最优控制理论及应用ppt课件.ppt

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1、Date:6/20/2022File:OC_CH1.1Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优控制理论及应用最优控制理论及应用主讲：董洁主讲：董洁20132013年年11 11月月Date:6/20/2022File:OC_CH1.2Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication1符曦符曦. 系统最优化及控制系统最优化及控制. 北京

2、：机械工业出版社北京：机械工业出版社2解学书解学书. 最优控制理论及应用最优控制理论及应用. 北京：清华大学出版社北京：清华大学出版社3秦寿康秦寿康. 最优控制最优控制. 北京：电子工业出版社北京：电子工业出版社4邢继祥等邢继祥等. 最优控制应用基础最优控制应用基础. 北京：科学出版社北京：科学出版社5王朝珠，秦化淑王朝珠，秦化淑. 最优控制理论最优控制理论. 北京：科学出版社，北京：科学出版社，20036张洪钺，王青张洪钺，王青. 最优控制理论与应用最优控制理论与应用. 北京：高等教育出版北京：高等教育出版社，社，20067胡寿松等胡寿松等. 最优控制理论与系统最优控制理论与系统. 北京：科

3、学出版社，北京：科学出版社，2007参考教材参考教材Date:6/20/2022File:OC_CH1.3Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优控制理论的发展最优控制理论的发展1最优化问题的分类最优化问题的分类2最优化问题的解法最优化问题的解法3最优控制问题最优控制问题4本课程主要内容本课程主要内容5第一章第一章 绪论绪论Date:6/20/2022File:OC_CH1.4Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrigh

4、tsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication第三阶段第三阶段 鲁棒控制理论阶段鲁棒控制理论阶段 1. 由于现代数学的发展，结合着由于现代数学的发展，结合着H2和和H 等范数而出现了等范数而出现了H2和和H 控制，还有逆系统控制等方法。控制，还有逆系统控制等方法。2. 20世纪世纪70年代末，控制理论向着年代末，控制理论向着“大系统理论大系统理论”、 “智智能控制理论能控制理论”和和“复杂系统理论复杂系统理论”的方向发展：的方向发展：控制理论的产生和发展控制理论的产生和发展第一阶段第一阶段 经典控制理论经典控制理论第二阶段第二阶段 现代控制理论现代

5、控制理论Date:6/20/2022File:OC_CH1.5Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication大系统理论：大系统理论：用控制和信息的观点，研究各种大系统的用控制和信息的观点，研究各种大系统的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础理论。理论。复杂大系统控制复杂大系统控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.6Optimal Control TheoryDongJie2013.A

6、llrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication智能控制理论：智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信研究与模拟人类智能活动及其控制与信息传递过程的规律，研制具有某些拟人智能的工程控制与信息传递过程的规律，研制具有某些拟人智能的工程控制与信息处理系统的理论。息处理系统的理论。洗衣机智能模糊控制洗衣机智能模糊控制机器人神经网络控制机器人神经网络控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.7Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlT

7、heory&itsApplication复杂系统理论：复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范筹，以解决复杂系统的控制为目标。范筹，以解决复杂系统的控制为目标。控制理论的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时控制理论的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。代，并走向自动化、信息化、智能化时代。复杂航天器控制复杂航天器控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.8Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlT

8、heory&itsApplication最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代控制理论的最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代控制理论的一个研究热点和中心话题。一个研究热点和中心话题。现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为主要内容，最优控制发展主要内容，最优控制发展早。早。20世纪世纪60年代，现代控制理论年代，现代控制理论才得以迅速发展。我国著名学者：钱学森才得以迅速发展。我国著名学者：钱学森1954年编著的年编著的工工程控制论程控制论直接促进了最优控制理论的发展和形成。直接促进了最优控制理论的发展和形成。1最优控制理

9、论的发展Date:6/20/2022File:OC_CH1.9Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication 现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括主要包括5 5个方面：个方面：线性系统理论线性系统理论最优控制最优控制系统辨识系统辨识最佳滤波（卡尔曼滤波）最佳滤波（卡尔曼滤波）自适应控制自适应控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.10Optimal Control TheoryDongJi

10、e2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication线性系统理论线性系统理论 研究线性系统在输入作用下状态运动过程规律，研究线性系统在输入作用下状态运动过程规律，揭示系统的结构性质、动态行为之间的关系。揭示系统的结构性质、动态行为之间的关系。主要内容：主要内容： 状态空间描述、能控性、能观性和稳定性、状状态空间描述、能控性、能观性和稳定性、状态反馈、状态观测器设计等。态反馈、状态观测器设计等。Date:6/20/2022File:OC_CH1.11Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrigh

11、tsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优控制最优控制 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。指标最佳的控制规律。主要方法：主要方法：变分法、极大值原理、动态规划等变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理极大值原理 现代控制理论的核心现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。如时间最短或燃料消耗最小等。Date:6/20/2022File:OC_CH1.

