A=30， ， 求 AB的长度.,D,解：过点 C 作 CDAB 于点 D.,A=30， ，,D, AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.,课堂小结,30、45、60角的三角函数值,通过三角函数值求角度,特殊角的三角函数值,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八

23、章 锐角三角函数,第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角,新课标人教版九年级数学下册,1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值. (重点)2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角 的大小. (重点)3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题. (难点),导入新课,复习引入,1,填写下表：,通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30、45、60等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？,讲授新课,例1 (1) 用计算器求sin18的值；,第二步：输入角度值18；,屏幕显示结果 sin18= 0.309 016 99

24、4.,典例精析,(2) 用计算器求 tan3036 的值；,解：方法：,第二步：输入角度值30.6 (因为3036 = 30.6)；,屏幕显示答案：0.591 398 351.,屏幕显示答案：0.591 398 351.,方法：,(3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 A 的度数.,第二步：然后输入函数值0. 501 8；,屏幕显示答案： 30.119 158 67(按实际需要进行精确).,解：,练一练,1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47；(2) sin1230； (3) cos2518；(4) sin18cos55tan59.,答案：(1

25、) 0.7314,(2) 0.2164,(3) 0.9041,(4) 0.7817,2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A， B的度数 (结果精确到0.1)： (1) sinA0.7，sinB0.01； (2) cosA0.15，cosB0.8； (3) tanA2.4，tanB0.5.,答案：(1) A 44.4；B 0.6. (2) A 81.4；B 36.9. (3) A 67.4；B 26.6.,例2 通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： sin30_2sin15cos15； sin36_2sin18cos18； sin45_2sin22.5cos

26、22.5； sin60_2sin30cos30； sin80_2sin40cos40.猜想：已知045，则sin2_2sincos.,=,=,=,=,=,=,(2) 如图，在ABC中，ABAC1，BAC2， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论,证明： SABC = AB sin2 AC = sin2， SABC = 2ABsin ACcos = sin cos， sin22sincos.,sin20= ， cos20= ， sin220= ， cos220= ； sin35= ，cos35= ， sin235= ，cos235= ； 猜想： 已知090，则 sin2 + cos2 = .,0

27、.3420,0.5735,0.9397,0.1170,0.8830,0.8192,0.3290,0.6710,练一练,(1) 利用计算器求值，并提出你的猜想：,1,(2) 如图，在 RtABC 中，C=90，请验证你在 (1) 中的结论.,证明：在 RtABC中，a2 + b2 = c2，,1. 用计算器求sin243718的值，以下按键顺序正确 的是 ( ) A B C D,A,当堂练习,sin,2,4, ,3,7, ,8,1, ,=,sin,2,4, ,3,7, ,8,1, ,=,2nd F,sin,2,4, ,8,1, ,=,sin,2,4, ,3,7, ,8,1, ,=,2nd F,2

28、. 下列式子中，不成立的是 ( ) Asin35= cos55 Bsin30+ sin45= sin75 C cos30= sin60 Dsin260+ cos260=1,B,(1) sin40 (精确到0.0001)；(2) sin1530 (精确到 0.0001)；(3) 若sin = 0.5225，则 (精确到 0.1)；(4) 若sin = 0.8090，则 (精确到 0.1).,0.6428,0.2672,31.5,3. 利用计算器求值：,54.0,4. 已知：sin232+ cos2 =1，则锐角 = .,32,5. 用计算器比较大小：20sin87_ tan87.,6. 在 Rt

29、ABC 中，C = 90，BAC = 4224， A 的平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长 (精确到0.001).,解： AT 平分BAC，且BAC = 4224， CAT = BAC = 2112. 在 RtACT 中 cosCAT = ， AC = AT cosCAT = 14.7cos2112 13.705(cm).,课堂小结,用计算器求锐角三角函数值及锐角,用计算器求锐角的三角函数值或角的度数注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同,利用计算器探索锐三角函数的新知,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.2 解直角三角形及其应用,第二十八章 锐角三角函数,28.

30、2.1 解直角三角形,新课标人教版九年级数学下册,1. 了解并掌握解直角三角形的概念；2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点)3. 学会解直角三角形. (难点),导入新课,(1) 三边之间的关系:a2+b2=_；,(2) 锐角之间的关系： A+B=_；,(3) 边角之间的关系：sinA=_，cosA=_， tanA=_.,如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中C=90.,c2,90,复习引入,讲授新课,在图中的RtABC中，(1) 根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？,合作探究,75,(2) 根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直

31、角三角形的其他元素吗？,在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.,由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.,解：,典例精析,例1 如图，在RtABC中，C = 90，AC = ， ，解这个直角三角形.,在RtABC中，C90，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.,解：根据勾股定理,练一练,例2 如图，在RtABC中，C90，B35，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).,解：,1. 在 RtABC 中，C90，B72，c = 14. 根据条件解直角

32、三角形.,解：,练一练,2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长,提示：作CDAB于点D，根据三角函数的定义，在RtACD，RtCDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解,在RtCDB中，DCB=ACBACD=45，,D,解：如图，作CDAB于点D，,在RtACD中，A=30，ACD=90-A=60，,BD=CD=2.,例3 如图，在RtABC 中，C=90，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.,解：,设, AB的长为,1. 在RtABC中，C=90，sinA = ，BC=6，则 AB的值为 ( ) A4 B6 C8 D10,D,2. 如图，在菱形ABCD中

33、，AEBC于点E，EC=4， sinB ，则菱形的周长是 ( ) A10 B20 C40 D28,C,练一练,图,提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.,例4 在ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长.,解：cosB = ，B=45，,当ABC为钝角三角形时，如图，,AC=13，由勾股定理得CD=5,BC=BD-CD=12-5=7；,图,当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17., BC的长为7或17.,当堂练习,C,2. 如图，在RtABC中，C=90，B=30， AB=8，则BC的长是 ( ),D,1. 在RtABC中，C=90，a，b，c分别是A

34、， B，C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=atanA B. b=csinA C. b=ccosA D. a=ccosA,A,C,B,3. 在RtABC中，C=90，B=37，BC=32，则 AC = (参考数据：sin370.60，cos370.80， tan370.75).,4. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB = ，则 AC 的长为 .,24,3.75,5. 如图，在RtABC中，C90，AC=6， BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.,解：, AD平分BAC，,解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，C=45，AC=2，CD=AD=sinC A

35、C= 2sin45= .在ABD中，B=30，BD=BC=CD+BD=,6. 如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=2， 求BC.,D,解直角三角形,依据,解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素,勾股定理,两锐角互余,锐角的三角函数,课堂小结,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第二十八章 锐角三角函数,第1课时 解直角三角形的简单应用,新课标人教版九年级数学下册,28.2 解直角三角形及其应用,1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决

36、问题(重点、难点),导入新课,情境引入,高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.,美国人体工程学研究人员卡特 克雷加文调查发现，70以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左右时，人脚的感觉最舒适.,在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.,1. 解直角三角形,(1) 三边之间的关系：,a2b2c2（勾股定理）；,2. 解直角三角形的依据,(2) 两锐角之间的关系：, A B 90；,(3) 边角之间的关系：,tanA,sinA,cosA,讲授新课,棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?,