函数单调性复习.ppt

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1、函数单调性(复习课)襄州一中 刘双双单调函数的定义单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I增函数：增函数：如果对于属于 定义域I 内某一区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2) 那么就说f(x)在这个 区间 上是 增函数 。(图1)减函数：减函数：如果对于属于 定义域I 内某一区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2) 那么就说f(x)在这个 区间 上是 减函数 。(图2) 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在 这一区间 具有 单调性 ，这一区间叫做y=f(x)的 单调区间 ，在单调

2、区间上增函数的图象是 从左到右上升 的，减函数的图象是从左到右下降 的。 12,121212121212121.,()(),.,()(),.()(Aa bf xxxf xf xf xa bBa bf xx xa bxxf xf xf xa bf xIIf xIIDf xIf xf x，下列说法正确得是定义在上的函数若存在有那么在上为增函数。定义在上的函数若有无穷多对，使得当时有那么在上为增函数。C.若在区间 上为增函数，在区间 上也为增函数，那么在也一定为增函数。若在区间 上为增函数，且1212) x xIxx，（），那么。D判定函数单调性的常用方法判定函数单调性的常用方法1.定义法定义法（1

3、）取值：）取值：设设x x1 ，x x2是该区间上任意两个变量，是该区间上任意两个变量，且且x x1 1x x2 2 ；（2 2）作差、变形：）作差、变形：f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )通过通分，因式分通过通分，因式分 解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号 的方向变形的方向变形 ；（3 3）判号、下结论）判号、下结论2.2.利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性（1 1）增（）增（减减）函数）函数 + + 增（增（减减）函数为增（）函数为增（减减）函数）函数（2 2）增（）增（减减）函数）函数 - - 减（减（增增）函数

4、为增（）函数为增（减减）函数）函数（3 3）y = f(x) y = f(x) 与与 y = kf(xy = kf(x) (k0) (k0)K K0 0 ：增减性：增减性 相同相同K K0 0 ：增减性：增减性 相反相反（4 4）y=f(x)y=f(x)0 0（或（或00)和和 单调具有单调具有一致性一致性1( )yf x 3.导数法 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)1时，则只需函数u=在区间， 上为1增且为正，即2且，解得 12当01时，则只需函数u=在区间， 上为1减且

5、为正，即且， 无解2函数单调性应用所以，存在实数所以，存在实数a，且，且a12。求最值或值域。求最值或值域例3：已知x0,1,则函数的最大值为_最小值为_xxy 122211201 , 0)()(1 , 0)(1 , 0)(1)(22)(maxmin yxyxxgxfyxgxfxxgxxf时，时，当当时，时，当当上的增函数，上的增函数，是是上的减函数上的减函数是是上的增函数，上的增函数，是是则则解：令解：令 利用函数的单调性利用函数的单调性求函数的值域求函数的值域，这是，这是求函数值域和最值的求函数值域和最值的一种方法。一种方法。函数单调性应用3。解抽象不等式。解抽象不等式例4：已知f(x)在

6、其定义域R上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x2) 33)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfxfxyf解：)2()2()(2xxfxfxf又)8()2(2fxxf由题意有82020R)(2xxxxxf上的增函数为42，解得 x 解此类题型关键解此类题型关键在于在于充分利用题目所充分利用题目所给的条件给的条件，本题就抓，本题就抓住这点想办法构造出住这点想办法构造出f(8)=3,这样就能用单这样就能用单调性解不等式了。千调性解不等式了。千万别忘了定义域哦。万别忘了定义域哦。函数单调性应用) 1(111)(22xxxxxxf

7、 证证明明 令)13 (2)(xxxf 则 因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调 增加 证明证明: 0)13 (2xx 也就是xx132(x1) 因此当x1时 f(x)f(1)0 即4.4.比较大小比较大小例例5 证明 当 x1 时 xx132 函数单调性应用2( )( 11).1axf xxx 思考题：讨论函数的单调性) 1)(1()(1(11)()(, 11:222112212222112121xxxxxxaxaxxaxxfxfxx则设解.0,0时为常数函数当时为增函数当aa01, 01, 0, 0122211221xxxxxx.) 1 , 1()(,0上为减函数在时当xfa谢谢！