12、12Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication自适应控制自适应控制 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。一定意义下的最优。a.模型参考自适应控制模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control)b.自校正自适应控制自校正自适应控制（Self-Turning Adaptive Con

13、trol)Date:6/20/2022File:OC_CH1.13Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication系统辨识系统辨识建立系统动态模型的方法：建立系统动态模型的方法： 根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个与被研究系统本质特征等价的模模型中确定一个与被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。型，并确定其模型的结构和参数。最佳滤波理论（最佳估计器）最佳滤波理论（最佳估计器） 当系统中存在

14、随机干扰和环境噪声时，其综合必当系统中存在随机干扰和环境噪声时，其综合必须应用概率和统计方法进行。即：已知系统数学须应用概率和统计方法进行。即：已知系统数学模型，通过输入输出数据的测量，利用统计方法模型，通过输入输出数据的测量，利用统计方法对系统状态估计。对系统状态估计。Kalman滤波器滤波器Date:6/20/2022File:OC_CH1.14Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication控制理论必须回答的三个问题：控制理论必须回答的三个问题：（1）系统能否被控

15、制？可控性有多大？）系统能否被控制？可控性有多大？（2）如何克服系统结构的不确定性及干扰带来）如何克服系统结构的不确定性及干扰带来的影响？的影响？（3）如何实现满足要求的控制策略？）如何实现满足要求的控制策略？Date:6/20/2022File:OC_CH1.15Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication现代控制理论与经典控制理论的差异现代控制理论与经典控制理论的差异易于实现实时控制和最优易于实现实时控制和最优控制控制频率法的物理意义直观、实用，频率法的物理意义

16、直观、实用，难于实现最优控制难于实现最优控制其它其它状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈PIDPID控制和校正网络控制和校正网络设计方法设计方法复域、实域，可控和可观复域、实域，可控和可观测测频域频域( (复域复域),),频率响应和根轨迹频率响应和根轨迹法法分析方法分析方法线性代数矩阵线性代数矩阵拉普拉斯变换拉普拉斯变换研究工具研究工具状态空间法状态空间法( (内部描述内部描述) )传递函数法传递函数法( (外部描述外部描述) )研究方法研究方法多输入多输出系统多输入多输出系统(MIMO)(MIMO)一阶微分方程一阶微分方程单输入单输出系统单输入单输出系统(SISO)(SISO)高阶微分方程高

17、阶微分方程研究对象研究对象现代控制理论现代控制理论经典控制理论经典控制理论Date:6/20/2022File:OC_CH1.16Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication现代控制理论的应用现代控制理论的应用比起经典控制理论比起经典控制理论, ,现代控制理论考虑问题更全面、现代控制理论考虑问题更全面、更复杂更复杂, ,主要表现在考虑系统内部之间的耦合主要表现在考虑系统内部之间的耦合, ,系统系统外部的干扰外部的干扰, ,但符合从简单到复杂的规律。现代控但符合从简单

18、到复杂的规律。现代控制理论已经应用在工业、农业、交通运输及国防建制理论已经应用在工业、农业、交通运输及国防建设等各个领域。设等各个领域。Date:6/20/2022File:OC_CH1.17Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication导弹稳定控制导弹稳定控制空空导弹稳定控制空空导弹稳定控制地空导弹稳定控制地空导弹稳定控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.18Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsre

19、served.OptimalControlTheory&itsApplication航天器控制航天器控制月球车控制月球车控制卫星控制卫星控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.19Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication机器人控制机器人控制空间机器人控制空间机器人控制足球机器人控制足球机器人控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.20Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserv

20、ed.OptimalControlTheory&itsApplication一些常用概念一些常用概念q开环与闭环开环与闭环;q调节问题，跟踪问题，随动系统调节问题，跟踪问题，随动系统;q自治系统，非自治系统自治系统，非自治系统;q状态反馈，输出反馈状态反馈，输出反馈;Date:6/20/2022File:OC_CH1.21Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication世界上对控制理论发展有特殊贡献的学者：世界上对控制理论发展有特殊贡献的学者：美国著名学者：贝尔曼（美国

