通信原理第3章随机过程ppt课件.ppt
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1、1第第3章章 随机过程随机过程通信中的信号和噪声都具有随机性,需通信中的信号和噪声都具有随机性,需要用随机过程的理论来描述。要用随机过程的理论来描述。是本课程是本课程的重要数学工具。的重要数学工具。3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.5 窄带随机过程窄带随机过程3.3 高斯随机过程高斯随机过程3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声23.13.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念 什么是随机过程什么是随机过程1.无穷多个样本函数无穷多
2、个样本函数xi(t)的集合称作随机的集合称作随机过程。过程。 2.随机过程可视为无穷多个随机变量随机过程可视为无穷多个随机变量 (ti) 的集合。的集合。 33.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 随机变量随机变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 简记为简记为F1(x1, t1),即,即 称为随机过程称为随机过程(t)的一维分布函数的一维分布函数11111(,) ( )FxtPtx11 ( )Ptx 设设(t)表示一个随机过程,在任意给定的时表示一个随机过程,在任意给定的时刻刻t1T, 其取值其取值(t1)是一个一维随机变量。是一个一维随机变量。随机过程的
3、统计特性可以用随机过程的统计特性可以用分布函数分布函数或或概率密概率密度函数度函数来描述来描述。41111111(,)(,)Fxtfxtx如果存在如果存在称称 为随机过程为随机过程 的的一维概率密度函数一维概率密度函数)(111txf,)(t同理,任给同理,任给t1, t2, , tnT, 则则(t)的的n维分布维分布函数被定义为:函数被定义为:1212( ,; , ,)nnnF x xx t ttP1122 ( ), ( ),( )nntxtxtx n维概率密度函数被定义为维概率密度函数被定义为).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnntttxxxfxxxtttxxF
4、5随机过程的随机过程的数学期望数学期望11111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1随机过程的随机过程的方差方差 (variance):2)()()(tatEtD)()(22tatE6相关函数相关函数(correlation function): 描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。变量之间的相关程度。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 式中,式中, (t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测时刻观测得到的随机变量。可以看出,得到的随机变量。可
5、以看出,R(t1, t2)是两个是两个变量变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。7互相关函数互相关函数 式中式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此,因此,R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。 )()(),(2121ttEttR81. 和的平均等于平均的和和的平均等于平均的和 E(XY)E(X)E(Y)2. 若若X、Y相互统计独立,则积的平均等与平均的相互统计独立,则积的平均等与平均的积积 E(XY)E(X)E(Y)3. 随机变量随机变量X的函数的函数g(X)的平均的平均式中式中 是随机变量是随机变量X的概率密度函数。的概率密度函数。4. 确
6、知函数可视为常数确知函数可视为常数若若 是确知函数,则是确知函数,则 dxxfXgXgE)()()()(xf)()()()()()(XgEtfXgtfEtftfE)(xf补:进行统计平均运算时常用到的一些公式补:进行统计平均运算时常用到的一些公式93.2平稳随机过程平稳随机过程狭义平稳(或严平稳)随机过程狭义平稳(或严平稳)随机过程 广义平稳(或宽平稳)随机过程广义平稳(或宽平稳)随机过程 平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性” 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 10定义定义:平稳随机过程的统计特性将不随时间的:平
7、稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化,即其任何推移而发生变化,即其任何n维分布函数或概率维分布函数或概率密度函数密度函数与时间起点无关与时间起点无关,亦即对于任意的正,亦即对于任意的正整数整数n和任意的实数和任意的实数 平稳随机过程平稳随机过程 的的n维概率密度函数满足:维概率密度函数满足:称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称简称严平稳随机过程严平稳随机过程(狭义平稳狭义平稳随机过程)。随机过程)。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf;,21nttt 3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义)
8、(t11性质:性质: 该定义表明,平稳随机过程的统计特该定义表明,平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变,即它的一维分布函性不随时间的推移而改变,即它的一维分布函数与时间数与时间t无关:无关: 二维分布函数只与时间间隔二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关:有关:数字特征数字特征: )(),(),(11111111xftxftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 12数字特征:数字特征:(1)其均值与)其均值与t 无关,为常数无关,为常数a ; (2)自相
9、关函数只与时间间隔)自相关函数只与时间间隔 有关。有关。 把同时满足把同时满足(1)和和(2)的过程定义为的过程定义为广义平稳随广义平稳随机过程机过程。显然,严平稳随机过程必定是广义平。显然,严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。稳的,反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数在通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明,课程所可视为平稳的随机过程。除特别声明,课程所讨论的均为广义平稳随机过程。讨论的均为广义平稳随机过程。adxxfxtE1111)()()(),(21RttR13平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性,平稳过程在满足一定的条件下
10、具有一个特性,称为称为“各态历经性各态历经性” (又称又称“遍历性遍历性”)。具有。具有各态历经性的过程,其数字特征(统计平均)各态历经性的过程,其数字特征(统计平均)可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。替。 3.2.2 各态历经性各态历经性14各态历经性条件各态历经性条件 设:设:x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现的任意一次实现(样本样本),则其时间均值和时间相关函数分别定义为:则其时间均值和时间相关函数分别定义为: 如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/
11、2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa15具有各态历经的随机过程一定是平稳过程,具有各态历经的随机过程一定是平稳过程,反之不一定成立反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态历经条件。信号和噪声,一般均能满足各态历经条件。163.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义:同前平稳过程自相关函数的定义:同前平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质l (t)的平均功率的平均功率l 的偶函数的偶函数l R( )的上界的上界,即自
12、相关即自相关函数函数 R( )在在 = 0有最大值。有最大值。l (t)的直流功的直流功l 表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流的交流功率。当均值为功率。当均值为0时,有时,有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR173.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度定义:对于任意的确定功率信号定义:对于任意的确定功率信号f (t),它的功,它的功率谱密度定义为率谱密度定义为TfFmi lfPTTf2)()(TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(18功率谱密度的计算功率谱密度的计算l 维纳维纳-辛钦关系辛钦关系
13、非周期的功率型确知信号的自相关函数与其非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立,即有稳随机过程同样成立,即有 简记为简记为 以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频域辛钦关系。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。和时域两种分析方法的基本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR19l在维纳在维纳-辛钦关系的基础上,可得到结论:辛钦关系的基础上,可得到结论:u对功率谱密度进行积分,可得平稳过程的平对功率谱密度进行积分,可得平稳过程的平均功率:均功率:从频域的角
14、度给出了过程平均功率的计算法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。功率谱密度功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性,即有具有非负性和实偶性,即有dffPR)()0(0)(fP)()(fPfP203.3 高斯随机过程(正态随机过程)高斯随机过程(正态随机过程)3.3.1 定义定义 如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维维(n =1,2,.)分布均分布均服从正态分布,则称为正态过程或高斯过程。服从正态分布,则称为正态过程或高斯过程。3.3.2 重要性质重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高高斯过程经过线性变换
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