九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件.ppt

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1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.2 解直角三角形及其应用,第二十八章 锐角三角函数,28.2.1 解直角三角形,新课标人教版九年级数学下册,1. 了解并掌握解直角三角形的概念；2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点)3. 学会解直角三角形. (难点),导入新课,(1) 三边之间的关系:a2+b2=_；,(2) 锐角之间的关系： A+B=_；,(3) 边角之间的关系：sinA=_，cosA=_， tanA=_.,如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中C=90.,c2,90,复习引入,讲授新课,在图中的RtABC中，(1) 根据A75，斜边AB6

2、，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？,合作探究,75,(2) 根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？,在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.,由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.,解：,典例精析,例1 如图，在RtABC中，C = 90，AC = ， ，解这个直角三角形.,在RtABC中，C90，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.,解：根据勾股定理,练一练,例2 如图，在RtABC中，C90，B35，b=20，解这个直角三角形

3、(结果保留小数点后一位).,解：,1. 在 RtABC 中，C90，B72，c = 14. 根据条件解直角三角形.,解：,练一练,2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长,提示：作CDAB于点D，根据三角函数的定义，在RtACD，RtCDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解,在RtCDB中，DCB=ACBACD=45，,D,解：如图，作CDAB于点D，,在RtACD中，A=30，ACD=90-A=60，,BD=CD=2.,例3 如图，在RtABC 中，C=90，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.,解：,设, AB的长为,1. 在RtABC中，C=90，s

4、inA = ，BC=6，则 AB的值为 ( ) A4 B6 C8 D10,D,2. 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4， sinB ，则菱形的周长是 ( ) A10 B20 C40 D28,C,练一练,图,提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.,例4 在ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长.,解：cosB = ，B=45，,当ABC为钝角三角形时，如图，,AC=13，由勾股定理得CD=5,BC=BD-CD=12-5=7；,图,当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17., BC的长为7或17.,当堂练习,C,2. 如图，在RtABC中，C

5、=90，B=30， AB=8，则BC的长是 ( ),D,1. 在RtABC中，C=90，a，b，c分别是A， B，C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=atanA B. b=csinA C. b=ccosA D. a=ccosA,A,C,B,3. 在RtABC中，C=90，B=37，BC=32，则 AC = (参考数据：sin370.60，cos370.80， tan370.75).,4. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB = ，则 AC 的长为 .,24,3.75,5. 如图，在RtABC中，C90，AC=6， BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.,解：,

6、 AD平分BAC，,解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，C=45，AC=2，CD=AD=sinC AC= 2sin45= .在ABD中，B=30，BD=BC=CD+BD=,6. 如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=2， 求BC.,D,解直角三角形,依据,解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素,勾股定理,两锐角互余,锐角的三角函数,课堂小结,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第二十八章 锐角三角函数,第1课时 解直角三角形的简单应用,新课标人教版九年级数学下册,28.2 解直角三角形及其应用,1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点

7、)2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点),导入新课,情境引入,高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.,美国人体工程学研究人员卡特 克雷加文调查发现，70以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左右时，人脚的感觉最舒适.,在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的

8、过程叫解直角三角形.,1. 解直角三角形,(1) 三边之间的关系：,a2b2c2（勾股定理）；,2. 解直角三角形的依据,(2) 两锐角之间的关系：, A B 90；,(3) 边角之间的关系：,tanA,sinA,cosA,讲授新课,棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?,A,B,A,B,D,30,200m,BD=ABsin30=100m,合作探究,A,B,C,棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车行进速度为1m

9、/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？,A,B,D,C,E,60,200m,棋棋需要231s才能到达目的地.,例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km， 结果取整数）？,最远点,典例精析,解：设POQ= ，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形.,的长为,利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：,1. 将实际问题抽象为数学问题；

10、,2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；,画出平面图形，转化为解直角三角形的问题,3. 得到数学问题的答案；,4. 得到实际问题的答案.,归纳：,练一练,“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5= 0.997)？,解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，, AB=OBOA=63896370=19(km).即这层楼至少要高

11、19km，即1900m. 这是不存在的.,在RtOCB中，O,例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？,0.5m,3m,60,0.5m,3m,A,B,C,D,E,60,分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 ：DE=0.5m，AD=AB=3m，DAB=60，ACB为直角三角形，求CE的长度.,解：CAB=60，AD=AB=3m，,AC=ABcosCAB=1.5m，, CD=ADAC=1.5m，, CE=AD+

12、DE=2.0m.,即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.,如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）,练一练,G,解：作AGCD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.,(米).,CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，, (米).,1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 ( ),当堂练习,A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米,B,2. 数学

13、课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂 直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同 学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、 AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数 据求得A、B两树距离的有 ( ) A0组 B.1组 C2组 D.3组,D,3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45，则这棵大树高是 米.,A,C,B,4米,45,4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 BAD=30，在C点

14、测得BCD=60，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( ),A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米,B,5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD =20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平 线的夹角为30，求南楼的影子在北楼上有多高？,北,A,B,D,C,15m,E,南,解：过点E作EFBC，,AFE=90，FE=BC=15m.,即南楼的影子在北楼上的高度为,(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米?,A,B,?m,南,答案：BC至少为,课堂小结,利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：,1.