21、著名学者：贝尔曼（R.E.Bellman）：动态规划）：动态规划1953-1957原苏联著名学者：庞特里亚金：极小值原理原苏联著名学者：庞特里亚金：极小值原理1956-1958之后控制论得以迅速发展，发展和促进了许多新的理论学科。之后控制论得以迅速发展，发展和促进了许多新的理论学科。最优化技术要解决的主要问题：最优化技术要解决的主要问题：研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案，研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案，其中包括以下任务其中包括以下任务1）根据所提出的最优化问题，）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型建立最优化问题数学模型。确定变量，列出约束条件，确定目标函数

22、（性能指标）确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标）2 2）模型分析，模型分析，选择合适的最优化求解方法选择合适的最优化求解方法。3 3）根据选定的最优化算法，）根据选定的最优化算法，编程，求解编程，求解。Date:6/20/2022File:OC_CH1.22Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优化的基本问题：最优化的基本问题：就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究的对象就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究的对象（或系统）能最优

23、地达到预期的目标。（或系统）能最优地达到预期的目标。例如：例如：1)温度控制系统，如果出现干扰而产生偏差，用什么温度控制系统，如果出现干扰而产生偏差，用什么方法最快消除偏差而使系统恢复到原来的平衡状态。方法最快消除偏差而使系统恢复到原来的平衡状态。2)雷达高炮随动系统雷达高炮随动系统, ,当发现敌机后当发现敌机后, ,如何以最快速度跟踪目如何以最快速度跟踪目标而将敌机击落？标而将敌机击落？3)电梯控制，如何以最快速度平稳到达地面。电梯控制，如何以最快速度平稳到达地面。以上都涉及到：依据各种不同的研究对象以及人们预期达到以上都涉及到：依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻求一个最优控制

24、规律的目的，寻求一个最优控制规律u(t)的问题。的问题。Date:6/20/2022File:OC_CH1.23Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication拦截导弹最短时间控制拦截导弹最短时间控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.24Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication导弹最小燃料控制导弹最小燃料控制Date:6

25、/20/2022File:OC_CH1.25Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication航天飞机最小能量控制航天飞机最小能量控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.26Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication弹道导弹的弹道跟踪控制弹道导弹的弹道跟踪控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.27Optima

26、l Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication卫星的指向和稳定控制卫星的指向和稳定控制Date:6/20/2022File:OC_CH1.28Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication磁悬浮列车的控制磁悬浮列车的控制: :上海两个机场之间上海两个机场之间Date:6/20/2022File:OC_CH1.29Optimal Control Theor

27、yDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优控制的历史和人物最优控制的历史和人物三个经典问题：等周问题，最速降线问题，三个经典问题：等周问题，最速降线问题，测地线测地线( (短程线短程线) )问题问题催生了催生了变分法变分法二十世纪五十年代空间技术和航空技术二十世纪五十年代空间技术和航空技术推动产生了极大值原理，动态规划推动产生了极大值原理，动态规划Date:6/20/2022File:OC_CH1.30Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserve

28、d.OptimalControlTheory&itsApplication欧拉欧拉拉格朗日拉格朗日庞特里亚金庞特里亚金贝尔曼贝尔曼Date:6/20/2022File:OC_CH1.31Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优化与最优控最优化与最优控制制理论理论发展的一发展的一个概括表示个概括表示Date:6/20/2022File:OC_CH1.32Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.Op

29、timalControlTheory&itsApplication最优控制问题的发展过程最优控制问题的发展过程 古典法古典法50年代以前，自动控制系统设计有两种方法年代以前，自动控制系统设计有两种方法 解析法解析法这两种方法都是以传递函数为数学模型，来表征系统特征。这两种方法都是以传递函数为数学模型，来表征系统特征。在在s域或域或z域内用经典控制论进行设计，对简单的线性调节系域内用经典控制论进行设计，对简单的线性调节系统，方法有效。统，方法有效。 R（S） U（S） C（S） GC（S） G（S） Date:6/20/2022File:OC_CH1.33Optimal Control Theo

30、ryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication1）古典法：（工程试凑法）古典法：（工程试凑法）根据对象根据对象G（S），确定控制器），确定控制器GC（S），使系统满足各项性），使系统满足各项性能指标，如：超调量，上升时间，增益裕度，相位裕度。能指标，如：超调量，上升时间，增益裕度，相位裕度。特点特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法，系统设计不是最优的，所得结果不是唯一解。凑方法，系统设计不是最优的，所得结果不是唯一解。改进改进：解析法，力

31、求使设计的系统按一定指标要求来达到最：解析法，力求使设计的系统按一定指标要求来达到最优，从这个意义上讲，解析法比古典法更前进一步。优，从这个意义上讲，解析法比古典法更前进一步。2 2）解析法：）解析法：核心：目标函数为最小。核心：目标函数为最小。设计目标：求相应得目标函数，使误差的平方积分值设计目标：求相应得目标函数，使误差的平方积分值Je为小。为小。即：02)(mindtteJe, 从而确定控制器的传递函数。 Date:6/20/2022File:OC_CH1.34Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalContr

