多元复合函数与隐函数求导法则ppt课件.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 1第三节本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 第八章 三、隐函数求导法则三、隐函数求导法则目录 上页 下页 返回 结束 2)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u ,v ,目录 上

2、页 下页 返回 结束 3,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd目录 上页 下页 返回 结束 4若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuv

3、uvu,0022vu则定理结论不一定成立.目录 上页 下页 返回 结束 5推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx目录 上页 下页 返回 结束 6又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表

4、示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导xf表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导口诀口诀 :xfxvvfyvvf与不同,v分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导目录 上页 下页 返回 结束 7例例1. 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx目录 上页 下页 返回 结束 8 解解 例例2. . 求函数求函数 的偏导数的偏导数. . (2 )xyzxy2 ,uxy

5、vxy令则vzuzzuzvxuxvx11lnvvvuuu y 1(2 )(2 )ln(2 )xyy xyxxyxyzzuzvyuyvy12lnvvvuuu x1(2 )2(2 )ln(2 )xyx xyyxyxy目录 上页 下页 返回 结束 9例例3.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2目录 上页 下页 返回 结束 10例例

6、4. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.目录 上页 下页 返回 结束 11(当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarcta

7、n,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos目录 上页 下页 返回 结束 12yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 ryru2rxuuryxyxruruxusincos目录 上页 下页 返回 结束 13 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2注意利用注意利

8、用已有公式已有公式cos) (r目录 上页 下页 返回 结束 1422yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 结束 15二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变

9、量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束 16)cos()sin(e yxyxyx例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dy

10、x xdyd)dd(yxxy目录 上页 下页 返回 结束 171、一个方程所确定的隐函数、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 2、方程组所确定的隐函数组、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数三、三、隐函数的求导方法 目录 上页 下页 返回 结束 181、一个方程所确定的隐函数及其导数、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可

11、唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数目录 上页 下页 返回 结束 190)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则目录 上页 下页 返回 结束 20例例7. 验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0ddxxy解解: 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单

12、值可且并求目录 上页 下页 返回 结束 210ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx目录 上页 下页 返回 结束 22定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 230),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxF

13、FxzzyFFyz同样可得则则所所确确定定的的隐隐函函数数，是是方方程程设设0),(),( zyxFyxfzzFxz00),(000zFzyx的某邻域内在目录 上页 下页 返回 结束 24解：解： 利用公式设zzyxzyxF4),(222则yFxFyx2,2zxFFxz422zxzx242 zFz例例8. 所确定的是由方程设04),(222zzyxyxzzyzxz,隐函数，求zyFFyz422zyzy2目录 上页 下页 返回 结束 252、方程组所确定的隐函数组及其导数、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxv

14、vyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 26雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微 分方程, 在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 .他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.目录 上页

15、 下页 返回 结束 27定理定理3 3. .,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 目录 上页 下页 返回 结束 28(P86)vuvuGGFFvuGFJ),(),(),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu

16、),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF目录 上页 下页 返回 结束 290),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录 上页 下页 返回

17、 结束 30 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目录 上页 下页 返回 结束 31例例9. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有目录 上页 下页 返回 结束 32内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d目录 上页 下页 返回 结束 333. 隐函数( 组) 存在定理4. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式 .目录 上页 下页 返回 结束 第三次作业第三次作业22) 1 (15)4(11) 1 (10) 1 (7:10099P目录 上页 下页 返回 结束