15、 将实际问题抽象为数学问题；,2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；,画出平面图形，转化为解直角三角形的问题,3. 得到数学问题的答案；,4. 得到实际问题的答案.,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第二十八章 锐角三角函数,第2课时 利用仰俯角解直角三角形,新课标人教版九年级数学下册,28.2 解直角三角形及其应用,1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点)2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、 方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路. (重点、难点),导入新课,某探险者某天到达

16、如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行.,问题引入,讲授新课,如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.,例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.,仰角,水平线,俯角,分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30，=60.,典例

17、精析,RtABD中，a =30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.,解：如图，a = 30,= 60， AD120,答：这栋楼高约为277.1m.,建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.,解：在等腰RtBCD中，ACD=90，,BC=DC=40m.,在RtACD中 ，,AB=ACBC=55.240=15.2 (m).,练一练,例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m

18、至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?,解：如图，由题意可知，ADB=30，ACB=60， DC=50m. DAB=60，CAB=30，DC=50m ，设AB=x m.,如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和45 ，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin370.8，cos37 0.6，tan 370.75）,A,B,37,45,400米,P,练一练,A,B,O,37,45,400米,P,设PO=x米，,在RtPOB中，PBO=45，,在RtPOA中，PAB=

19、37，,OB=PO= x米.,解得x=1200.,解：作POAB交AB的延长线于O.,即,故飞机的高度为1200米.,当堂练习,1. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观 测者之间的水平距离BC=_米.2. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则 建筑物CD的高为_米.,100,3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米， 则树高 (精确到0.1米）.,20.9 米,4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处

20、引两根拉 线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60角，另一 根拉线BC和地面成45角则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示).,解：由题意，ACAB610（米）.,解：DEAC610（米），在RtBDE中，tanBDE .,45,30,B,A,200米,6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30和45， 求飞机的高度PO .,U,D,P,答案：飞机的高度为 米.,课堂小结,利用仰俯角解直角三角形,仰角、俯角的概念,运用解直角三角形解决仰角、俯角问题,模型一,模型二,模型三,仰角、俯角问题的常见基本模型：,导入新课,讲授新课,当堂

21、练习,课堂小结,第二十八章 锐角三角函数,第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形,新课标人教版九年级数学下册,28.2 解直角三角形及其应用,1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题； 能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的 数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解 决问题的综合能力. (重点、难点),导入新课,以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90的角，叫做方位角. 如图所示：,方位角,北偏东30,南偏西45,复习引入,讲授新课,典例精析,例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80

22、 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？,解：如图 ，在RtAPC中，,PC=PAcos（9065）,=80cos25,800.91,=72.505.,在RtBPC中，B=34，,因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130n mile,解：过A作AFBC于点F， 则AF的长是A到BC的 最短距离. BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF=6030=30.,例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼

23、群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？,E,F,又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC，BC=AC=12海里，AF=AC cos30=6 (海里)，6 10.3928，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险,如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越

24、保护区(参考数据： 1.732， 1.414),练一练,200km,200km,解：过点P作PCAB，C是垂足 则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45. ACBCAB， PC tan30PC tan45200， 即 PCPC200， 解得 PC126.8km100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区,C,如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？,如何用数量来刻画哪条路陡呢？,观察与思考,i= h : l,1. 坡角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .,2. 坡度 (或坡比),坡度通常写成 1m的形式，如i=16.,如图所示，坡面的铅垂高

25、度 (h) 和水 平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，记作i， 即 i = h : l .,坡面,水平面,3. 坡度与坡角的关系,即坡度等于坡角的正切值.,1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 =_度.2. 斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_.,30,1 : 1,练一练,例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？,i=1:2,典例精析,在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，,因此 26.57.,答

26、：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m,从而 BC=240sin26.57107.3（m）,因此,例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求：(1) 斜坡CD的坡角 (精确到 1)；,i=1:3,解： 斜坡CD的坡度i = tan = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得22.故斜坡CD的坡角 为22.,解：分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.,在RtABE中，,(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).,E,F,i=1:

27、3,=69+6+57.5=132.5 (m).,在RtABE中，由勾股定理可得,在RtDCF中，同理可得,故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.,如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30请求出点B和点C的水平距离,练一练,30,答案：点B和点C的水平距离为 米.,当堂练习,1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ),A. 9m B. 6m C. m D. m,B,2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方

28、向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方 向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M 在北偏东30方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是 ( ),A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟,B,3. 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的 北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ACB等于 ,90,4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方 向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北 方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南 偏东43方向，则A、B两岛之间的距离为 (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43=

29、0.68， cos43=0.73，tan43=0.93),33.5海里,解：作DEAB， CFAB， 垂足分别为E、F 由题意可知 DECF4 (米)，CDEF12 (米),5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30， 求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).,45,30,4米,12米,A,B,C,D,在RtADE中，,E,F,在RtBCF中，同理可得因此 ABAEEFBF4126.9322.93 (米)答： 路基下底的宽约为22.93米,(米).,(米).,6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑， 乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北 偏东60方向上，向前直行1200米到达D点，这时 测得古建筑A在D点北偏东30方向上，如果不改变 修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？,D,B,A,E,答案：AE= 米. 800，所以古建筑会遭到破坏.,课堂小结,解直角三角形的应用,坡度问题,方位角问题,坡角,坡度(或坡比),