32、olTheory&itsApplication局限性：系统设计仅限于单变量系统，线性定常系统为控制局限性：系统设计仅限于单变量系统，线性定常系统为控制对象，设计目标仅局限于使误差最小。对象，设计目标仅局限于使误差最小。50年代中期，随着最年代中期，随着最优控制在航空航天领域中的应用，使局限性有了突破优控制在航空航天领域中的应用，使局限性有了突破最最优控制论设计系统。优控制论设计系统。1）用状态空间法研究线性控制系统，提出了可控可观的概念）用状态空间法研究线性控制系统，提出了可控可观的概念。注意注意：若系统是不可控的，则最优控制问题的解不存在：若系统是不可控的，则最优控制问题的解不存在2）动态规

33、划法和最优化原理）动态规划法和最优化原理3）极大值原理）极大值原理Date:6/20/2022File:OC_CH1.35Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication总结：总结：最优控制是现代控制理论的核心，其主要内容是：在最优控制是现代控制理论的核心，其主要内容是：在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最优控制，使目标函数为极大或极小。优控制，使目标函数为极大或极小。用最优控制设计系统与传统解析法相

34、比，特点如下：用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：1）适用于多变量，非线性，时变系统的设计）适用于多变量，非线性，时变系统的设计2）初始条件可任意）初始条件可任意3）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况4）便于计算机求解）便于计算机求解Date:6/20/2022File:OC_CH1.36Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication先期工作先期工作1948年，维纳（年，维纳（N.Wiene

35、r）发表）发表控制论控制论，引进了，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论（信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论（Cybernetics）的基础，并提出了相对于某一性能指标进）的基础，并提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念。行最优设计的概念。1954年，钱学森编著年，钱学森编著工程控制论工程控制论，系统地揭示了控，系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。义和重大影响。其中其中“最优开关曲线最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。论的形成和发展。最优

36、控制的发展简史最优控制的发展简史Date:6/20/2022File:OC_CH1.37Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication工程控制论工程控制论Engineering Cybernetics序言（钱学森）序言（钱学森）建立这门技术科学建立这门技术科学，能赋予人们更宽，能赋予人们更宽阔、更缜密的眼光阔、更缜密的眼光去观察老问题，为去观察老问题，为解决新问题开辟意解决新问题开辟意想不到的新前景。想不到的新前景。Date:6/20/2022File:OC_CH1.

37、38Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication19531957年，年，贝尔曼（贝尔曼（R.E.Bellman）创立）创立“动态规划动态规划”原理原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果

38、和迭代算法。时间系统的理论结果和迭代算法。19561958年，年，庞特里亚金创立庞特里亚金创立“最大值原理最大值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于。对于“最大值原理最大值原理”，由于放宽了有关条件，使得许多古典变分，由于放宽了有关条件，使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在。同时，庞特里亚金在最优过程的数学理论最

39、优过程的数学理论著作中已经把最优控制理论初步形成了一著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件( (库恩库恩图克定理图克定理) )以及以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。理论形成阶段理论形成阶段Date:6/20/2022File:OC_CH1.39Optimal Control TheoryDongJie2013.Allright

40、sreserved.OptimalControlTheory&itsApplication最优化最优化（optimization）技术是研究和解决最优化问题的）技术是研究和解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最一门学科，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个问题：问题：（1）如何将最优化问题表示为数学模型）如何将最优化问题表示为数学模型（2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解最优控制最优控制（optimal control）是

41、控制理论中的优化技术。）是控制理论中的优化技术。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。Date:6/20/2022File:OC_CH1.40Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication现有产品现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作40小时。若产品小时。若产品A的单价为的单价为

42、200元，产品元，产品B的单价为的单价为500元，应如何安排生产计划，即元，应如何安排生产计划，即A、B各应生产多少可使总产值最高。各应生产多少可使总产值最高。解：解：设该车间每周应生产产品设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为的件数分别为X1、X2,由于每台机由于每台机器工作时间有限制，则有约束条件器工作时间有限制，则有约束条件：在这些约束条件下选择在这些约束条件下选择X X1 1、X X2 2, ,使总产值使总产值达到最大。达到最大。第一道工序第一道工序第二道工序第二道工序产品产品A1.5h2h产品产品B5h4h1212121.55402440(1)00XXXXXX12200500(2)

43、JXX例1生产计划安排问题Date:6/20/2022File:OC_CH1.41Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication设有一盛放液体的连续搅拌槽，如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器设有一盛放液体的连续搅拌槽，如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J J，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放使液体经常处于完全混合状态。槽中原放00的液体，现需将其温度经的液体，现需将其温度经1 1小时后升高小时后升高到到4040。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为。

44、为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u u( (t t) )，出口处流出等量的液体，出口处流出等量的液体，以便保持槽内液面恒定。试寻找，以便保持槽内液面恒定。试寻找u u( (t t) )的变化规律，使槽中液体温度经的变化规律，使槽中液体温度经1 1小时后上小时后上升到升到4040，并要求散失的热量最小。，并要求散失的热量最小。解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x x( (t t) )表示其温度，表示其温度，x x(0)=0(0)=0，x x(1)=40(1)=40。由热力学可知，槽中液体温度的变化率与温差。由热力学可知，槽中液体温度的变化率

45、与温差 u u( (t t)-)-x x( (t t)成正比，为简成正比，为简便计，令比例系数为便计，令比例系数为1 1，于是有，于是有 在在1 1小时内散失掉的热量可用下式表示：小时内散失掉的热量可用下式表示： 其中其中q q和和r r都是正的常数。因此在目前情况下，最都是正的常数。因此在目前情况下，最 优控制问题是：找优控制问题是：找u u( (t t) )的变化规律使槽中液体的变化规律使槽中液体 经经1 1小时后从小时后从00上升到上升到4040，并要求散失的热，并要求散失的热 量最小，即方程量最小，即方程(4(4）中）中J J( (u u) )取最小值。取最小值。例2搅拌槽的温度控制(

46、 )( )( )(3)dx tu tx tdt1220( )( )( )(4)J uqx tru t dtDate:6/20/2022File:OC_CH1.42Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication2最优化问题的分类1）无约束与有约束的最优化问题）无约束与有约束的最优化问题若系统若系统控制变量控制变量的取值范围不受限制，则为无约束的最优化的取值范围不受限制，则为无约束的最优化问题，反之为有约束的最优化问题。问题，反之为有约束的最优化问题。实际系统大多为有约束

47、的最优化问题实际系统大多为有约束的最优化问题等式约束等式约束不等式约束不等式约束约束条件约束条件Date:6/20/2022File:OC_CH1.43Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication例例如，某公司要在规定的时间内对其产品的生产做一个如，某公司要在规定的时间内对其产品的生产做一个计划，那么它必须根据库存量、市场对该产品的需求计划，那么它必须根据库存量、市场对该产品的需求量以及生产率来考虑，使产品的生产成本最低。那么量以及生产率来考虑，使产品的生产成本最低

48、。那么这个问题就是一个经济学的最优控制问题。这个问题就是一个经济学的最优控制问题。q设设T是一个固定时间，是一个固定时间，x(t)表示在时刻表示在时刻t(0tT)时的产时的产品存货量，品存货量，r(t)表示在表示在t时刻对产品的需求率。这里假时刻对产品的需求率。这里假定定r(t)是一个定义在时间是一个定义在时间t上的已知连续函数，上的已知连续函数，u(t)表表示在时刻示在时刻t的生产率，函数的生产率，函数u(t)由生产计划人员来选取，由生产计划人员来选取，它就是生产计划或者叫做它就是生产计划或者叫做控制控制。取。取u(t)为分段连续函为分段连续函数，则存货量由微分方程数，则存货量由微分方程确定

49、，其中确定，其中x0是原来的库存量。是原来的库存量。Date:6/20/2022File:OC_CH1.44Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication 设该产品在单位时间内的生产成本是生产率的函设该产品在单位时间内的生产成本是生产率的函数，即单位时间的生产成本是数，即单位时间的生产成本是hu(t)，b0是单是单位时间贮藏单位商品的费用。于是，在时刻位时间贮藏单位商品的费用。于是，在时刻t的该的该公司生产这个产品的单位时间的成本是：公司生产这个产品的单位时间的成本是

50、：因此，在规定时间因此，在规定时间T内生产该产品的总成本为内生产该产品的总成本为对于生产计划人员来说，就是要选取一个控制对于生产计划人员来说，就是要选取一个控制u(t)使得总成本使得总成本J(u)达到极小值。达到极小值。如果对于如果对于x(t)，r(t)和和u(t)不加任何的限制，那么这不加任何的限制，那么这就是一个无约束的最优化问题。就是一个无约束的最优化问题。Date:6/20/2022File:OC_CH1.45Optimal Control TheoryDongJie2013.Allrightsreserved.OptimalControlTheory&itsApplication但从